多維復雜關聯因素下的大壩變形動態建模與預測分析

李明超，任秋兵，孔 銳，杜勝利，司 文

（1. 天津大學水利工程仿真與安全國家重點實驗室，天津 300354；2. 中國電建集團西北勘測設計研究院有限公司，陜西西安 710065）

1 研究背景

我國大壩建設取得了舉世矚目的成就，目前已有三峽、錦屏等一批大型水電工程［1-2］。大壩數量急劇上升，大壩潰決造成的損失亦隨之增加，這將加強大壩安全管理擺到了更為重要的位置。大壩安全監測是大壩安全管理的重要內容，同時是掌握大壩運行性態的主要手段［3-4］。鑒于此，對安全監測資料進行綜合分析是評判大壩安全狀況的最直接有效的方法之一。其中，大壩變形觀測資料易于獲取，能直觀可靠地反映大壩服役性態，故常運用數學模型和壩工理論構建大壩變形監控模型［5］。建立可靠的大壩變形監控模型對于及時發現安全隱患、保障大壩穩定運行具有重要意義。

大壩與基巖有機構成一個復雜時變的動力系統，其變形、滲流等效應量（又稱響應變量）自身具有不確定性、高度非線性等特征［6-7］。在系統內部，各變形監控點觀測數據序列之間往往存在交叉相似性，尤其是同一壩段不同高程的變形數列。此外，大壩在服役期間始終受到降水、庫水位、壩址氣溫等外部環境因子（又稱解釋變量）的耦合作用，即具有多誘因性［8-9］。因子間亦存在顯著的交互效應（簡稱因子相關性），例如庫區降水量、氣溫勢必會影響上下游水位變幅，進而引起變形性態的變化。就整體而言，關于大壩變形的復雜關聯性主要體現在單一因子內部、多因子之間、變形與因子之間、單一變形數列內部以及多測點變形數列之間等5個維度上。需要說明的是，單一環境因子內部的關聯性并不屬于大壩安全監控研究的范疇，至于單一變形數列內部的關聯性，可參考文獻［10］。因此，本文將重點對多因子之間、變形與因子之間以及多測點變形數列之間的關聯性在大壩變形動態建模中的應用展開研究。

大壩變形監控模型是多維復雜關聯性以數學形式表達的集成載體。目前，國內外常用的數學建模方法主要包括數理統計法、時序分析法和因果建模法等［11-12］。因果建模法由于適合處理復雜輸入-輸出關系且能夠整合多元監測信息，現已成為應用最廣泛的大壩變形數學建模方法。該方法一般根據歷史監測資料找出響應變量與其解釋變量之間的因果關系來建立相應的數學模型，然后通過求解對效應量作出估計［13-14］。例如，張豪等［15］根據各因子的特性，利用經驗模態分解和支持向量機（sup?port vector machine，SVM）構建出多尺度大壩變形監控模型。Kang等［16］提出了一種基于極限學習機的混凝土壩變形監控模型，并通過實例證明了該模型的有效性。Su等［17］采用相空間重構、改進粒子群優化小波支持向量機等算法建立了大壩變形組合預報模型，并將其應用于實際工程。總而言之，大壩變形與環境因子間的因果關系是構建上述模型的基礎。然而，多數因果模型賦予不同因子的輸入權重幾乎一致［18］，實則各因子對于大壩變形的影響程度是不同的，并且會隨著時間的推移而不斷變化。Dai等［19］借助統計模型優化隨機森林的方法證實了這一觀點，但其仍著重于靜態差別，而未顧及到因果關系的動態演化過程。

大壩變形數學建模僅考慮動態因果關系是不夠的。因子相關性會對模型的準確性和穩定性產生影響，特別是統計模型［20］。盡管運用簡單剔除［21］（如逐步回歸）、合并降維［22］（如主成分分析）等方法可以減小其影響，但仍未從根本上解決該問題。從模型角度考慮，以SVM 為代表的非線性模型（如隨機森林等）不易受因子相關性的影響［23］，進一步體現出非線性因果建模的優越性。此外，監測信息利用不充分，比如忽略多測點變形數列之間的相似性，會導致多測點監控模型的泛化能力不足。文獻調研發現，目前國內外有關多測點變形數列相似性的研究相對較少，已有研究多集中于插值填補［24］、異常檢測［25］等方面，這足以說明直接將序列相似性應用于數學建模尚未引起學術界的廣泛關注。于是，本文將因子相關性和序列相似性納入到大壩變形動態監控模型之中。

