考慮流固耦合的排水溝道力學計算方法

柴鵬翔

（寧夏大學土木與水利工程學院，寧夏 銀川 750021）

0 引言

流固耦合問題在工程應用中隨處可見，因此對于流固耦合問題的研究具有很大的價值，諸如石油運輸過程中，石油與管壁的流固耦合問題；核能作為一種清潔又高效的能源倍受重視，反應堆運行以及核燃料的貯存都涉及到流固耦合的問題[1]；對水利工程來說，可以簡單概括為“擋水”與“輸水”工程，處處都存在著流固耦合問題，例如壩坡穩(wěn)定問題[2]、滲流問題[3]、水文問題[4]等等。近年來，溝道生態(tài)問題[5]愈發(fā)受到重視，本文主要針對排水溝道水流動力響應以及溝道邊坡滲流穩(wěn)定流固耦合問題的計算方法進行說明，對比各種計算方法的優(yōu)缺點，為以后的研究進行前期準備工作。

1 流固耦合問題研究進展

1933年韋斯特加德[6]（H.M.Westergaard）等人著手研究了大壩的壩體與庫水之間相互作用等一系列與耦合問題相近的接觸問題[7]。20 世紀 30 年代，霍斯金斯（Hoskins）和雅各布森[8～10]（Jacobsen）等人對儲液罐的力學性能進行了研究探討。20世紀50年代，豪斯納[11]（Housner）提出了基于剛性罐壁假設的質(zhì)量彈簧系統(tǒng)簡化模型。土力學方面，太沙基最早提出有效應力原理并提出了一維固結(jié)理論，比奧提出了真三維固結(jié)理論。以上兩種理論是土力學流固耦合理論的基礎。近年來，國外學者對流固耦合問題的研究更加深入更加多元化。

從20世紀70年代起，國內(nèi)專家學者也對流固耦合問題進行了大量研究探索。東南大學的張海濤等對基于對自由液面的預測對非線性液體晃動進行了數(shù)值模擬[1]。河海大學趙蘭浩[12]對壩體-庫水動力相互作用進行了研究。華北水利水電大學付杰[13]對水體-結(jié)構(gòu)-地基耦合作用進行了研究分析。

2 流固耦合問題計算方法

流固耦合問題的存在，使得流體介質(zhì)與固體介質(zhì)的相互作用問題變得復雜，涉及到諸多學科[14]，致使計算過程具有一定的難度。流固耦合問題研究目前大多是按照平衡和協(xié)調(diào)原則分別建立流體域、固體域以及交互作用面的控制方程[15]，求解得到耦合物理量。一般而言，控制方程有以下兩點特征[16]:

（1）流體介質(zhì)區(qū)域和固體介質(zhì)區(qū)域均不能單獨求解，否則肯定不滿足耦合作用要求；

（2）不能隨意改變或消去描述流體介質(zhì)、固體介質(zhì)運動的獨立變量，變量之間相互依存、相互作用，是耦合作用的必需條件。

2.1 排水溝道水流動力響應計算方法

由于排水溝道內(nèi)水流為非恒定流，水力學響應多采用圣維南方程組進行描述[17]。

（1）連續(xù)方程:

式中:B 為水面寬度，m；Z 為水位高度，m；t為時間，s；Q 為流量，m3/s；C為謝才系數(shù)；S為斷面的距離坐標，m；q為區(qū)間入流量，m3/s；g 為重力加速度，m/s2；A 為過水斷面面積，m2；v 為水流沿軸線方向的流速，m/s；R為水力半徑，m；i為渠道底坡；M為明渠單寬、定深、斷面沿程放寬率。

求解圣維南方程組的數(shù)值方法有普萊士曼(Preismann)隱式差分格式以及顯示差分格式[18]，其中隱式差分格式具有精度高、無條件收斂等優(yōu)點，顯示差分格式計算用時較隱格式短很多，根據(jù)自己的需要進行合理的選擇。

進行水力分析之后，往往需要進行水流對溝道邊坡力學作用的分析，通常采用以下方法。

2.1.1 附加質(zhì)量計算法

附加質(zhì)量計算方法首先是由韋斯特加德（H.M.Westergaard）提出的。附加質(zhì)量公式常用來模擬水的動力學效應。根據(jù)結(jié)構(gòu)動水壓力及附加質(zhì)量法，計算固體變形時，排水溝道邊界一側(cè)單位面積水的附加質(zhì)量可以采用下式計算[19]:

