定積分在極限中的應(yīng)用

（安徽信息工程學(xué)院，蕪湖 241000）

引 言

極限內(nèi)容是高等數(shù)學(xué)重難點(diǎn)之一，而關(guān)于極限的和式極限，往往不太容易得出結(jié)果，這對于學(xué)過定積分的人來說或許是個(gè)優(yōu)勢，就是將和化成積分，而一般教材中沒有對此內(nèi)容進(jìn)行單獨(dú)講解，而考研或者競賽中往往會(huì)涉及到此類問題，一些基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生，很難從和化定積分方面，來求解該類極限。本文將從簡單的例子逐步分析，方便讀者掌握。

一、區(qū)間n等分的極限化定積分

（1）首先回顧下定積分定義，設(shè)f為區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù)，若f恒大于0，在[a，b]上取（n-1）個(gè)分點(diǎn)，記為 a=x0＜x0＜x1＜…＜xn=b，此時(shí)區(qū)間被分成 n 個(gè)小區(qū)間 [xi-1，xi]i=（1，2……n），為第i個(gè)矩形面積，將所有矩形面積作和式，，q=max｛△xi｝，則，若取a=0，b=1，給區(qū)間進(jìn)行n等份，則。

（2）可化為定積分極限題型

①直接對和式極限進(jìn)行轉(zhuǎn)化。

分析：若用學(xué)過的知識求解，例如極限定義，顯然這邊有無窮多項(xiàng)不太適合；利用放縮法則也不好對整體進(jìn)行代換，洛必達(dá)更行不通。這時(shí)候用定積分定義恰巧可以解決問題。

②改寫原極限成和式。

母親在我面前替父親說好話。母親說起那年那場大雪，父親原是準(zhǔn)備坐輪船去上海的，卻得到我患病的口信，連夜往家趕。路上用他最鐘愛的口琴換了兩只橘子帶給我。大雪漫天，沒有可搭乘的車輛，他就一路跑著。過了江，好不容易攔下一輛裝煤的卡車……

分析：該題看上去與和式極限沒關(guān)聯(lián)，但是一般情況下，得要進(jìn)行變換，使得它成為和式極限。

首先還是改寫極限將原式變形：

分析：我們步驟模仿（1）問進(jìn)行解題即可。具體步驟如下所示：

該類題型稍微進(jìn)行了一點(diǎn)變換，但最終還是用定積分定義巧妙解決。

③基于兩邊夾法則改寫和式

分析：該極限和上述類型相同，已經(jīng)是和式，也很難找出λi，這時(shí)候我們仿照前一題用放縮準(zhǔn)則，來進(jìn)行兩邊夾，從而可以取到λi。

首先觀察極限形式可以直接看出

二、非n等份的極限化積分

分析：這里的和式如果看成（0，1）區(qū)間的n等份的話，不太容易計(jì)算，這里的和式，可以看成函數(shù)sinx在[1，b]按分劃所作的積分和。

結(jié) 語

一般情況下，我們只需要了解并掌握好，n等分的極限化積分情況即可。最后一種情況超過考研范圍。感興趣的讀者可自行研究。