互耦條件下MIMO雷達(dá)非圓目標(biāo)穩(wěn)健角度估計(jì)方法

王咸鵬，國月皓，黃夢(mèng)醒，沈重，曹春杰，馮文龍

（1. 海南大學(xué)南海海洋資源利用國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，海南 ?？?570228；2. 海南大學(xué)信息與科學(xué)技術(shù)學(xué)院，海南 海口 570228)

1 引言

多輸入多輸出（MIMO, multiple input multiple output）雷達(dá)概念一經(jīng)提出，就立即引起了雷達(dá)研究領(lǐng)域?qū)W者們的廣泛關(guān)注[1-2]。由于 MIMO雷達(dá)發(fā)射的是正交波形，采用發(fā)射天線與接收天線分置的方式獲得波形分集與空域分集，因此與傳統(tǒng)的雷達(dá)相比，MIMO雷達(dá)具有更好的識(shí)別性能和參數(shù)估計(jì)性能，特別是對(duì)于聯(lián)合角度的離開方向（DoD,direction-of-departure）與到達(dá)方向（DoA, direction-of-arrival）估計(jì)[3-4]。

在雙基地的MIMO雷達(dá)中，聯(lián)合DoD與DoA估計(jì)是一個(gè)熱門課題[5]，針對(duì)該課題，學(xué)者們提出了許多有效的算法，例如多重信號(hào)分類（MUSIC,multiple signal classification）算法[6]、旋轉(zhuǎn)不變子空間（ESPRIT, estimation method of signal parameter via rotational invariance technique）算法[7]，以及其他的一些子空間算法[8-9]，但這些算法依賴于理想的收發(fā)陣列模型。由于收發(fā)陣元往往不能夠精確補(bǔ)償，導(dǎo)致陣元間存在互耦的情況[10-11]。針對(duì)這一情況，主要的解決辦法有MUSIC-like和ESPRIT-like等方法[12-13]。其中，ESPRIT-like算法應(yīng)用均勻線陣中互耦矩陣的帶狀對(duì)稱Toeplitz結(jié)構(gòu)來消除互耦的影響，但以損失陣列孔徑為代價(jià)。以上提出的方案并沒有考慮信號(hào)的非圓特性，針對(duì)信號(hào)的非圓特性，文獻(xiàn)[14]研究了一種在互耦情況下的DoA估計(jì)方法，該算法在考慮了信號(hào)非圓特性的同時(shí)消除了互耦的影響，且利用非圓結(jié)構(gòu)信息補(bǔ)償了部分陣列孔徑的損失。另一方面，在互耦的條件下，針對(duì)信號(hào)的多維結(jié)構(gòu)特性，學(xué)者們也進(jìn)行了部分的研究工作[15-16]，文獻(xiàn)[15]介紹了基于酉張量分解的子空間估計(jì)方法，該算法在消除互耦影響的同時(shí)，將張量子空間通過酉變換轉(zhuǎn)換為實(shí)值張量，接著利用張量的多維結(jié)構(gòu)進(jìn)行角度估計(jì)，不僅提高了識(shí)別性能，還降低了運(yùn)算復(fù)雜度。以上這些算法都是單獨(dú)利用信號(hào)的非圓特性或多維結(jié)構(gòu)特性，不能在補(bǔ)償部分陣列孔徑的損失的同時(shí)提高算法的角度估計(jì)性能。

本文提出了一種互耦條件下 MIMO雷達(dá)的穩(wěn)健DoD和DoA聯(lián)合估計(jì)算法，既利用信號(hào)本身的多維結(jié)構(gòu)，同時(shí)也考慮信號(hào)的非圓特征，擴(kuò)大了陣列孔徑，獲得了更加精確的識(shí)別性能。所提算法利用互耦矩陣帶狀對(duì)稱的Toeplitz結(jié)構(gòu)來消除未知互耦的影響，因此能夠在互耦的情況下對(duì)非圓目標(biāo)進(jìn)行準(zhǔn)確的角度估計(jì)，比其他方法具有更好的識(shí)別性能。同時(shí)為了減少運(yùn)算復(fù)雜度，所提算法利用張量的酉變換，將子空間張量轉(zhuǎn)化為實(shí)值張量，大大提升了算法的運(yùn)算速度。仿真結(jié)果表明，所提算法具有有效性與優(yōu)越性。

