蹊徑通幽處，精彩別樣來

丁建娣

[摘 ? ? ? ? ? 要] ?在雙曲線軌跡問題的教學中，發現學生不能正確解釋軌跡方程xy=±k（k>0）是雙曲線的屬性，由此引發思考，通過建系角度轉換、雙曲線性質深度探究、函數y=x+■（x≠0）圖象屬性廣度拓展以及跨度梳理，溝通了解析幾何與函數的關系，從而提升學生對數學的統一性認知，養成數學學習的良好思維品質。

[關 ? ?鍵 ? 詞] ?函數;雙曲線;挖掘

[中圖分類號] ?G712 ? ? ? ? ? ? ? ? [文獻標志碼] ?A ? ? ? ? ? ?[文章編號] ?2096-0603（2019）14-0102-02

在高中階段的解析幾何雙曲線教學中，筆者重新引用了曲線與方程的一個例題：點M與兩條互相垂直的直線的距離的積是常數k（k>0），求點M的軌跡方程.這道題的常規解法，我們都很自然地以這兩條互相垂直的直線作為x軸、y軸，得到點M的軌跡方程為xy=±k（k>0）。但是在探究點M的軌跡時，學生無法解釋xy=±k（k>0）是雙曲線的屬性，由此引發了筆者的思考。筆者在教學過程中，通過建系角度轉換、性質深度探究以及函數y=x+■（x≠0）廣度拓展與跨度梳理，溝通了解析幾何與函數的關系。

一、角度轉換，認識雙曲線

從軌跡方程xy=±k（k>0）入手考慮問題，學生很快轉化到函數y=■（k≠0）的形式，而函數是初中階段已經學習過的反比例函數，初中數學教材中，已明確給出結論：函數的圖象是雙曲線，比例系數k的代數意義是反比例函數圖象上的點（x，y）具有兩坐標之積為常數的特征，幾何意義是圖象上任意一點向兩坐標軸作垂線，兩垂線與坐標軸圍成的矩形面積為k。若以函數觀點分析，無法抓住軌跡的屬性，可能時間耗盡卻收效甚微。我們不妨換個視角，通過角度變換來建系，使得軌跡的屬性簡單點。

解：如圖1，分別以這兩條互相垂直的直線的角

平分線作為x軸、y軸，則l1：x-y=0，l2：x+y=0。

設動點M（x，y），由題意可得

■·■=k， ∴|x2-y2|=2k2，

∴■-■=1或■-■=1。

對兩條確定的直線l1和l2，點M的軌跡是確定的。由于建系的不同，我們求得的軌跡方程形式上也不同，但這不會改變圖象的形狀，故課本中求得的曲線xy=±k（k>0）也是兩條雙曲線，而且是一對共軛雙曲線。這里我的感觸頗深，這種建系方法一般我們不會考慮，但其實如此建系不也一般嘛，中間的運算量也不算大，最主要地是輕松解決了我們的問題。

二、深度探究，研析雙曲線

通過建系角度的變換，我們發現直線l1、l2是求得雙曲線的兩條漸近線，而這兩條漸近線具有互相垂直的特點，那么我們在反思問題解決的過程時，提出了：

問題一：與兩條相交直線的距離的積是常數k（k>0）的點的軌跡是一對共軛雙曲線，這兩條相交直線是它們的漸近線。

證明：如圖2，以AB、CD的交點為原點O，以∠AOD角平分線所在的直線為x軸，建立平面直角坐標系，設動點M（x，y），

AB∶y=mx CD∶y=-mx（m是常數，m>0），

由題意可得，■·■=k，化簡得

■-■=1或■-■=1.

∵這兩條雙曲線是共軛雙曲線，且漸近線是y=±mx，∴求證結論成立。

問題二：雙曲線上的任一點到它的兩條漸近線的距離之積

是常數。

證明：如圖3，選擇雙曲線：■-■=1（a>0，b>0）研究雙曲線這一幾何性質，漸近線：bx±ay=0。

設m（x，y）是雙曲線：■-■=1（a>0，b>0）上任一點，則得b2x2-a2y2=a2b2。

∴點M到雙曲線的兩條漸近線的距離之積

■·■=■=■，∴求證結論成立。

綜合問題一、問題二可得：

（Ⅰ）與兩條相交直線的距離的積是常數k（k>0）的點的軌跡是一對共軛雙曲線，這兩條相交直線是它們的漸近線。該結論可作為共軛雙曲線的定義和雙曲線漸近線的定義，對教材中雙曲線漸近線的描述性定義進行了突破，前者更可用于對曲線形狀的判斷。

（Ⅱ）雙曲線上的任一點到它的兩條漸近線的距離之積為常數.這一關系反映了雙曲線的一個幾何性質，也反映了雙曲線和它的漸近線之間的緊密聯系。

三、廣度拓展，挖掘雙曲線

從函數y=x+■（x≠0），到函數y=x+■，再到一般函數y=ax+■（x≠0），其中（a>0，b≠0，a、b是常數），我們在研究完它的單調性后，對其函數圖象形狀或者避而不談，或者直接通過函數的一些性質畫草圖，對圖象的本質屬性問題總是存在一定的欠缺。

通過對（Ⅰ）、（Ⅱ）兩個結論的探討，現在我們可以明確地說，函數的圖象是雙曲線。函數y=ax+■（x≠0）和y=ax-■（x≠0）的圖象是一對共軛雙曲線，其中a>0，b>0，a、b是常數，直線y=ax和y=0是它們的兩條漸近線。

證明：設M（x，ax+■）是函數y=ax+■（x≠0）上任一點，點M到直線x=0的距離d1=x，M到直線y=ax的距離d2=■=■

∴點M到直線x=0和直線y=ax的距離之積

d1×d2=■為常數。

同理可證，函數y=ax-■（x≠0）也具有以上性質。

由（Ⅰ）、（Ⅱ）的兩個結論可知：函數y=ax+■（x≠0）和y=ax-■（x≠0）的圖象是一對共軛雙曲線，其中a>0，b>0，a、b是常數，直線y=ax和x=0是它們的兩條漸近線，突破了對以上兩個函數圖象形狀確定的難點。

四、跨度梳理，融通雙曲線

平面解析幾何是用代數方法研究平面幾何問題的一門學科，平面解析幾何通過平面直角坐標系，建立點與實數對之間的一一對應關系以及曲線與方程之間的一一對應關系，運用代數方法研究幾何問題，或用幾何方法研究代數問題。代數式與幾何圖形水乳交融，合為一體。而函數在代數中扮演著十分重要的角色，尤其在高中數學的學習中具有提綱挈領的作用。而函數學習，函數圖象是研究的手段，與函數密切聯系，如影隨形.數學的學習是一個從“特殊→一般→特殊”不斷演變、不斷發展的過程，上述兩者之間的關系可通過“函數解析法y=f（x）（x∈A）的表示”與“曲線及其方程概念的理解”來加以區別。從這一點上來看，我們可以說函數內容是平面解析幾何內容的特殊情況，形象地用韋恩圖加以描述，如圖5。

筆者認為，無論是我們教師自身的學習還是指導學生的學習都應該源于課本，又高于課本。對問題的思考不是淺嘗輒止，拘泥于某些定性思維，而是倡導創新思維，敢于打破常規分析問題，蹊徑通幽解決問題。我們應經常有意識地鼓勵學生對一些看起來“風馬牛不相及”的知識內容進行深入挖掘，使之融會貫通，進一步達到思維的升華，這對幫助學生積極主動地學習、提升數學的統一性認識，養成數學學習的良好思維品質大有裨益。

編輯 王 敏