基于相位補償的艦船升沉位移測量方法

黃衛權，王 剛，程建華，馬 駿

（哈爾濱工程大學 自動化學院，哈爾濱 150001）

艦船在航行過程中受到海浪和海風等因素的影響，將進行六自由度運動，其中大幅度的升沉運動會對艦載機的起降、艦載武器系統的發射、氣墊船登陸等產生影響，在高海況下影響更為明顯。艦船的控制機構或者操作人員可利用準確的升沉信息提高艦船工作的安全性和可靠性，故升沉信息實時和準確的測量具有重要的工程價值和實際意義[1]。慣性導航系統利用陀螺儀和加速度計測量載體角運動和線運動，通過導航計算機的解算可以實時輸出姿態、速度和位置信息，其不依賴于任何外界信息，并且具有較高的精度和穩定性[2]。由于慣性導航系統能夠實時輸出垂向加速度信息，因此本文采用捷聯慣性導航系統（Strapdown Inertial Navigation System,SINS）獲得實時垂向加速度信息。

文獻[3]采用自適應巴特沃斯濾波器對艦船升沉位移進行濾波處理，減少了升沉測量誤差。但是濾波器的最優截止頻率容易因外界傳感器誤差的干擾而失真，雖然針對這一問題設計了補償算子，但該補償算子只在部分海況下適用，因此具有局限性。文獻[4]提出了基于無延時濾波器的升沉測量方法，解決了相位誤差的問題，但存在低頻衰減較慢并且收斂時間較長的問題。文獻[5]在升沉數字濾波器的基礎上通過實時修正傳遞函數的零點和極點解決了相位問題，但存在穩定性問題，有局限性。文獻[6]采用GPS信號對SINS輸出的升沉位移信息進行修正，可以提高升沉位移的測量精度，但是當GPS信號較弱時，該方法無法使用。文獻[7]通過引入加權傅里葉線性組合算法（Weightedfrequency Fourier Linear Combiner,WFLC）對升沉信息進行頻率估計，然后設計自適應延時校正算法對超前相角進行補償，提高了升沉信息測量的精度。WFLC算法最早應用在震顫信號方面，該算法在迭代過程中通過不斷優化擬合信號的基頻可以達到較好的擬合結果。

本文將WFLC算法引入到艦船升沉運動測量中，進而設計了自適應FIR濾波器。通過WFLC算法對升沉測量信息進行實時頻率估計，然后通過自適應FIR濾波器進行相位補償以提高艦船升沉信息測量的準確性和實時性。

1 升沉運動測量原理

式中：n為地理坐標系，選取東-北-天右手坐標系；vn為載體速度矢量在地理系的投影，為捷聯矩陣，fb為設備輸出載體系下的比力信息，為地球相對慣性系的旋轉角速率在地理系投影，為地理系相對地球旋轉角速率在地理系投影，gn為重力加速度在地理系的投影。式(1)可知慣導系統輸出的垂向加速度信息中的重力加速度、哥氏加速度和離心加速度等有害加速度已被補償，但fb中存在加速度常值零偏和噪聲，其通過捷聯矩陣轉換到垂向加速度信息中。設載體系上加速度計三軸常值零偏為則通過捷聯矩陣后的等效垂向加速度零偏b為：

式中，θ為橫搖角，φ為縱搖角。

慣導系統提供的垂向加速度az模型可簡化為：

式中，為真實的垂向加速度信息；b為等效垂向加速度零偏；n為等效加速度計噪聲。

2 傳統升沉數字濾波器

為了對輸入的加速度信息實現低頻快速衰減和特定頻段二次積分，Godhavn提出了升沉數字濾波器，傳遞函數如下：

其中，ζ為阻尼系數，通常取0.7071；ωc為系統的截止頻率。二次積分環節的傳遞函數如下：

圖1為傳統升沉數字濾波器的Bode圖，H1(s)和H2(s)分別為截止頻率ωc在0.05 Hz和0.08 Hz的升沉數字濾波器。首先分析H(s)在特定頻段的二次積分特性。圖1表明，由于艦船升沉運動的頻段大都處于0.08～0.2 Hz 之間[9]，該頻段內H(s)與Hint(s)的幅頻特性基本相同，但在相頻特性上，H(s)超前于Hint(s)，在截止頻率不變的情況下，超前量隨著輸入信號頻率的增大而減小。在輸入信號頻率不變的情況下，超前量隨截止頻率的減小而減小。