2 張量基礎(chǔ)與信號(hào)模型

2.1 張量基礎(chǔ)

本節(jié)主要闡述了張量的基礎(chǔ)知識(shí)與定義，更多相關(guān)知識(shí)可以從文獻(xiàn)[17-18]中得到。

本節(jié)主要闡述了張量的基礎(chǔ)知識(shí)與定義，更多相關(guān)知識(shí)可以從文獻(xiàn)[17-18]中得到。

定義1 模式-n矩陣展開。設(shè)張量張量X的模式-n矩陣展開定義為的元素對(duì)應(yīng)的元素，其中

定義2 模式-n矩陣積。張量與矩陣的模式-n積定義為其中

此外，模式-n矩陣積滿足以下性質(zhì)

其中，?為Kronecker積。

定義3 張量分解。張量X∈?I1×I2×…×IN的高階奇異值分解定義為

定義4 張量模式-n串聯(lián)。張量X∈?I1×I2×…×IN與張量Y∈?I1×I2×…×IN的模式-n串聯(lián)定義為其中

2.2 信號(hào)模型

考慮一個(gè)窄帶雙基地MIMO雷達(dá)，它由M個(gè)發(fā)射陣元與N個(gè)接收陣元構(gòu)成，兩者都是半波長的均勻線性陣列（ULA, uniform linear array），M個(gè)發(fā)射陣元發(fā)射M個(gè)相互正交的非圓信號(hào)。假設(shè)在遠(yuǎn)場(chǎng)有K個(gè)相互獨(dú)立的目標(biāo)，對(duì)于發(fā)射陣列與接收陣列，第K個(gè)目標(biāo)的發(fā)射角和接收角分別為?k和θk。那么接收端接收到的信號(hào)可表示為

其中，C=Toeplitz([cT,0])∈?M×M和

tt1×(M-P-1)為互耦矩陣，其中ct= [ct0,ct1,???,ctP]，cr= [cr0,cr1,???,crP]。cip(i=r,t;p= 0 ,1,2,???,P)是P+1個(gè)非零互耦系數(shù)，滿足 0 ＜|cip|＜???＜|ci1|＜|ci0|= 1。

根據(jù)模式-n矩陣展開的定義，式(5)中接收到的數(shù)據(jù)矩陣可以看作沿第三維脈沖方向的切片，然后將矩陣X(tl)的數(shù)據(jù)在第三維上堆疊，便得到N×M×L維的張量X。根據(jù)模式-n矩陣展開的定義，可以把張量X改為

其中，⊙為Khatri-Rao積；為發(fā)射與接收導(dǎo)向矩陣；為信號(hào)矩陣；滿 足

3 基于酉張量分解的穩(wěn)健角度估計(jì)算法

3.1 互耦消除

由于收發(fā)陣元間的互耦效應(yīng)影響了發(fā)射矩陣與接收矩陣因此與不再是范德蒙矩陣。同時(shí)注意到互耦矩陣為帶狀對(duì)稱Toeplitz矩陣，于是從發(fā)射與接收矩陣提取出 2個(gè)子矩陣用來去耦。故2個(gè)選擇矩陣可定義為

根據(jù)互耦矩陣的特點(diǎn)，則有

為了能夠在張量域中體現(xiàn)去互耦的過程，式(8)在張量域的擴(kuò)展可表示為

根據(jù)模式-n矩陣展開的定義，模式-3的矩陣展開可以寫為

3.2 增廣矩陣與信號(hào)子空間估計(jì)

為了在張量域中同時(shí)利用信號(hào)的非圓性，通過前后向平滑技術(shù)構(gòu)造了一個(gè)特殊的增廣張量

其中，（?）?為共軛運(yùn)算，ΓK代表次對(duì)角線處元素為1、其他元素為0的矩陣。根據(jù)模式-n矩陣展開的定義，Y∈ ?2N~×M~×L模式-3的矩陣展開可以寫為

其中表示擴(kuò)展導(dǎo)向矩陣 ，為噪聲矩陣。從式(12)可以看出，此時(shí)的陣列孔徑為式(10)的2倍。由此可以得知，增廣張量Y不僅考慮到了張量的多維結(jié)構(gòu)，還捕捉到了信號(hào)的非圓性，擴(kuò)大了陣列的虛擬孔徑，從而獲得更加優(yōu)越的參數(shù)估計(jì)性能。

