EMD-RLS聯合濾波算法及其在北斗多路徑削弱誤差中的應用

嚴 超，王 慶，楊高朝，張 昊

（東南大學 儀器科學與工程學院，南京 210096）

全球導航衛星系統（Global Navigation Satellite System,GNSS）測量誤差源有許多種類，在短基線解算中，星歷誤差、衛星及接收機鐘差、電離層及對流層延遲誤差等相關性較強的測量誤差均可利用差分法和相應的誤差改正模型予以消除[1]，而與測站周圍物理環境關系較大的多路徑誤差和與接收機自身有關的隨機噪聲則無法用上述方法消除[2]。所以，多路徑效應成為GNSS高精度定位的主要誤差來源之一[3]。近年來，國內諸多學者對多路徑效應的影響進行了大量的試驗研究，并在實踐中取得了一定的成效。

目前，處理多路徑效應誤差的方法可以分為外業觀測、接收機硬件和數據后處理三類。本文主要是針對數據后處理方法開展研究，其核心是所處理的GNSS觀測數據中存在著多路徑信息[4]。GNSS接收機天線周圍的物理環境如何變化較小或者未發生改變時，其多路徑誤差存在著較強的周日重復性，這是對多路徑誤差建模的關鍵。目前，處理方法主要為多路徑重復性改正模型和頻域濾波法兩類[5]。多路徑重復性改正模型法是指利用其周日重復性這一特征，當 GNSS接收機天線處于靜止狀態時利用靜態觀測數據提取多路徑誤差，并進行建模[6]。但隨著時間的推移，多路徑效應的重復性會逐漸降低。頻域濾波算法主要為小波分析法（Wavelet Transform,WT）和經驗模式分解法（Empirical Mode Decomposition,EMD）。文獻[7]和文獻[8]利用小波變換方法提取 GPS觀測值中的多路徑誤差，然后將得到的多路徑誤差直接應用到GPS觀測值來校正多路徑效應，實驗結果表明該方法可以削弱GPS永久站的多路徑誤差。雖然小波變換在GPS多路徑削弱方面存在優勢，但小波基的選擇卻沒有統一的支撐理論。經驗模式分解（EMD）將信號在空間域中進行分解，可以有效地區分開噪聲和有用信號[9]，從而成為多路徑誤差提取的新技術。文獻[10]確立了EMD方法分解級數的標準，并將其方法應用到 GPS多路徑效應的提取，實驗結果表明了該方法的有效性。文獻[11]利用噪聲輔助數據分析方法對低階模態分量進行處理，基于此對 EMD算法進行了改正，并將其應用到GPS多路徑誤差的提取。結合WT和EMD方法的各自優點，文獻[12]提出了EMD-Wavelet模型，實驗結果表明該方法可以消除基線解算過程中載波相位的噪聲，提高了模糊度解算的可靠性。

不同于GPS系統、GLONASS系統和Galileo系統的單一MEO衛星（Medium Earth Orbit），我國自主研發的北斗導航定位系統（BeiDou Navigation Satellite System,BDS）增加了軌道高度較高、運動角速度較慢的GEO衛星（Geostationary Earth Orbit）和IGSO衛星（Inclined Geosynchronous Orbit）[13]。從 GPS 和 BDS系統衛星星座的差異可以推斷兩者的多路徑效應特征也存在著差異性。文獻[14]對BDS多路徑效應進行了詳細分析，證實BDS與GPS多路徑效應特征具有較大差異性。而如何削弱BDS多路徑效應是近些年來的研究熱點。對于GPS多路徑的研究取得了很多成果，其中有些方法也適用于BDS。文獻[15]和文獻[16]的分析表明BDS衛星的偽距多路徑誤差約為m級，文獻[17]表明其載波相位多路徑誤差約為cm級，并利用恒星濾波法（Sidereal Filter,SF）和MHM算法（Multipath Hemsipherical Map）對比分析了各自對BDS多路徑效應的改善效果。文獻[18]利用KF（Kalman Filter）和RTSS（Rauch-Tung-Striebel Smoother） 從SF的單差殘差中提取多路徑誤差，并與WT和EMD算法進行對比分析。文獻[19]利用 EKF（Extended Kalman Filter）和 SF相結合的方法，從短基線中提取多路徑誤差，與單獨的EKF（Extended Kalman Filter）和SF相比，聯合算法在模糊度固定及定位精度上均有所提升。目前，由于聯合算法保留了單獨算法的優點，也一定程度上彌補了單獨算法的缺點，成為當前的研究熱點。