綜上，本文擬開展綜合考慮動態因果關系、因子相關性以及序列相似性等多維關聯性影響下的大壩變形動態建模及應用研究，其主要包括以下幾個方面的內容：（1）傳統因果建模中，各環境因子與大壩變形間的因果關系多用靜態線性相關系數來量化，難以體現兩者間的動態非線性演化過程。為真實反映因果關系，特提出一種動態非線性因果關系檢驗方法（dynamic nonlinear causality test，DNCT）；（2）針對如何衡量多測點變形數列間的相似性以及如何將其應用于大壩變形數學建模等問題，分別提出標準化動態時間規整算法（normalized dynamic time warping，NDTW）和交叉多輸出模型改進措施；（3）為驗證考慮因子相關性的必要性，引入一種耦合方差擴大因子（variance inflation fac?tor，VIF）和條件數（condition index，CI）的相關性診斷方法（VIF and CI-based coupling collinearity test，VCCT）；（4）結合工程實例，就如何將上述復雜關聯性集成于同一大壩變形數學模型中這一難題，總結提出一種兼顧相關性和相似性的大壩變形動態監控模型（causal model combining correlation with similarity，CMCS），并將其與傳統常用模型進行對比。

2 總體框架

根據環境因子及多測點變形數列等監控資料，在充分考慮動態因果關系、因子相關性以及序列相似性等多維關聯性影響的前提下構建大壩變形動態監控模型（CMCS），并將該模型應用于實際工程，研究框架如圖1所示。

（1）在維度層面上，建立因子集是探討多維復雜關聯性的基礎，遂以壩工理論和數理統計方法為依據對環境因子進行合理篩選。

（2）在關聯層面上，將多維關聯性細分為動態因果關系、因子相關性以及序列相似性等3 個維度，從而降低數學建模的復雜度。

（3）在檢驗層面上，為全面驗證考慮多維復雜關聯性的必要性，從上述3個維度出發提出對應關聯性的檢驗方法。

（4）在措施層面上，本文著重研究3種關聯性并存的最復雜情況，為此分別提出相應的數學建模方法。

圖1 大壩變形動態監控模型總體框架

（5）在模型層面上，將多種建模方法集成在同一模型中，隨即得到考慮相關性和相似性的大壩變形動態監控模型。

（6）以某混凝土重力壩為例，先構建各壩段的變形監測數據庫，后將所提模型應用于該項工程，并通過對比分析來驗證所提模型的有效性和準確性。

3 多維復雜關聯性檢驗及動態建模方法

3.1 多因子相關性大壩變形除受庫水壓力（水壓）影響外，還受到溫度、滲流以及時效等因素的影響，其中水壓由上游來水量、庫水位、庫水比重等因素確定，溫度由季節變化、氣象條件等因素確定，上述因子影響層級呈現樹狀結構［26］。鑒于此，從眾多影響因子中提煉出少量能夠反映大壩變形信息的因子就成為大壩變形數學建模的關鍵。目前發展較成熟且應用較多的變形監控模型主要有統計模型和確定性模型。與確定性模型相比，統計模型擬合精度較高，盡管沒有考慮大壩及壩基的物理特性，但已囊括大部分環境和結構信息，因而可據其建立因子集。具體來說，大壩變形δ按其成因可分為水壓分量δH、溫度分量δT和時效分量δθ，僅有氣溫資料時，變形統計模型［3］可表示為：

式中：a0為常數項；H 為上游水深；n為壩型系數，對于不同壩型，n 取值不同，其中重力壩一般取3，拱壩宜取4或5；i 為周期，對于年周期i=1，對于半年周期i=2；t 為監測日到基準日的累計監測天數，其中θ=t 100；m 通常取1或2；ai、b1i、b2i、c1和c2均為未知系數。

