七溝道球籠式等速萬向節等速性分析

謝鯤，閆公哲

(1.上海應用技術大學 軌道交通學院，上海 201418；2.華東理工大學 機械與動力學院，上海 200237)

球籠式等速萬向節是轎車關鍵零部件之一,其直接關系汽車轉向驅動性能。創新設計的七溝道球籠式等速萬向節由于耗材低，又能滿足節能、輕量、環保、可靠性高等要求，成為等速萬向節及傳動軸總成優化設計的最佳選擇[1-4]，關于七溝道球籠式等速萬向節的研究并未涉及運動學方面的內容。鑒于此，通過建立七溝道球籠式等速萬向節的運動學模型，證明了球籠式等速萬向節的等速性，并分別計算了鋼球在溝道內的瞬時角速度隨輸入軸轉角及輸入軸與輸出軸夾角的變化規律。

1 球籠式等速萬向節運動學模型的建立

七溝道球籠式等速萬向節結構如圖1所示，星形套外球面與相應的球籠式保持架內球面配合,鐘形殼內球面與相應的球籠式保持架外球面配合，4個內、外球面組成了 2 組繞同一球面中心轉動的球面副，該球面中心與輸入軸( 星形套) 和輸出軸( 鐘形殼) 兩軸的交點重合[5]。為分析球籠式等速萬向節的運動規律，同時實現模型可計算性，做如下假設：1)球籠式等速萬向節為理想結構，不考慮星形套內溝道、鐘形殼外溝道形狀及加工誤差；2)球籠式等速萬向節為完全剛體，鋼球與星形套內溝道接觸,鋼球與鐘形殼外溝道接觸,鋼球與保持架窗口上下面接觸均可用質點來代替；3)不考慮鋼球、星形套內溝道、鐘形殼外溝道在運動過程中受力產生的變形。

圖1 七溝道球籠式等速萬向節結構

圖2 一組鋼球和溝道的接觸模型

在△OJONOQ(或△OJOWOQ)中，由余弦定理可得

(1)

2 七溝道球籠式等速萬向節等速性理論分析

2.1 星形套與鋼球的運動關系

鋼球與星形套的接觸示意圖如圖3所示，星形套與鋼球的接觸點為N，在接觸點星形套橢圓曲面切面與鋼球球面切面的夾角為α，在鋼球坐標系ρN中接觸點N可表示為

rN=i′(RQcosαcosδ-RQsinαsinφsinδ+RQsinφsinδ)+j′(-RQsinαcosφcosθ+Rg·

cosφcosθ+RQcosαsinθsinδ+RQsinαsinφ·

cosδ-Rgsinφsinθcosδ)+k′(-RQsinαcosφ·

cosθ+Rgcosφcosθ+RQcosαsinθsinδ-RQsinα·

sinφcosθcosδ+Rgsinφcosθcosδ),

(2)

式中：RQ為鋼球半徑；δ為輸入軸繞j1軸的旋轉角度。

圖3 鋼球與星形套接觸示意圖

在鋼球坐標系ρQ中過接觸點N的法向量可表示為

(3)

將其轉化到坐標系ρN中為

nN=i′cosαcosδ-sinαsinφsinδ+j′·

(-sinαcosφcosθ+cosαsinθsinδ+sinαsinφ·

sinθcosδ)+k′(-sinαcosφsinθ-cosαcosθ·

sinδ-sinαsinφcosθcosδ)。

(4)

星形套橢圓曲面在接觸點N的角速度為ωN，則線速度為

VN=ωN·rN，

(5)

VN在nN方向的分量為

VN·nN=ωN(Rgcosαcosφsinθcosδ+Rg·

cosαsinφcosθ)。

(6)

在ρN1坐標系下鋼球角速度為

ωQ=j1ωQ，

(7)

式中：ωQ為鋼球角速度。

在ρN1坐標系下鋼球線速度為

(8)

sinφcosδ，

轉換到ρN坐標系下為

sinδsinθ)+k(-RgωQsinφcosθsinδ),

(9)

(10)

星形套內溝道與鋼球在接觸點處2個共軛曲面在法向方向的線速度相等，由(6)，(10)式可得

ωQ=ωN(cotφsinθcosδ+cosθ)。

(11)