由于式(11)使用了前后向平滑技術(shù)，因此張量Y在張量域具有centro-Hermitian特性，于是利用酉變換將式(11)轉(zhuǎn)換為實(shí)值張量[19]

其中，( ?)H為共軛轉(zhuǎn)置運(yùn)算，U2K+1為酉矩陣，定義為

把U2K+1中間一行與中間一列刪去便得到U2K。對(duì)式(13)使用高階奇異值分解得到[20]

根據(jù)模式積的性質(zhì)，有

根據(jù)文獻(xiàn)[15]中的定義，將式(18)簡化為

3.3 聯(lián)合DoD與DoA估計(jì)

為了得到DoD與DoA估計(jì)，利用以下旋轉(zhuǎn)不變性方程[21]

其中，（?）-1為逆運(yùn)算。從Ψt+jΨr的特征值的實(shí)部和虛部能分別得到對(duì)角矩陣Φt與Φr。緊接著DoD與DoA便能自動(dòng)匹配，DoD與DoA通過以下計(jì)算式獲得

其中，λtk與λrk分別是Φt與Φr的第k個(gè)對(duì)角元素。

3.4 運(yùn)算復(fù)雜度分析

根據(jù)文獻(xiàn)[23]可知，對(duì)于一個(gè)M×N維的矩陣，對(duì)其進(jìn)行K秩截?cái)嗥娈愔捣纸猓⊿VD, singular value decomposition），需要的運(yùn)算復(fù)雜度為O(MNK)。另一方面，由于實(shí)值運(yùn)算的復(fù)雜度為復(fù)值運(yùn)算的且所提算法的運(yùn)算量大部分聚集在對(duì)于實(shí)值張量Yreal的高階奇異值分解，即對(duì)張量Yreal使用三維SVD，因此相應(yīng)的運(yùn)算復(fù)雜度為文獻(xiàn)[15]中的Tensor unitary ESPRIT算法需要的運(yùn)算復(fù)雜度為若直接對(duì)式(11)中的復(fù)值張量Y使用SVD，則相應(yīng)的運(yùn)算復(fù)雜度為因此所提算法通過酉變換進(jìn)行實(shí)值運(yùn)算較大程度地減少了相應(yīng)的運(yùn)算復(fù)雜度。盡管 Tensor unitary ESPRIT也是實(shí)值分解的算法，但所提算法的虛擬孔徑為Tensor unitary ESPRIT算法的2倍，因此后者的運(yùn)算量為前者的2倍。

4 仿真結(jié)果

本文將所提算法與ESPRIT-like算法[13]、Tensor unitary ESPRIT算法[15]和克拉美羅界（CRB,Cramer-Rao bound）[13]進(jìn)行比較，通過仿真實(shí)驗(yàn)證明本文所提算法的優(yōu)越性。在仿真中，雙基地MIMO雷達(dá)擁有M=8個(gè)發(fā)射天線，N=10個(gè)接收天線，除非另有說明，設(shè)定目標(biāo)數(shù)目為K=3，這3個(gè)目標(biāo)分別位于(φ,θ) = (-10o,10o)、

11(φ2,θ2)=(-8o, 8o)和 (φ3,θ3) = (15o,-15o)。仿真結(jié)果采用均方根誤差（RMSE, root mean square error）進(jìn)行角度估計(jì)性能評(píng)估，定義為其中，φ?k,i、θ?k,i分別是 DoD 的φk和 DoA 的θk在第i次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)的估計(jì)結(jié)果，Q是蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)的總數(shù)，本文中Q=500。另一個(gè)用來評(píng)價(jià)角度估計(jì)性能的參數(shù)為成功檢測(cè)的概率（PSD, the probability of the successful detection），定義為

其中，D為正確識(shí)別的總次數(shù)，而正確的實(shí)驗(yàn)要求所有估計(jì)角度的絕對(duì)誤差小于在仿真中，設(shè)置互耦參數(shù)為ct= [ 1,0.2 +j0.061]，cr=[1,0.15+j0.0251]，這些參數(shù)意味著在接收陣列與發(fā)射陣列中，前2個(gè)天線的位置較近，存在互相耦合的影響。