式中：VIFi為自變量xi的方差擴大因子；CIj為特征根λj的條件數；Ri2為自變量xi對其余p-1個自變量的復決定系數； λm為矩陣XTX 的最大特征根［27］，X 為自變量構成的矩陣。通常，當VIFi≥10 且CIj≥100 時，認為各因子間存在較為嚴重的相關性。

一般統計模型不適合處理因子相關性問題。此外，構建統計模型需要大量監測數據，其預測效果亦不理想。機器學習建模方法現已成功應用于大壩變形性態分析，尤以神經網絡和支持向量機（SVM）為甚。其中，SVM在解決小樣本、非線性及高維數問題中表現突出，并且不易受到因子相關性的影響，因而本文將基于SVM進行大壩變形動態建模。SVM模型基本原理和具體計算方法詳見文獻［28］。

3.2 動態因果關系作為一種輸入-輸出模型，SVM 常用來反映環境因子與大壩變形間的因果關系，但其在應用中仍存在固有問題，即模型對各個歸一化輸入因子的精度要求以及偏離精度要求的懲罰是一視同仁的［29］。實際上，不同環境因子對變形產生的影響往往有所不同，故需將這種“區別對待”引入模型中。諸多學者對此開展了廣泛研究，其中利用靜態線性相關系數（如Pearson 相關系數［30］、統計模型回歸系數［19］等）對不同因子分別進行加權處理是最常用的方法。該方法在一定程度上解決了這一問題，但用一定值量化因子與變形間的長期因果關系顯然是不合理的。大壩服役性態并非是一成不變的，水位、氣溫等環境因子在其運行中也是不斷改變的，據此斷定因子與變形間的因果關系始終處于動態變化中，且屬于非線性關聯。因此，有必要采用一種動態非線性方法對模型輸入進行適當修正。

滾動時間窗口算法［31］（rolling time window，RTW）是一種動態序列分析技術，可直接反映因子對變形所施加作用的動態特性。最大信息系數［32］（maximal information coefficient，MIC）不僅可以度量兩變量間的線性和非線性關系，還可以探索兩者潛在關聯性，如函數疊加等。為此，整合RTW和MIC提出一種動態非線性因果關系檢驗方法（DNCT），進而實現對SVM模型的動態輸入修正。現給定因子集{A1，A2，…，Am，…，AM}和多測點變形數列集合{B1，B2，…，Bn，…，BN}，分別選定因子和變形數列作為初始解釋變量和響應變量，那么DNCT具體實現過程如下：

（1）步驟1。全部輸入因子Am(m=1，2，…，M )均作同維規范化處理，以消除各個因子量級不同所帶來的影響［33］。此外，從A1、B1開始，根據監測數據量k 分別設置其滾動窗口大小為ωAm和ωBn（ω=ωAm=ωBn）。

（2）步驟2。在同一時間窗口內，給定有序對組成的有限集合對Am、Bn構成的散點圖中不同區域G進行x列y行網格化（允許某些網格為空集），并通過概率質量函數D|G 求出所有網格G在D上的最大互信息值MI*(D，x，y )，即：

（3）步驟3。對集合D上不同網格G的所有最大互信息值進行歸一化，得到特征矩陣M( D )x,y：

（4）步驟4。通過窮舉搜索獲取特征矩陣中的最大歸一化互信息值，也就是最大信息系數MIC( D )，0 ≤MIC( D )≤1。值得一提的是， MIC( D )不受解釋變量（即Am，m=1，2，…，M ）間顯式函數關系的影響。

（5）步驟5。利用嵌套循環計算全部環境因子Am(m=1，2，…，M )與多測點變形數列Bn(n=1，2，…，N )的動態最大信息系數DMICim×n(i=1，2，…，k )，其中循環次數C 由因子數量M和測點個數N確定。

