一種彈性支撐雙穩態壓電能量俘獲系統的動力學仿真分析

王康　李欣業　張利娟　張華彪

摘要：為了揭示雙穩態能量俘獲系統的復雜動力學行為及現象，針對彈性支撐下具有雙穩態的壓電懸臂梁能量俘獲系統的動力學行為進行研究。首先基于能引發雙穩態現象的磁力模型，利用牛頓第二定律以及基爾霍夫第一定律建立了基礎作簡諧運動時系統的數學模型。其次根據無量綱化后的控制方程，利用羅斯-霍爾維茨判據分析了平衡點的靜態分岔。最后，利用Matlab數值仿真得出壓電懸臂梁位移以及輸出電壓隨系統參數和激勵參數的變化規律和分岔圖。結果表明，系統的幅頻特性呈現為硬特性，但壓電懸臂梁的振幅隨質量比及剛度比的變化卻呈軟特性，即在某些參數范圍內，系統的簡諧周期響應發生分岔并導致混沌運動，系統的運動既可以發生在零平衡點附近，也可以發生在非零平衡點附近，甚至是在不同的平衡點之間作大幅躍遷。因此，相同參數下，系統具有雙穩態時比單穩態時具有更豐富的運動形式，可明顯提高系統的電壓輸出和響應頻帶。研究結果可為工程實際中如何優化振動能量采集器提供理論依據。

關鍵詞：非線性動力學;雙穩態壓電能量俘獲系統;彈性支撐;分岔分析;數值仿真

中圖分類號：O322;TH123+.1文獻標志碼：A

WANG Kang，LI Xinye，ZHANG Lijuan，et al.Dynamical simulations of a bi-stable piezoelectric energy harvesting system with elastic support[J].Journal of Hebei University of Science and Technology，2019，40（3）：242-251.Dynamical simulations of a bi-stable piezoelectric energy

harvesting system with elastic support

WANG Kang1， LI Xinye1， ZHANG Lijuan1， ZHANG Huabiao2

（1.School of Mechanical Engineering， Hebei University of Technology， Tianjin 300130， China; 2. Institute of Mechanical Engineering， Tianjin University of Commerce， Tianjin 300134， China）

Abstract：The dynamic behavior of a piezoelectric cantilever energy harvesting system with bi-stable state under elastic support is studied to reveal its complex phenomena. Based on the magnetic force model which can induce bi-stable phenomena， the mathematical model of the system with two degree of freedom under harmonic base motion is firstly established by using Newton's second law and Kirchhoff′s law. By the Routh-Hurwitz criterion， the static bifurcation of equilibrium points， is secondly analyzed for the dimensionless governing equations. At last， the amplitude variations of the displacement of piezoelectric cantilever beam and the variations of the output voltage with the system parameters and excitation parameters and their bifurcation diagrams are obtained by Matlab numerical simulations. The results show that the amplitude-frequency curves of the system are in hard characteristic， while the amplitude variations of the displacement of piezoelectric cantilever beam with mass ratio and stiffness ratio are in soft characteristic. That is， within some parameters intervals， the harmonic response of the system has bifurcation and leads to chaotic motion. The motion of the system can take place near the zero or non-zero equilibrium point， even jump with large amplitude between the two non-zero equilibrium points. For the same parameters， bi-stable systems have richer forms of motion compared to mono-stable ones， and significantly increase voltage output and response frequency band of the system. The research result may provide theoretical reference for how to optimize vibration energy collector in practice.

Keywords：nonlinear mechanics; piezoelectric energy harvesting systems with bi-stable state; elastic support; bifurcation analysis; numerical simulation

無線傳感器、移動電子設備等的發展對能源的供應方式提出了更高的要求[1]，因為傳統的電池供電方式存在諸多不足：一是電池的容量有限，必須進行定期更換，而且污染環境;二是在高溫、強腐蝕等惡劣環境下電池難以長期使用;三是電池體積較大，嚴重限制了無線傳感器節點的微型化和集成化。為了解決這些低功耗電子設備的持久可靠供電問題，能量俘獲正成為學術界和工業界共同關注的一個前沿技術領域[2]。

