基于一種新顯式時間積分算法的場地 非線性地震反應分析1

趙 密 王亞東 高志懂 段亞偉 杜修力

（北京工業大學城市與工程安全減災教育部重點實驗室，北京 100124）

引言

關于場地地震反應的分析已有大量研究成果（Hashash 等，2010），研究表明土壤在地震作用下會表現出材料非線性效應（Joyner 等，1975；Huang 等，2001；Arslan 等，2006；Hosseini等，2012）。等效線性化方法（Schnabel 等，1972；Idriss 等，1992；Bardet 等，2000；王篤國等，2016）是一種頻域方法，通過在不同土體應變條件下選擇等效阻尼比和剪切模量，將非線性問題轉化為線性問題。當采用材料非線性本構模型描述土體非線性時，需采用時間積分算法求解非線性動力有限元方程。時間積分算法可分為隱式方法和顯式方法（Crisfield，1991；Chopra，2009）。隱式算法（欒茂田等，1992；Chopra，2009）每時刻需求解線性代數方程組，計算效率相對較低，如Wilson-θ 法和Newmark 法等。顯式算法無需求解線性代數方程組，適合于強非線性和自由度數目較大的問題。研究者已提出多種顯式時間積分算法（Chung 等，1994；王進廷等，2002；Belytschko 等，2014）。作者Zhao 等（2019）近期提出一種二階精度的單步顯式算法，該算法適合變時步問題，在線彈性范圍內穩定性較好。本文將該算法推廣至求解非線性動力有限元方程中，并將其應用于地震波垂直入射時非線性地震反應分析。

1 非線性動力有限元方程的顯式時間積分算法

2 地震波垂直入射時場地非線性地震反應分析

本節將上述非線性有限元方程的顯式時間積分算法應用于地震波垂直入射時場地非線性地震反應分析中。假定基巖為線彈性半空間，考慮基巖上覆土層的材料非線性，不考慮土體阻尼。在土層下部設置黏性邊界條件模擬半空間基巖的輻射阻尼，并在該處以等效結點力的方式實現地震動輸入。

計算模型見圖2，選取A 點作為觀測點。土體非線性材料本構模型選取鄧肯-張模型（Duncan 等，1970），土體線彈性參數見表1（杜修力等，2016），杜修力等（2016）未給出配套的非線性參數，故算例中的非線性參數參考實際情況選取，后續研究中將使用更真實表現土體非線性行為的本構模型及真實工程場地參數。算例中的大氣壓參數取100kPa，內摩擦角增量取0°。入射地震動分別選取狄拉克脈沖和實測地震動（Gilroy Array #3，Coyote Lake, 1979）。入射狄拉克脈沖見圖3，觀測點結果見圖4，實測地震動見圖5，觀測點結果見圖6。圖4、圖6 中給出采用中心差分法的計算結果作為參考解，由圖4、圖6 可知，本文算法與中心差分法計算結果吻合較好，說明本文算法的有效性。

圖2 大開車站沿線土層縱斷面構造 Fig.2 Site condition of the Daikai subway station in vertical direction

表1 土層參數 Table 1 Parameters of soils

圖3 狄拉克脈沖速度和加速度時程圖 Fig.3 Velocity and acceleration time history of the Dirac pulse

圖4 狄拉克脈沖入射時場地反應分析結果 Fig.4 Results of site analysis under the incident of Dirac pulse

圖5 實測地震動速度和加速度時程圖 Fig.5 Velocity and acceleration time history of the seismic motion

圖6 實測地震動入射時場地反應分析結果 Fig.6 Results of site reaction analysis under the incident of the seismic motion

3 結論

本文發展一種求解材料非線性結構動力學方程的顯式時間積分算法，并應用于地震波豎直入射時非線性地震反應分析中，通過算例驗證了該方法的有效性。該顯式算法具有無需對角阻尼矩陣、單步、穩定性良好等優點。本文考慮了鄧肯-張非線性彈性本構模型，下步研究可考慮將該顯式算法擴展到彈塑性本構模型及更能反映土層真實變形的本構模型中。