（6）步驟6。將因子序列中各個時間點的監測量（或派生量）aim乘以對應動態最大信息系數以獲得動態修正后的輸入因子集{A′m，m=1，2，…，M }。

3.3 多測點相似性多測點變形數列間的相似性目前在大壩變形建模中的應用相對較少，本文將對此進行初步探討。一方面，不同于動態因果關系，序列相似性一般較為穩定，故可用一定值來量化。另一方面，僅用定值表示變形數列相似性，并將其與SVM相銜接，顯然未考慮多測點變形數列間的交叉（即一對多）關系。為此，分別提出標準化動態時間規整算法（NDTW）和交叉多輸出改進措施。動態時間規整算法［34］（DTW）是一種衡量時間序列相似度的經典方法，常用于語音識別、手勢辨認和信息檢索等領域。然而，在利用DTW 度量變形數列相似性時，尺度不一（如某測點變形δ ＜10 mm ，而另一測點變形δ′＞20 mm）致使難以對度量結果進行橫向比較，遂先利用標準化將各因子數值限定于既定范圍(0，1)，后采用DTW度量其相似性，其求解步驟詳見文獻［5］。另外，鑒于序列相似性存在交叉關系，多測點變形數列必須同時進行外推預測方能顧及響應變量間的關聯性，特將SVM由獨立單輸出改進為交叉多輸出模式，主要改進如下所述。

本文引入一種分層貝葉斯方法［35-36］，將多測點變形數列間的交叉相似性集成于常規SVM中，以改善因子集A ∈?M到多測點變形量B ∈ ?N的映射關系。與常規SVM 相仿，通過求解權函數和偏差向量即可完成數學建模。現假設wi=w0+vi，wi∈ ?nh，i ∈ ?N，其中vi∈ ?nh承載“相似信息”，序列相似性愈高，vi值愈小；反之，則承載“共性信息”的平均向量w0∈ ?nh值愈小。據此，最小化下列帶有約束條件的目標函數，如式（6）所示，以同時解得w0、b 和

式中：Ξ 為松弛變量；Z 為將輸入因子集A ∈?M映射到nh維希爾伯特空間（即特征空間）的函數；W=(w0+v1，w0+v2，…，w0+vN)∈?nh×N；γ、λ ∈?+均為正則化參數。

通過構造拉格朗日函數，結合Karush-Kuhn-Tucher 條件，簡化得到下列等價優化問題，其約束條件僅涉及V 和b ：

式中：IN=[1，1，…，1]T∈?N。

通過引入核函數（滿足Mercer 定理）、消除W 和Ξ 得到線性方程組［37］，并設方程組解為和b*，最終獲得多輸出模式下的決策函數f ( x )：

式中：κ(x，xj)表示核函數。

4 工程應用

基于上述動態建模方法，以某混凝土壩工程多測點變形監測數據為例，對CMCS模型進行有效性和準確性驗證，旨在通過此實例說明CMCS在大壩變形建模方面的優越性。西南地區某水利樞紐主要由攔河大壩、右岸地下廠房及左岸壩后廠房、通航建筑物和兩岸灌溉取水口組成，其控制流域面積為45.88萬km2，總裝機容量達775萬kW，具有發電、防洪、灌溉和攔沙等綜合效益。其中，攔河大壩壩頂高程384 m，最大壩高162 m，壩頂全長909.26 m，壩型為混凝土重力壩。現采用該壩某一壩段不同高程的垂線測點PL6Y（高程243 m）、PL6-1Y（高程260 m）、PL6-2Y（高程282 m）、PL6-3Y（高程322 m）以及PL6-4Y（高程350 m）方向變形監測數據（Y 方向表示與壩軸線垂直的方向），變形監測時段為2013 年10 月4 日—2017 年7 月9 日，共計5×230 個實測變形數據。利用三次Hermite 插值方法［38］對所選測點的變形原型觀測數據進行均勻化處理，得到平均每周一次數據采集的插值結果（即步長以周（w）為單位），將其與環境量（如上游水位、氣溫等）監測數據匯總于圖2中，以此為模型驗證提供必要條件。

4.1 復雜關聯性檢驗CMCS模型主要針對3種關聯性并存的最復雜情況進行分析，故復雜關聯性檢驗是該模型應用的先決條件。為驗證考慮多維復雜關聯性的必要性，利用耦合相關性診斷方法、動態最大信息系數和標準化動態時間規整算法分別檢驗大壩原型觀測數據中的因子相關性、動態因果關系和序列相似性。