振動能在自然界中是普遍存在的，且不像太陽能、電磁能那樣受到使用時間、服役環境等因素的限制，因此針對振動能量俘獲的研究目前最為廣泛。為了提高振動能量俘獲系統的能量轉換效率，研究者們提出了一系列方法：在線性系統的基礎上通過增加非線性來提高能量俘獲效率[3-5];通過引入非線性磁力模型使系統具有雙穩態來提高能量俘獲系統的響應頻帶[6-11];在雙穩態的基礎上通過增加磁鐵塊的方法使系統具有三穩態，使得系統在低激勵頻率和低激勵幅值下均能發生大幅運動[12-15];改變能量俘獲系統的結構，比如將剛性支撐改為彈性支撐、采用具有高柔性的壓電材料等來提高壓電懸臂梁的變形程度，進而提高能量俘獲效率[16-17];把單自由度系統擴展到多自由度系統，通過不同模態之間的相互作用來提高系統的響應特性[18-21];或通過改善能量俘獲系統的外接電路來提高能量的收集效率[22]。

河北科技大學學報2019年第3期王康，等：一種彈性支撐雙穩態壓電能量俘獲系統的動力學仿真分析本文基于能引發雙穩態的磁力模型，針對一種具有彈性支撐的壓電懸臂梁能量俘獲系統的動力學行為展開研究，第1部分利用牛頓第二定律以及基爾霍夫第一定律建立了能量俘獲系統的動力學方程，第2部分對系統平衡點做了靜態分岔分析，得出了平衡點的個數及其穩定性的變化，第3部分采用數值求解的方法研究了壓電懸臂梁的輸出電壓隨系統參數和激勵參數的變化規律，最后是本文的主要結論。

1數學模型

本文分析的雙穩態振動能量俘獲系統的基本結構及其等效集總參數模型如圖1所示， 其是由壓電懸臂梁、永磁鐵及彈性支撐組成，其中壓電懸臂梁AB是由金屬板和壓電陶瓷片（PZT）組成的。當基礎振動時，壓電懸臂梁AB會隨之產生振動，進而使得PZT產生變形，根據壓電效應就可以實現振動能到電能的轉化。若將壓電懸臂梁AB和彈性支撐等效為彈簧阻尼系統，則可以得到如圖1 b）所示的等效集總參數模型。其中，Keq，Meq和Ceq分別表示壓電懸臂梁的等效剛度、末端等效質量和等效阻尼;Kb，Mb和Cb分別表示彈性支撐的等效剛度、等效質量和等效阻尼;Cp和α表示壓電陶瓷的夾持電容和機電轉換系數，V為能量俘獲系統的輸出電壓，x為壓電懸臂梁的振動位移，y為彈性支撐的振動位移，z=A sin（ωt）=A sin（2πft）為基礎運動，其中f為外激勵頻率。

根據牛頓第二定律可以得到該系統的運動微分方程Meq+Ceq（-）+Keq（x-y）+αV-Fv=0，Mb+Cb（-）+Kb（y-z）+Ceq（-）+Keq（y-x）+Fv=0，（1）其中Fv為磁鐵間的磁力沿著豎直方向的分力，將其表達式Fv=Fxx2+d2在x=0處進行泰勒展開并保留前兩項可得Fv=Fdx-F2d3x3，（2）其中，F為兩磁鐵間的磁力，d為兩磁鐵間的間距。將式（2）代入式（1）可得Meq+Ceq（-）+Keq（x-y）+αV-Fdx+F2d3x3=0，Mb+Cb（-）+Kb（y-z）+Ceq（-）+Keq（y-x）+Fdx-F2d3x3=0。（3）根據基爾霍夫第一定律可以得到系統的電路方程α（-）=Cp+VR。（4）式（3）與式（4）即為系統的控制方程，引入無量綱變換=x/l，=y/l，=t/T，ν=V/e，其中l為壓電懸臂梁的長度，T=Meq/Keq，e=Meqg/α。為方便，變換后的，仍記為x，y，則無量綱化后控制方程的形式為