鑒于上述分析，針對BDS動態監測中載波相位多路徑效應誤差日周期性的特征，并結合 EMD和遞歸最小二乘算法（Recursive Least-Squares Algorithm,RLS）算法的優勢，提出了一種 EMD-RLS聯合濾波算法來削弱BDS多路徑效應的影響。首先，EMD 將原始信號分解成固有模態函數（Intrinsic Mode Function ,IMF），利用兩個指標將IMFs分量細化為噪聲 IMFs、混合 IMFs 和信息 IMFs；然后，采用RLS算法對混合IMFs分量進行濾波；再將經RLS濾波后的“干凈”數據與信息IMFs重構得到降噪信號，即為BDS多路徑誤差改正模型；最后，利用仿真數據和BDS超短基線數據對該方法進行了驗證。

1 EMD-RLS聯合濾波算法

1.1 EMD算法

EMD算法的基本思想是把復雜信號X(t)分解成n個不同時間尺度的固有模態函數（IMF）和一個趨勢項[9,20]。每個IMF分量需滿足：在整個序列中，極值點的數目與過零點的數目必須相等或最多相差1個；由局部極大值所構成的包絡線以及由局部極小值所構成的包絡線的平均值為0[20]。因此X(t)可表示為：

若原始信號X(t)是高斯分布的，其分量信號也同樣為高斯分布。所以，濾掉信號中混有的m級高頻白噪聲 IMF分量，剩余信號分量X^(t)就是實際有用的信號，即：

EMD的具體分解如圖1所示[20]，其中：x(t)為帶分解序列；hi(t)為第i個 IMF;ri(t)為分解過程中序列的余項。當滿足單調條件時序列分解結束，SD為各IMF的篩選準則，也是停止篩選過程的判斷依據，實際應用中SD一般取0.2～0.3。

一般來說，大尺度的IMFs反映信號的低頻部分，小尺度的 IMFs反映信號的高頻部分，而噪聲信號主要集中在高頻部分。EMD算法雖對噪聲能進行有效的剔除，但對于IMFs更加詳細的分類，即噪聲IMFs信號、混合IMFs和信息IMFs卻缺乏明確的區分標準。

圖1 EMD分解流程Fig.1 Flow chart of EMD decompose

1.2 RLS算法

遞歸最小二乘算法（Recursive Least-squares algorithm,RLS）可描述如下[21]：假設我們觀測到的矢量為Xm(l)，且希望確定的是誤差幅度平均的加權和ξM(n)達到最小時的濾波器系數矢量hM(n)。

式中，eM(l,n)誤差為期望序列d(l)和估計d(l,n)之間的差值，即：

假設有最優濾波器系數hM(n-1)、矩陣PM(n-1)以及矢量XM(n-1)，當得到新的信號成分x(n)時，通過從XM(n-1)中去掉x(n-M)項并添加x(n)項作為第一個元素，就構成矢量XM(n)。所以，濾波器系數的遞歸計算如下：

計算濾波器輸出：

計算誤差：

計算Kalman增益矢量：

更新相關矩陣的逆：

更新濾波器系數矢量：

RLS算法對非平穩信號的適應性好，具有收斂速度快、估計精度高、穩定性好等優點。

1.3 EMD-RLS聯合濾波算法提取BDS多路徑誤差

EMD-RLS聯合濾波算法如圖2所示，其削弱BDS多路徑效應的具體步驟如下：

1）將含有噪聲的參考信號，利用EMD算法分解成若干IMF；

2）利用兩個指標M1和M2，將分解的IMF細化分為噪聲 IMFs、混合 IMFs和信息 IMFs三類，則式(1)改寫成：

3）多路徑誤差主要集中信息 IMFs和混合 IMFs中“干凈”的部分，所以，對高頻的噪聲 IMFs舍棄，利用RLS對混合IMFs進行處理，所得到的“干凈”結果與信息IMFs重構得輸出信號x′(t)，即可得到當天多路徑誤差：

式(10)和(11)中的M1和M2的具體求解如下[22]：

首先，將重構信號表示為

然后，用連續均方誤差(consecutive mean square error,CMSE)計算兩個連續重構信號之間的平方歐氏距離序列：

所以，M1為

其中，[2m/3]為不超過2m/3的最大整數。無論是混合IMFs還是信息IMFs，其能量都要高得多，根據此特性可以使用CMSE來確定第一個索引參數M1。

功率密度函數（Power Density Function,PDF）可以表示數據的形狀分布，是反映數據特征的良好指標。令原始信號的PDF與每個IMF的PDF之間的相似性為：