圖2 上游水位、氣溫及變形監測數據

4.1.1 因子相關性檢驗 根據式（2）計算得到的因子相關性耦合診斷結果見表1。采用特征根判定法［27］得到最大條件數為223.83 ＞100，顯示因子間存在較為嚴重的相關關系。因子H、H2、θ和lnθ所對應的VIF值均大于10，進一步說明因子相關性主要由上述4個解釋變量所引起。經驗證，H和H2、θ和lnθ的簡單相關系數分別為0.99和0.98，呈現高度相關。此外，根據計算CI所得方差比例表［27］，判定強相關因子組合有{H，H2，H3} 和{θ，lnθ }，在表1中分別用“○”和“△”兩種符號表示。與VIF僅判定H和H2為強相關因子有所不同，CI計算結果斷定H3同為強相關因子，通過計算得知H和H3、H2和H3的簡單相關系數均為0.99，最終證實H3確實參與導致因子相關性。綜上，所選多測點變形監測數據中存在嚴重因子相關性，同時說明耦合VIF與CI能有效提高因子相關性的診斷率。

表1 因子相關性耦合診斷結果

4.1.2 動態因果關系檢驗 不同環境因子與多測點變形數列間的動態因果關系度量結果如圖3 所示（由于DMIC不受解釋變量間顯式函數關系的影響，特將H、H2、H3和θ、lnθ作統一展示）。DMIC值越大，表示因果關系越顯著。從圖3中得知：（1）水位因子H、H2和H3與5個測點變形數列的動態演化過程基本一致。圖形整體波動較大，多數DMIC值小于0.5，說明水位對變形的影響相對較小，且持續時間較短。（2）溫度因子sin（2πt/365）、cos（2πt/365）、sin（4πt/365）和cos（4πt/365）與各測點變形數列的動態演化過程存在差異，但總體上PL6Y 和PL6-1Y、PL6-3Y 和PL6-4Y 演化過程較為接近，說明不同高程下溫度對變形的影響雖有不同，卻有規律可循。與圖3（a）相比，圖形整體波動減小，DMIC值增大，表明溫度對變形的影響相對較大，且具有一定持續性。（3）時效因子θ、lnθ與各測點變形數列的動態演化過程差異顯著，表示不同高程下時效對變形的影響明顯不同。圖3（f）中，圖形整體波動進一步減小，DMIC值大多維持在0.75以上，尤以PL6-3Y和PL6-4Y演化過程為甚，說明時效對變形的影響持續顯著。較之于上述動態演化過程，靜態因果關系MIC度量結果（見表2）僅能表明不同高程下時效因子θ 和lnθ 對變形的影響較大。由此可見，通過度量動態因果關系能夠提高環境量、變形等監測數據的潛在信息利用率。

圖3 不同環境因子與多測點變形數列間的動態因果關系度量結果

表2 靜態因果關系MIC度量結果

4.1.3 序列相似性檢驗 多測點變形數列相似性度量結果如圖4所示。NDTW值越小，表示兩變形數列間相似性越高。由圖4可知，PL6-3Y和PL6-4Y相似度最大，隨后是PL6-2Y和PL6-3Y，其余數列對NDTW值均介于10到20之間。簡言之，5個測點變形數列中PL6-2Y、PL6-3Y和PL6-4Y三者較為相似，表明同一壩段不同高程的垂線測點變形數列存在明顯交叉相似性。

圖4 多測點變形數列相似性度量結果

4.2 CMCS模型應用由4.1可知，所選多測點變形監測數據中存在因子相關性和序列相似性，故采用CMCS模型對其進行大壩變形動態建模分析。根據3.1節統計理論推導，模型輸入因子集統一確定為{H ， H2， H3，sin(2πt 365)，cos(2πt 365)，sin(4πt 365)，cos(4πt 365)，θ ，}lnθ ，結合3.2節DNCT方法和4.1.2節動態因果關系度量結果，得到動態修正后的輸入因子集分別為{DMIC1хnH，cos(4πt 365)，DMIC8×nθ，DMIC9×nlnθ }，n=1，2，…，5，對應模型輸出則為PL6Y、PL6-1Y、PL6-2Y、PL6-3Y以及PL6-4Y等5個測點的變形量。為驗證CMCS模型的可行性和有效性，本文變形預測仿真實驗設定實測步長為200w（2013年10月4日—2017年1月10日，數據示于圖2中豎線以左）、預測步長為30w（2017年1月16日—2017年7月9日，數據示于圖2中豎線以右），模型應用步驟簡述如下：（1）輸入因子集歸一化處理；（2）選取徑向基函數（radial basis function，RBF）作為核函數，即初始化模型參數(γ，λ，p )，其中p 為正則化常數；（3）采用網格搜索和10折交叉驗證擬合實測期數據以尋求最優參數組合并求解超參數α 和b ；（4）以交叉多輸出模式為基礎，利用預測期數據測試CMCS模型的多測點變形預報性能。