+2ξ+βx+γx3-2ξ-y+ψν=0，+2ξc+1a+b+1ay-2ξa-βax-γax3=h sin（Ωt+φ），+μν+θ-θ=0。（5）

其中a=MbMeq，b=KbKeq，c=CbCeq，ξ=Ceq2Meq，β=1-FdKeq，γ=Fl22Keqd3，ψ=MeqgKeql，

μ=1RCp，θ=αlCpe，Ω=ω，h1=bAαl，h2=cAΩCeqaKeql，h=h21+h22，tan φ=h2h1。

2平衡點靜態分岔分析

通過系統的結構模型可以發現，當基礎不受外激勵作用時，通過受力分析可知，由于引入了磁力模型，系統除了懸臂梁處于水平位置時受力平衡外，在上、下也各有一個受力平衡位置。下面通過分析方程（5）對應的自治系統的平衡點及其穩定性，來說明此系統的靜態分岔特性。令x1=x，x2=，x3=y，x4=，x5=ν，則方程（5）對應的自治系統可以寫成=f（x）這種矩陣形式。

令f（x）=0，通過分析可知，當β≥0時，系統只有1個平衡點（0，0，0，0，0）;當β<0時，系統有3個平衡點，分別為（0，0，0，0，0），（±-β/γ，0，0，0，0）。下面將分別討論它們的穩定性。

當β≥0時，對應唯一平衡點（0，0，0，0，0），其雅克比矩陣對應的特征方程為λ5+[2ξa（1+a+c）+μ]λ4+[2ξa（μ+aμ+cμ+2cξ）+b+1a+θψ+β]λ3+

[2ξa（b+cβ+cθψ+2cξμ）+b+1aμ+βμ]λ2+[2ξa（bμ+cβμ）+b+1aθψ+βa（b-θψ）]λ+bβμa=0。（6）當β>0時，由于a，b，c，ξ，ψ，μ，θ為正，根據羅斯-霍爾維茨判據可知，平衡點（0，0，0，0，0）是漸近穩定的。

當β=0時，特征方程變為λ5+[2ξa（1+a+c）+μ]λ4+[2ξa（μ+aμ+cμ+2cξ）+b+1a+θψ]λ3+

[2ξa（b+cαψ+2cξμ）+b+1aμ]λ2+[2ξbμa+b+1aθψ]λ=0。（7）此時該特征方程具有零根，對應的平衡點（0，0，0，0，0）為分岔點。

當β<0時，對于平衡點（0，0，0，0，0），根據羅斯-霍爾維茨判據，由式（6）可知，其特征多項式必有正實部根，故平衡點（0，0，0，0，0）是不穩定的。對于平衡點（±-β/γ，0，0，0，0），其雅克比矩陣對應的特征方程為λ5+[2ξa（1+a+c）+μ]λ4+[2ξa（μ+aμ+cμ+2cξ）+b+1a+θψ-2β]λ3+[2ξa（b-2cβ+cθψ+

2cξμ）+b+1aμ+2βμ]λ2+[2ξa（bμ-2cβμ）+b+1aθψ-2βa（b-θψ）]λ-2bβμa=0。（8）根據羅斯-霍爾維茨判據可得，平衡點（±-β/γ，0，0，0，0）是漸近穩定的。