圖1 傳統升沉數字濾波器的Bode圖Fig.1 Bode plot of traditional heave digital filter

在低頻特性方面，圖1表明H(s)具有低頻衰減特性，并且截止頻率越大，低頻衰減越快。在噪聲對系統的影響方面，設輸入噪聲是高斯白噪聲，方差為σn2，其譜密度：

噪聲產生誤差的方差為：

可得：

式(8)表明，ωc越小，噪聲產生的誤差方差越大，噪聲對系統的影響越大。

上述分析可知，在保證H(s)與Hint(s)幅頻特性基本相同的前提下，適當地增大截止頻率能夠抑制噪聲和等效零偏對系統的影響，然而截止頻率的增大會導致相位超前量的增大，這也是傳統升沉數字濾波器的不足之處。因此，需要對H(s)的輸出進行相位補償。

3 基于自適應濾波器的相位補償

由第2節可知，為了提高升沉測量的精度，需要解決傳統升沉數字濾波器輸出相位超前的問題，本節提出一種基于自適應FIR濾波器的相位補償算法，整體流程圖如圖2所示。相位補償的步驟如下：

圖2 相位補償算法流程圖Fig.2 Flow chart of phase compensation algorithm

1）實時采集安裝在艦船內的捷聯慣性導航系統的垂向加速度信息az，將垂向加速度信息az通過升沉數字濾波器H(s)得到相位超前的升沉信息y(k)。

2）利用WFLC算法對垂向加速度信息az進行實時頻率估計，得到頻率w，根據頻率w計算出需要補償的相位信息p。

3）根據估計頻率w和需要補償的相位信息p計算得到維納解（最優解）wo，設計出一階自適應FIR濾波器。

4）通過自適應 FIR濾波器對相位超前的升沉信息y(k)進行相位校正，得到輸出y′(k)。

5）實時輸出相位校正后的升沉信息y′(k)。

3.1 基于WFLC算法的頻率估計

由于傳統升沉數字濾波器H(s)輸出的相位誤差與輸入信號的頻率有關，因此需要實時地估計出H(s)輸入信號頻率。通常，使用短時快速傅里葉變換（Shorttime Fourier Transform,STFT）對信號進行頻率估計時，窗口的選擇對結果的影響較大，若窗口較窄，則時間分辨率高，頻率分辨率低，若窗口較寬，則時間分辨率低，頻率分辨率高[10]。從頻率分辨率和運算實時性考慮，STFT并不合適對輸入信號頻率進行實時的估計。在傅里葉線性組合算法（Fourier Linear Combiner,FLC）的基礎上Riviere等人提出了WFLC算法，通過最小均方（Least Mean-Square,LMS）算法不斷修正傅里葉系數向量和模型的頻率，使建立的模型與輸入信號進行匹配，其運算復雜度低，且在較窄頻段內估計的頻率精度較高，滿足頻率估計的實時性和準確性，本文采用WFLC算法對輸入信號頻率進行估計。

WFLC算法迭代的流程圖如圖3所示。

圖3 WFLC算法流程圖Fig.3 Flow chart of WFLC

WFLC算法中建立的模型為：

式中，w0k為估計的基頻；r為諧波的次數；為了估計輸入信號的主導頻率，M通常取1。

WFLC算法在迭代過程中的誤差為：

式中，yk為外部輸入信號，為算法中的系數向量，為算法中的模型向量。

使用LMS算法尋找最優基頻的迭代過程為：

其中，μ為基頻在迭代過程中的收斂因子，為與w0k有關的誤差梯度向量。將式(9)代入式(11)可得：

系數向量通過LMS算法的迭代過程為：

其中，μw為系數向量在迭代過程中的收斂因子。

WFLC算法整體迭代過程如下：

根據上述迭代過程可知，系數向量wk和基頻w0k不斷被修正，w0k即為需要估計的頻率信息。為了保證算法收斂，需要合理選取收斂因子μ和μw。

接下來對WFLC算法的頻率估計性能進行驗證。外部輸入信號采用頻率正弦變化的信號，幅值為 1，頻率范圍為0.08～0.3Hz，采樣頻率為200Hz。WFLC算法中M=1，μ為0.4，μw為0.008，系數向量和模型向量的初值為零向量，初始基頻為零。通過WFLC算法對該輸入信號頻率估計的結果如圖4所示。