在大壩變形建模研究中，均方根誤差（root mean squared error，RMSE）、平均絕對誤差（mean ab?solute error，MAE）、平均絕對百分比誤差（mean absolute percentage error，MAPE）和最大誤差（maxi?mum error，ME）是評價大壩變形監控模型性能較為常用的4項統計指標［38-40］。

圖5 多模型在不同測點變形預測中的性能對比結果

4.3 多模型性能評估為凸顯CMCS模型的優勢，現將其與同樣基于SVM構建的時間序列模型（time series model，TSM）、常規因果模型（conventional causal model，CCM）進行性能對比，以上模型在5個測點變形預測中的性能對比結果如圖5所示。從圖5可以看出：（1）TSM模型對15w內的整體趨勢把握較準，15w外其預測趨勢出現較大偏離。該模型預測變形曲線較為平滑，故其難以預測局部波動。（2）相比于TSM模型，CCM模型變形預測值與實測值波動匹配度更高，但仍有部分時間段偏差較大。該模型預測變形曲線起伏較大，說明其對環境因子變化較為敏感。（3）三者中，CMCS模型在整體趨勢外推、局部波動擬合等方面的性能均比TSM、CCM模型優越，可見融合多維復雜關聯性對于大壩變形監控模型性能的改善起到一定作用。上述三種模型在不同測點變形預測中的性能量化評估結果（詳見表3 和表4）亦能證明這一觀點。就本文所選變形監測數據，各模型對高程300 m 以下PL6Y、PL6-1Y和PL6-2Y三測點變形預測效果按照統計指標（見表3）從優到劣排序為CMCS＞TSM＞CCM，而對高程300 m 以上PL6-3Y 和PL6-4Y 兩測點變形預測效果按照統計指標（見表4）從優到劣排序為CMCS＞CCM＞TSM。總體而言，考慮動態因果關系和序列相似性的CMCS模型對該壩段多測點變形監測數據的適應性尤佳。

表3 多模型在測點PL6Y、PL6-1Y和PL6-2Y方向變形預測中的性能量化評估結果

表4 多模型在測點PL6-3Y和PL6-4Y方向變形預測中的性能量化評估結果

5 結論

本文提出一種兼顧相關性和相似性的大壩變形動態監控模型，其采用多種關聯性量化和數學建模方法將因子相關性、動態因果關系和序列相似性集成于同一建模框架中，既能促進模型的一體化構建，又能實現對大壩變形監測數據的準確分析。基于所提出的動態建模方法，結合某混凝土壩工程多測點變形監測數據進行多模型性能對比仿真實驗，結果表明該模型在變形預報方面優勢明顯，主要表現為：（1）內置多維復雜關聯性檢驗方法，可通過量化關聯性來靈活調整大壩變形動態建模的流程；（2）采用動態最大信息系數真實還原環境因子與大壩變形間的演化過程，以實現對輸入因子的動態非線性修正；（3）將多測點變形數列間的相似性融入大壩變形監控模型，增加信息維度的同時，還能完成多測點變形預報；（4）根據多測點變形特性差異，通過網格搜索賦予模型以參數尋優能力，從而完成指向性模型的建立；（5）充分考慮多維復雜關聯性，使大壩變形監控模型的預測性能得以改善。

鑒于大壩變形動態監控模型能夠集成解釋變量、響應變量以及兩者間的多種關聯性，更適合應用于各壩段多測點變形監測數據的有效預報。考慮到該模型僅融合了三種關聯性，仍有部分隱含信息未被顧及，故后續將重點研究大壩變形與多因子耦聯系統的演化規律，并將所得有效信息納入到模型中。