通過上述分析可知，當β>0時系統有一個穩定的零平衡點，當β<0時系統有2個穩定的非零平衡點和一個不穩定的零平衡點，故β=0時為叉形分岔點。

3數值仿真

本部分利用龍格-庫塔方法對無量綱化后的控制方程（5）進行數值求解時分別考慮了系統具有單穩態（β=0.976 2）和雙穩態（β=-1.381 0）兩種情況，分別分析系統參數和外激勵參數等對系統懸臂梁位移以及電壓響應特性的影響，結果如圖2—圖7所示，求解中涉及到系統參數如表1所示。其中，圖2—圖5為系統的質量比和剛度比對系統懸臂梁位移以及電壓響應特性的影響，圖6和圖7為外激勵頻率對系統懸臂梁位移以及電壓響應特性的影響。對比圖2、圖4以及圖6 a）和圖6 b）可以發現，相同參數下，當系統具有雙穩態時，雖然壓電懸臂梁位移的最大值沒有單穩態時大，但是在更大的參數范圍內，具有雙穩態時系統壓電懸臂梁的位移比具有單穩態時要大;對比圖3、圖5以及圖7 a）和圖7 b）可以發現，相同參數下，當系統具有雙穩態時系統輸出電壓值比單穩態時高;圖6和圖7分別表示外激勵頻率對壓電懸臂梁位移以及輸出電壓的影響，從圖中可以看出，當系統具有單穩態時，系統只在2個共振頻率附近才有較高的位移響應和電壓輸出，但是當系統具有雙穩態時，系統除了在2個共振頻率附近有較高的位移響應和電壓輸出外，在較大的頻帶范圍內系統仍具有比較大的位移響應和電壓輸出，特別是系統受到頻率較低的外激勵時，仍然可以有效地采集能量，即雙穩態的引入可以有效拓寬系統的響應頻帶。通過分析質量比、剛度比以及外激勵頻率對壓電懸臂梁位移和輸出電壓的影響曲線發現，系統具有雙穩態時曲線的形狀要比單穩態時復雜得多，因而會表現出更豐富的運動形式。

選擇系統參數中的質量比、剛度比以及外激勵參數的頻率為分岔參數，利用龐加萊映射分別得到壓電懸臂梁的位移和輸出電壓關于上述參數的分岔圖，結果如圖8—圖13所示，其與圖2—圖7吻合較好。當分岔參數發生變化時，系統處在單穩態時會從簡單周期到混沌再到簡單周期的變化，但是當系統處在雙穩態時，系統除了有單穩態的分岔過程之外，其中還會發生倍周期分岔以及概周期分岔，并且混沌窗口會隨著分岔參數的增大交替出現。即當系統具有雙穩態時，系統響應發生分岔產生混沌的可能性更大。

以上分岔現象解釋了系統具有雙穩態時響應特性更好的原因，同時也得出了系統發生混沌運動的系統參數和激勵參數區域，為結構設計中參數值的選擇提供了一定理論指導，即盡可能選擇分岔點處的值作為系統的參數值。

基于以上關于系統參數和激勵參數的分岔分析，選擇不同的參數組合，通過Matlab中的ode45求解器，得到的壓電懸臂梁的位移時間歷程，如圖14—圖16所示。從圖中可以看出，系統的運動既可以發生在零平衡點附近，也可以發生在非零平衡點附近，甚至是在不同的平衡點之間作大幅躍遷，當系統的運動在不同的平衡點之間作大幅躍遷時，其形式不再是簡單的周期運動，而是混沌運動。

4結語

本文引入了能引發雙穩態現象的磁力模型，首先根據牛頓第二定律以及基爾霍夫第一定律建立了彈性支撐下的壓電懸臂梁式振動能量俘獲系統的動力學方程。在借助于羅斯-霍爾維茨判據進行了平衡點的靜態分岔分析的基礎上，利用數值方法對系統進行了動力學仿真分析。直接對無量綱控制微分方程進行數值求解的幅頻特性曲線表明系統呈現明顯的硬特性，但壓電懸臂梁的振幅隨質量比和剛度比的變化卻呈軟特性。根據數值計算結果基于龐加萊映射給出的分岔圖和相軌跡表明在某些參數范圍內，系統的簡諧周期響應會由于失穩而導致混沌運動。系統的運動既可以發生在零平衡點附近，也可以發生在非零平衡點附近，甚至是在2個不同的非零平衡點之間作大幅躍遷。對比相同參數下系統具有雙穩態和單穩態時的電壓輸出，發現系統具有雙穩態時電壓輸出較高，響應頻帶相對較寬。雖然上述研究結果可為工程實際中如何優化振動能量采集器提供一定的理論指導，但是取得的成果還停留在數值仿真上面，還需要進一步通過實驗進行驗證。

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2019年6月Journal of Hebei University of Science and TechnologyJune 2019