圖 1對(duì)比了在 3個(gè)目標(biāo)時(shí)不同算法中 SNR對(duì)RMSE的影響，快拍數(shù)設(shè)置為L=100。從圖1可以看出，在整個(gè)信噪比區(qū)間中，本文所提算法的角度估計(jì)性能優(yōu)于Tensor unitary ESPRIT算法與ESPRIT-like算法，且靠近CRB。這是因?yàn)楸疚乃崴惴ú粌H利用了信號(hào)的多維結(jié)構(gòu)，而且還考慮到了信號(hào)的非圓特性，而其他算法僅僅考慮了非圓結(jié)構(gòu)特性或張量結(jié)構(gòu)特性。僅次于本文所提算法的是 Tensor unitary ESPRIT算法，它的性能優(yōu)于ESPRIT-like算法，這是因?yàn)門ensor unitary ESPRIT算法考慮到了信號(hào)的多維結(jié)構(gòu)，在存在互耦的條件下獲得了優(yōu)良的識(shí)別性能。

圖1 RMSE與SNR的關(guān)系（3個(gè)目標(biāo)）

圖 2對(duì)比了在 2個(gè)目標(biāo)的情況下不同方法的SNR對(duì) RMSE的影響，這 2個(gè)目標(biāo)分別位于快拍數(shù)設(shè)置為L=100。從圖2中可以看出，本文所提算法的性能依舊優(yōu)于Tensor unitary ESPRIT算法與ESPRIT-like算法。另外，Tensor unitary ESPRIT算法的識(shí)別性能依舊優(yōu)于ESPRIT-like算法。

圖2 RMSE與SNR的關(guān)系（2個(gè)目標(biāo)）

圖3描述了快拍數(shù)的變化對(duì)RMSE的影響，其中SNR=0 dB。從圖3可以發(fā)現(xiàn)，隨著快拍數(shù)的增長，所有算法的性能都得到了不同程度的提高，且本文所提算法的總體性能優(yōu)于 Tensor unitary ESPRIT算法與ESPRIT-like算法。在非常低的快拍數(shù)下，Tensor unitary ESPRIT算法的性能優(yōu)于本文所提算方法，這是由于Tensor unitary ESPRIT算法通過空間平滑有效地增加了快拍數(shù)。當(dāng)快拍數(shù)大于50個(gè)時(shí)，本文所提算法性能優(yōu)于Tensor unitary ESPRIT算法與ESPRIT-like算法，與CRB十分接近。另外，在大快拍數(shù)的條件下，Tensor unitary ESPRIT算法的性能與 ESPRIT-like算法的性能接近一致，但是仍然劣于本文所提算法。

圖3 RMSE與快拍數(shù)的關(guān)系

圖4描述了幾種方法的識(shí)別成功率與SNR之間的關(guān)系，快拍數(shù)設(shè)置為L=50。從圖4可以看出，所有的算法在SNR足夠高時(shí)，都能夠達(dá)到100%的識(shí)別成功率，但是本文所提算法的識(shí)別成功率能夠更快地達(dá)到100%。在SNR相同的情況下，本文所提算法比其他算法擁有更高的識(shí)別成功率。一方面，本文所提算法能夠同時(shí)合理地利用信號(hào)的非圓特性和多維結(jié)構(gòu)特性，提升角度估計(jì)性能；另一方面，本文所提算法只涉及實(shí)值運(yùn)算，有效地減少了運(yùn)算復(fù)雜度。

5 結(jié)束語

本文針對(duì) MIMO雷達(dá)中存在未知互耦的非圓信號(hào)，提出了一種基于酉張量分解的角度估計(jì)算法。所提算法構(gòu)造了一個(gè)特殊的增廣張量用來捕獲非圓信號(hào)的非圓特性與多維結(jié)構(gòu)，且可以在張量域中消除互相耦合帶來的影響。另外，所提算法通過酉變換將數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為實(shí)值，極大地降低了運(yùn)算復(fù)雜度，節(jié)約了運(yùn)算時(shí)間。通過分析得知，所提算法比現(xiàn)有的基于子空間的識(shí)別算法擁有更好的識(shí)別性能，特別是在低信噪比和低快拍數(shù)的條件下。仿真結(jié)果表明，本文所提算法在識(shí)別性能上具有優(yōu)良性。

圖4 識(shí)別成功率與SNR的關(guān)系