式中，“dist”表示由 2-范數計算的兩個PDF之間的距離。對于P和Q兩個PDF，其2-范數為

所以，M2為

4）利用第一天的靜態數據的原始坐標殘差序列，通過步驟1、2、3）得到多路徑誤差模型的初始參考信號x1′(t)，再利用當天的多路徑誤差信號x′(t)，求取兩者之間的相關系數a；

圖2 EMD-RLS聯合濾波算法流程Fig.2 Flow chart of EMD-RLS

2 仿真實驗分析

設含噪聲的模擬數據模型為：

式中，et為正態白噪聲；t為時間；yt為不含噪聲的原始參考信號，其模擬位置信號模型為：

單位為cm。

2.1 實驗方案

模擬數據的取樣間隔為1 s，樣本數為8000，et分別設置為服從正態分布N(0,0.502)、N(0,1.002)、N(0,1.502)、N(0,2.002)、N(0,2.502)和N(0,3.002)六組數據，均值與標準差單位為cm。為了更好地展現聯合算法的效果，設置如下的實驗方案。

方案一：對噪聲未進行任何處理；

方案二：采用RLS算法；

方案三：采用EMD算法；

方案四：采用EMD-RLS算法。

為了對比不同算法的解算效果，選用濾波后信號部分的RMS值SRMS、濾波后噪聲部分的RMS值NRMS和降噪后的信號與原始參考信號的互相關系數R進行評價，其中：

式中：N為信號的總長度；為濾波后的信號；cov(,yt)為與yt的協方差，、σy分別為與yt的標準差。

2.2 實驗結果分析

為了驗證算法的降噪效果，圖3中給出了et服從正態分布N(0,0.502)模擬信號時四種方案的處理結果。圖3(a)為不含噪聲的原始信號和含噪聲的參考信號。然后，利用四種方案對含噪聲的參考信號進行降噪，得到降噪后的信號，如圖3 (b)所示。最后，為了對比不同算法的降噪結果，將降噪后的信號與不含噪聲的原始信號作差，如圖3(c)所示。表1統計了不同噪聲水平下EMD、RLS和EMD-RLS算法的SRMS、NRMS和R值。

從圖3和表1中可以看出，三種算法的SRMS和NRMS值隨著噪聲水平的增大而增大，但不同的算法有呈現出不同的大小。RLS法的SRMS值約為EMD-RLS法的3倍，約為EMD法的1.5倍；EMD-RLS法和EMD法的NRMS值與對應的噪聲水平的大小均相近，而RLS法的NRMS值與對應的噪聲水平相差較大。

圖3 et服從正態分布N(0,0.50)模擬信號Fig.3 Normal distribution N(0,0.50) analog signal et

表1 基于不同算法的降噪效果統計Tab.1 Statistics of noise reduction effect using different algorithms

從上述的分析可以看出，EMD-RLS降噪效果優于EMD法和RLS法。隨著噪聲水平的增大，三種算法的R值呈現下降的趨勢，說明隨著噪聲水平的增加，三種算法的降噪效果均有所下降。在同一噪聲水平下，EMD-RLS法的R值均高于 EMD法和 RLS法，且EMD-RLS法的R值均大于 0.91，說明了 EMD-RLS法降噪后的信號與不含噪聲的原始信號波形保持了較高的相似。無論從SRMS、NRMS值還是從R值來看，都說明了EMD-RLS法降噪效果優于EMD法和RLS法。

3 BDS實驗結果分析

本文實驗數據選用澳大利亞Curtin GNSS Research Centre的CUT0和CUTB站實測數據，其中兩站的接收機均為Trimble NETR9，天線為TRM 59800.00?；€長度為4.27 m，采集時間自2018年7月22日0時至24日24時（共3天數據，其年積日分別為203、204和 205，故簡記為 D203、D204、D205），采樣間隔為30 s，數據處理策略如表2所示。

一般認為，超短基線解算通過載波雙差方法求解得到的坐標殘差主要存在隨機噪聲和多路徑誤差。為了更加清晰地觀測坐標序列的趨勢和進行直觀的對比分析，現將3天的坐標序列繪制于同一圖中，如圖4所示（將D204與D205的N、E、U方向的坐標序列分別依次增加常數2 mm、4 mm和4 mm）。