式中:Mw（z）為距離水面處的附加質(zhì)量，kg；z為計算點到水面的距離，m；h 為結(jié)構(gòu)內(nèi)水的深度，m；ρ為水的密度，kg/m3；η 為折減系數(shù)。

利用這種方法進行附加質(zhì)量的計算，忽略了水體的可壓縮性，只是近似的處理方式，但由于計算簡便，應用相當廣泛。

2.1.2 豪斯納（Housner）彈簧質(zhì)量模型

豪斯納（Housner）彈簧質(zhì)量模型近似計算流體對固體產(chǎn)生的脈動壓力和對流壓力。可用固定于溝道邊界的質(zhì)量塊來等效替代流體產(chǎn)生的脈動壓力，使流固耦合問題的計算得到了簡化[19]。

豪斯納模型的優(yōu)點是模型構(gòu)造相對簡單，避開了求解復雜方程的難點。此模型中流體是以集中質(zhì)量的形式作用于邊界條件上，所以運用此模型計算所得的邊界條件內(nèi)力和應力分布只是近似分布。

2.1.3 邊界元法

邊界元法是從邊界條件出發(fā)，僅僅把流體的自由表面及交互作用邊界作為研究對象，將水體所滿足的二維拉普拉斯方程進行離散，轉(zhuǎn)化為邊界積分方程，采用時間增量法求解積分方程[19]。

運用邊界元法解決流固耦合問題，可以得到液體晃動的波高和速度勢的分布情況。此方法僅僅反映了流體對固體的影響，并未反映固體變形對流體的影響。

2.1.4 ALE有限元法

ALE（Arbitrary Lagrange-Euler）最初用于數(shù)值模擬流體動力學問題，后來引入到流固耦合問題研究中[20]。1974年，赫特（Hirt）等人提出了任意的Lagrange-Euler方法，簡稱ALE法。將拉格朗日（Lagrange）坐標和歐拉（Euler）坐標結(jié)合起來，可以在交界面處采用純拉格朗日表達，同時可以保證在大變形時，網(wǎng)格不至于過大的扭曲。

ALE有限元法已被廣泛應用于解決流固耦合問題，ALE有限元算法對網(wǎng)格的運動計算方法有較高的要求，計算較為復雜。王躍先[21]、岳寶增[22]、蔣莉[23]等人對此方法都進行了研究探討。

2.2 排水溝道邊坡穩(wěn)定問題

邊坡穩(wěn)定問題的研究已有悠久的歷史，但是對于排水溝道小型邊坡的穩(wěn)定分析研究相對來說較少。采用數(shù)值分析方法對邊坡進行穩(wěn)定分析已經(jīng)成為近來研究的熱點，耦合理論也廣泛應用于邊坡穩(wěn)定分析，對耦合分析方法進行簡單的描述。

2.2.1 條分法與有限元耦合（LE-FEM）分析法

條分法引入假定條件較多，不能反映邊坡實際應力狀態(tài)。有限元分析法克服條分法的不足，在分析過程中避免了太多的假定條件。將條分法與有限元法進行耦合，采用有限元分析獲得邊坡整體的真實應力場，然后利用極限平衡理論求解安全系數(shù)。

邊坡穩(wěn)定性的條分法與有限元法耦合分析的基本原理及分析步驟是[24]:

（1）利用有限元分析法，獲得邊坡的整體應力場；

（2）將邊坡滑移體進行條分，獲得條塊計算參數(shù)；

（3）計算所分條塊底面中心處的各項應力；

（4）計算整體穩(wěn)定安全系數(shù)。

2.2.2 滲流場與應力場耦合分析法

滲流場改變，應力場隨之變化，致使邊坡土體產(chǎn)生壓縮變形，土體孔隙率改變，滲透系數(shù)發(fā)生變化，最終導致整個滲流場的變化。滲流場與應力場這種耦合關(guān)系對邊坡穩(wěn)定性具有非常大的影響。

學者對邊坡滲流穩(wěn)定問題進行了深入的研究，沈珠江[25]進行了比奧固結(jié)方程的有限元法求解；毛昶熙[26]等以滲透力的形式考慮滲流對邊坡穩(wěn)定的影響，提出了考慮滲流作用的邊坡穩(wěn)定極限平衡計算方法；李培超[27]等對飽和多孔介質(zhì)滲流應力和孔隙壓力耦合作用的數(shù)學模型進行描述；師文豪[28]等基于等效連續(xù)介質(zhì)模型和Louis經(jīng)驗公式，建立了層狀邊坡各向異性巖體滲流-應力耦合模型，應用COMSOL多物理場耦合軟件對模型進行了數(shù)值計算。