2.2 鐘形殼與鋼球的運動關系

鋼球與鐘形殼的接觸示意圖如圖4所示，鐘形殼與鋼球的接觸點為W，在接觸點鐘形殼橢圓曲面切面與鋼球球面切面的夾角為α,在坐標系ρW中接觸點W可表示為

rW=i(-RQcosαcosδ+RQsinαsinφsinδ+Rgsinφsinδ)+j(-RQsinαcosφcosθ-Rgcosφ·

cosθ+RQcosαsinθsinδ+RQsinαsinφsinθcosδ+Rgsinφsinθcosδ)+k(RQsinαcosφsinθ+Rg·

cosφsinθ+RQcosαcosθsinδ+RQsinαsinφ·

cosθcosδ+Rgsinφcosθcosδ)。

(12)

圖4 鋼球與鐘形殼接觸示意圖

在鋼球坐標系ρQ中過接觸點W的法向量為

(13)

該矢量在ρW坐標系可表示為

nW=i(-cosαcosδ+sinαsinφsinδ)+j·

(-sinαcosφcosθ+cosαsinθsinδ+sinαsinφ·

sinθcosδ)+k(sinαcosφsinθ+cosαcosθsinδ+sinαsinφcosθcosδ)。

(14)

鐘形殼在接觸點W的角速度為ωW，線速度為

VW=ωW·rW，

(15)

ωW=jωW，

VW在nW方向上的分量為

VW·nW=-ωW[Rgcosαsinφcosθ+Rg·

cosαcosφsinθcosδ]。

(16)

在ρW1坐標系下鋼球角速度為

ωQ=j1ωQ，

(17)

在ρW1坐標系下鋼球線速度為

VQ=ωQ·rQ=i1Rgsinφsinδ-j1Rgcosφ+k1Rgsinφcosδ，

(18)

k1Rgsinφcosδ，

轉換到ρW坐標系下為

sinδsinθ)+k(-RgωQsinφcosθsinδ)，

(19)

(20)

鐘形殼和鋼球在接觸點處2個共軛曲面在法向方向的線速度相等，由(16)，(20)式可得

ωQ=ωW(cotφsinθcosδ+cosθ)。

(21)

由(11)，(21)式可得ωN=ωW。輸入軸與輸出軸角速度始終相等，證明了球籠式等速萬向節的等速性。

2.3 鋼球角速度

取ωN=314 rad/s，通過MATLAB對上述理論分析進行仿真，鋼球角速度ωQ隨轉角δ、輸入軸與輸出軸之間的夾角2θ的變化如圖5所示,由圖可知：鋼球角速度ωQ隨轉角δ呈周期性變化;鋼球角速度ωQ隨軸間夾角2θ增大而減小,在夾角為0°，35°的2種情況下，角速度ωQ分別取最大值和最小值。

3 仿真分析

以某七溝道球籠式等速萬向節為研究對象，其主要結構參數見表1。

圖5 鋼球角速度ωQ隨轉角δ和軸間夾角2θ的變化規律

表1 七溝道球籠式等速萬向節主要結構參數

基于SOLIDWORKS建立三維模型，將球籠式等速萬向節軸間夾角分別設置為0°，35°，得到三維模型如圖6所示。基于ADAMS進行多體動力學仿真時做如下假設[8]：1)球籠式等速萬向節各零部件均為剛體。2)輸入軸與星形套連接。將建立的三維模型導入ADAMS。球籠式等速萬向節星形套角速度為6.28 rad/s，為保證受力平衡，在輸出軸端與輸入端設置等大的反向轉矩，輸入軸最大輸入轉矩為125 N·m。設置仿真時間1 s，仿真步長為0.001 s。

圖6 七溝道球籠式等速萬向節三維模型

通過仿真分析得到七溝道球籠式等速萬向節在軸間夾角為0°，35°時星形套、保持架和鐘形殼的角速度變化規律如圖7所示，由圖可知：在球籠式等速萬向節運行過程中，輸入軸端星形套、保持架和輸出軸端鐘形殼角速度近似相等，滿足球籠式等速萬向節傳遞角速度不變的運動特征。

圖7 星形套、保持架和鐘形殼的角速度變化規律

4 結束語

通過理論分析建立了七溝道球籠式等速萬向節運動學模型，證明了球籠式等速萬向節等速性原理,并通過運動學仿真對理論分析結果進行驗證，證明了其理論分析的正確性。分析結果可為七溝道球籠式等速萬向節設計和應用提供參考。