表3統計了D203 與后面2天以及相鄰2天的坐標殘差序列相關系數。

表2 數據處理策略Tab.2 The strategy of data processing

圖4 原始坐標序列Fig.4 Raw coordinates

表3 各天坐標殘差序列相關系數Tab.3 Correlation coefficients of raw coordinates

從圖4和表3可知，三天的坐標殘差序列存在明顯的重復性，不僅含有高頻的隨機噪聲，而且還含有低頻的多路徑效應誤差。N方向的相關性約為0.6，E方向約為0.7，U方向約為0.5，該相關性低于文獻[23]的統計結果，主要是因為Curtin GNSS Research Centre為了抑制多路徑效應的影響，采用了扼流圈天線，且測站周圍沒有強反射面，而文獻[23]為了分析多路徑效應，采用普通天線，且在測站周圍布設了強發射面。從上述的分析中也可以看出，扼流圈天線也只能抑制部分的多路徑效應。

為了再次驗證算法的降噪效果，采用 2.1節的四種方案進行降噪實驗。圖5是RLS、EMD和EMD-RLS聯合算法的消噪結果（限于篇幅，只選擇D203的數據進行分析）。表4統計了降噪前后坐標序列的RMS值。

從圖5和表4中可知，EMD-RLS聯合算法濾波后的 RMS值與其他兩種算法的效果基本一致，且三種算法濾波后與未濾波的 RMS值也相差甚小，說明采用的數據中隨機噪聲只存在很小的一部分（這是因為在BDS數據處理時，采用了向前向后濾波方式，在一定程度上降低了數據中的隨機噪聲），多路徑效應占主導地位。

圖5 D203降噪效果Fig.5 Result after D203 de-nosing

圖6是RLS、EMD和EMD-RLS3種算法提取3天的多路徑模型序列。通過對比可以發現，EMD-RLS算法提取的多路徑模型序列與 EMD法相當，且兩種方法均要優于RLS算法。為了更加直觀地分析三種算法提取多路徑模型的效果，表5統計了多路徑序列濾波前后的相關系數。

由表3和表5的結果可以看出，前后兩天的BDS多路徑效應有很強的重復性，進一步表明，EMD-RLS算法提取的多路徑模型序列與EMD 法相當，且兩種方法均要優于RLS算法。

表4 降噪前后坐標序列的RMS值Tab.4 RMS of coordinate series before and after de-nosing

圖6 三種算法提取的多路徑序列Fig.6 Multipath error series using three algorithms

為了分析本文所提出的EMD-RLS算法在削弱多路徑誤差的效果，采用后面2天的坐標序列減去多路徑誤差改正模型，圖7為D204處理之后的坐標殘差序列圖。為了定量地分析三種算法的定位精度，分別計算出RMS值。表6統計了D204和D205處理之后的坐標殘差序列的RMS值。

從圖7和表6可知：D204相對于D205有更好的改善效果，因而，當多路徑誤差改正模型時間間隔較短時，可利用三種算法的重復性建模較好地削弱多路徑效應的影響，但隨著時間間隔的增大，會降低其改善效果；EMD-RLS算法提取的多路徑模型的改善效果要優于其他兩種算法。對比N、E、U方向RMS值和改善效果，E方向的改善效果最明顯，達到74%以上，而N、U方向分別提升了39%、58%，D204濾波前，U方向的RMS小于E方向，濾波后，E方向的RMS小于U方向，這是因為E方向上3天的坐標序列相關性最大，其受多路徑效應的影響也最大，所以通過已有的多路徑模型，可以很好地削弱多路徑效應。

表5 多路徑序列濾波前后的相關系數Tab.5 Correlation coefficient of multipath series before and after filtering

圖7 D204去除多路徑誤差的坐標殘差序列Fig.7 Coordinate residual series of D204 after deducting multipath error

表6 多路徑改正模型前后坐標序列的RMS值Tab.6 RMS of coordinate series before and after multipath correction was applied

通過上述的分析可以看出，EMD-RLS算法可以更好地提取多路徑模型，削弱多路徑效應的影響。

4 結 論

本文結合EMD和RLS算法的優勢，提出了一種EMD-RLS聯合濾波算法來削弱多路徑特性的影響。將本文提出的 EMD-RLS聯合濾波算法與 EMD和RLS算法進行了比較，得出以下結論：通過模擬不同噪聲水平的數據，驗證了EMD-RLS聯合濾波算法的有效性，并通過對比分析得出EMD-RLS降噪效果優于EMD算法和RLS算法；將該方法應用于BDS多路徑誤差模型的提取，并利用該模型對隨后兩天的多路徑誤差進行改正，實驗結果表明，其有效地削弱了多路徑誤差的影響，提高了BDS的定位精度。