圖4 WFLC頻率估計結果對比Fig.4 Comparison of WFLC frequency estimation results

圖4表明，待算法穩定后，WFLC估計的頻率能夠在頻段內很好地跟蹤輸入信號的頻率，估計的頻率的精度較高，滿足實時性和準確性。

3.2 基于自適應濾波技術的相位補償

通過WFLC頻率估計算法估計出輸入信號的頻率，依據估計的頻率可計算出H(s)輸出超前相位的大小，使用自適應濾波器對H(s)的輸出進行相位補償。

在自適應濾波技術中，目標函數通常采用均方誤差（Mean Square Error,MSE），其定義為：

其中，d(k)是期望信號，y(k)是輸出信號，y(k)的形式可描述為：

在許多應用中，輸入信號向量都是由相同信號的時延形式構成的，則自適應濾波器的實現方法是采用FIR濾波器結構，如圖5所示。

圖5 自適應FIR濾波器Fig.5 Adaptive FIR filter

根據式(14)，平穩環境下均方誤差（MSE）函數為：

式中，R為輸入信號向量的自相關矩陣，p為期望信號和輸入信號向量的互相關向量。令與系數向量相關的MSE函數的梯度向量為零，即：

得到自適應FIR濾波器的最優系數向量：

式(19)被稱為維納解。

由于艦船升沉信號的周期較長并且慣導系統內部采樣頻率較高，因此可將升沉信號在短時間內視為平穩信號。為了解決H(s)輸出相位超前的問題，可將H(s)的輸出作為自適應濾波算法中的輸入信號，相位補償后的信號作為自適應濾波算法中的期望信號。自適應濾波算法中的輸入信號，即H(s)的輸出在短時間內可被描述為：

式中，Ap為幅度信息，w為頻率信息，φr為隨機相位，Ap和φr為隨機量，不易實時和準確的求取。由于升沉信息的頻率與垂向加速度信息的頻率相同，故w可通過對垂向加速度信息頻率估計得到。自適應濾波算法中的期望信號可以被描述為：

其中，Ap、φr、w與式(19)相同；p為需要補償的相位，通過升沉濾波器與二次積分環節在w處的相位特性可得到p。設升沉濾波器在頻率w處的相位為a(w)，即：

本文選取一階自適應 FIR濾波器，設wk+φr為N，則w(k-1)+φr為Q。據式(19)可得，輸入信號的自相關矩陣R為：

期望信號與輸入信號的互相關向量p為：

則其維納解為：

式(25)表明維納解wo與頻率w以及需要補償的相位p有關，根據式(21)可知p由w得到，故維納解wo只與頻率w有關。

本文提出的基于自適應濾波技術的艦船升沉測量方法在升沉數字濾波器的基礎上引入WFLC算法對升沉數字濾波器的輸入信號進行頻率估計，并設計自適應濾波器 FIR對輸出進行相位補償，能夠解決升沉數字濾波輸出相位超前的問題，提高艦船升沉測量的精度。

如圖6所示，將某型號激光慣導設備固定于Moog公司生產的六自由度搖擺臺，模擬艦船升沉環境，設置的升沉運動頻率為 0.125Hz，實驗中由激光測距儀提供升沉運動的真值作為參考基準，垂向加速度信息由激光慣導設備提供，數據采樣頻率為200 Hz。WFLC算法的參數選取M=1，μ為0.05，μw為0.003，系數向量和模型向量的初值為零向量，其余初始值都取0.001；升沉數字濾波器的ωc選取0.08Hz。自適應FIR濾波器與傳統數字升沉濾波器得到的升沉運動位移估算值分別如圖7(a)和圖7(b)所示。

從圖7可以看出，傳統升沉數字濾波器具有明顯的相位滯后現象，且存在一定的幅值誤差。而自適應FIR濾波器能夠精確估計艦船升沉運動的頻率并有效地解決了相位超前和位移偏移問題。

圖6 升沉模擬實驗臺Fig.6 Simulation experiment platform of the heave motion

圖7 估算位移與真實位移對比結果Fig.7 Comparison between estimated heave position and real position

圖8 仿真升沉運動誤差曲線Fig.8 Heave motion error of simulation

以真實升沉位移數據為參考基準，將兩種濾波器的升沉測量誤差進行對比如圖8所示。同時，本文以最大誤差、誤差絕對平均值和均方根誤差來定義濾波器的估算精度，結果如表1所示。

表1 仿真升沉測量精度統計Tab.1 Heave accuracy statistics of simulation

仿真實驗表明，與傳統升沉數字濾波器相比自適應FIR濾波器經過大約150 s的迭代計算后，位移最大誤差縮減約15倍，誤差絕對平均值縮減約17倍，均方根誤差縮減約18倍，升沉測量精度達到厘米級。因此通過實驗結果表明自適應FIR濾波器能夠更加精確的得到升沉位移信息。

4 結 論

本文根據艦船升沉測量實時性和準確性的要求，在引入了 WFLC頻率估計算法的基礎上提出了一種基于自適應FIR濾波技術的相位補償算法，在抑制升沉位移誤差的前提下解決了相位超前問題，有效提高艦船升沉測量的精度。

通過實驗平臺的相關實驗表明，自適應 FIR濾波器輸出的升沉位移精度達到厘米級，驗證了本文設計的自適應FIR濾波器的有效性，實現了對艦船升沉信息實時和準確的測量，具有較大的工程應用價值。