滲流場與應力場耦合分析法通過基于不同的理論方法與數(shù)學模型，建立滲流場與應力場平衡的控制方程，根據(jù)不同的實際需求，采用相應的求解方法進行計算。求出滲流曲線，使用不同的方法對邊坡的滲流穩(wěn)定進行分析，大多使用強度折減法。

2.3 溝道邊坡在水流沖刷和邊坡滲流雙重作用下的穩(wěn)定分析

排水溝道邊坡穩(wěn)定是依靠邊坡抗沖刷力與水流沖刷力相互作用的結(jié)果[29]。水流沖刷力與溝道邊坡在滲透力作用下的抗沖能力相互消長。河流沖刷天然土質(zhì)溝道邊坡，使邊坡變陡、坡高增加，結(jié)果造成邊坡坍塌。對于襯砌邊坡，水流沖刷坡腳，坡腳的幾何形狀發(fā)生變化，又反過來影響河勢，河勢的變化再作用于邊坡，堤腳受到進一步影響，使邊坡穩(wěn)定性降低，減少排水溝道使用期限。

目前研究水流沖刷與滲流相互作用影響溝道邊坡穩(wěn)定的熱點問題主要有:（1）溝道邊坡所受沖刷力的分布和抗沖刷力計算模式的研究；（2）溝道邊坡土體橫向沖刷量的計算方法研究；（3）在已知沖刷量的基礎上，采用極限平衡方法判斷溝道邊坡的穩(wěn)定性，提出了諸多計算模型，改進后的模型見圖1，考慮了靜水壓力和孔隙水壓力的作用等。張芳枝[30]在流固耦合分析基礎上，建立了多項耦合力系下的堤岸與河床整體分析模型，分析河流沖刷作用對堤岸滲流的影響，并結(jié)合極限平衡法，探討河流沖刷對堤岸整體穩(wěn)定性的影響。對于排水溝道邊坡在水流沖刷和邊坡滲流雙重作用下的穩(wěn)定分析，也可以借鑒類似的分析計算方法，建立整體三維模型，采用有限元模擬方法對溝道邊坡穩(wěn)定進行計算分析。

圖1 改進后穩(wěn)定分析示意圖

3 結(jié)論

本文對考慮流固耦合的排水溝道力學問題的研究進展以及計算方法作了概要的梳理，計算方法各有特點。

溝道內(nèi)部水流力學特性計算方法:

（1）附加質(zhì)量法，計算簡單方便，計算量較小，但是忽略了流體晃動對控制邊界的不利影響；

（2）Housner彈簧模型，模型概念簡單，但是分布力簡化為集中力，計算結(jié)果較粗糙；

（3）邊界元法，考慮了液體晃動的影響，但是只能算是單向耦合，忽略了結(jié)構(gòu)對流體的作用；

（4）ALE有限元法，適用于求解流體問題，但是計算比較復雜。

排水溝道邊坡穩(wěn)定分析計算方法:

（1）條分法與有限元耦合（LE-FEM）分析法，將傳統(tǒng)的極限平衡條分法跟有限元計算聯(lián)系起來，結(jié)果更加精確，但是沒有考慮滲流對邊坡穩(wěn)定的影響；

（2）滲流場與應力場耦合分析法，充分考慮了滲流與應力之間的耦合關(guān)系，進一步求解安全穩(wěn)定系數(shù)，計算結(jié)果較為理想。

溝道邊坡在水流沖刷和邊坡滲流雙重作用下穩(wěn)定計算多采用簡化模型計算，改進后的模型相對精確，但是并沒有充分考慮滲流對邊坡穩(wěn)定的作用。在計算過程中均采用二維模型，但是實際問題多為三維狀況，與實際不相符。

考慮流固耦合的排水溝道力學問題研究有重大的實際意義，但是目前研究相對較少，特別是考慮溝道內(nèi)部水流沖刷與外側(cè)土體滲流雙重作用的邊坡穩(wěn)定問題。隨著流固耦合問題研究的不斷深入，對于排水溝道力學問題的研究必將更加全面。