一種用于NS-3仿真的電池模型及其數值解法

金仁成,周峰　李宇

摘要：為了解決網絡模擬器NS-3不能對無線傳感器網絡節點的電池信息做出準確仿真的問題，吸收LiIon電池模型和KiBaM電池模型各自的優點，采用LiIon電池模型的方法計算KiBaM電池模型中有效電荷井的輸出電壓，得到能夠體現電池的速率容量效應和自恢復效應、能夠反映輸出電壓隨剩余電量降低而降低的KiBaM-LiIon電池模型，并對模型中無法獲得解析解的微分方程組求解，基于隱式Runge-Kutta方法，提出了易于編程實現的數值解法。仿真和實驗的結果表明，模型及其數值解法能夠在NS-3中對電池使用過程中任何時刻的電壓、剩余電量等作出準確預測，且具備計算復雜度低的優點。所提出的電池模型及其數值解法不僅適用于NS-3，同樣也適用于其他網絡模擬器，可為無線傳感器網絡和移動Ad-hoc網絡的研發提供參考。

關鍵詞：計算機仿真;無線傳感器網絡;network simulator 3 （NS-3）;電池模型;隱式龍格庫塔法

中圖分類號：TP39317文獻標志碼：A

JIN Rencheng，ZHOU Feng，LI Yu.A battery model and its numerical method for the network simulator 3 （NS-3）[J].Journal of Hebei University of Science and Technology，2019，40（3）：233-241.A battery model and its numerical method for the

network simulator 3 （NS-3）

JIN Rencheng， ZHOU Feng， LI Yu

（Key Laboratory for Micro/Nano Technology and System of Liaoning Province， Dalian University of Technology， Dalian， Liaoning 116024， China）

Abstract：In order to solve the problem that the network simulator 3 （NS-3） cannot accurately simulate the battery information of the wireless sensor network （WSN） node， the LiIon battery model is used to calculate the output voltage of the available charge well （ACW） of the KiBaM battery model by combining the advantages of the LiIon battery model and the KiBaM battery model， then a KiBaM-LiIon battery model that can reflect the rate capacity effect and recovery effect of the battery， as well as the decrease of the output voltage with the decrease of remaining charge is proposed. For solving the ordinary differential equations without analytical solution in the model， an easy programming numerical solution based on the implicit Runge-Kutta method is proposed. Simulations and experiments show that the proposed model and its numerical solution can accurately predict the voltage and remaining charge at any time during battery use in NS-3， and have the advantage of low computational complexity. The proposed battery model and proposed numerical solution are not only applicable to NS-3， but also to other network simulators， which provides good technical support and guarantee for the research and development of WSN and mobile Ad-hoc networks （MANET）.

Keywords：computer simulation; wireless sensor network （WSN）; network simulator 3 （NS-3）; battery model; implicit Runge-Kutta

在現代網絡通信技術研究中，尤其是大規模網絡的研究，在進行網絡協議和網絡設備的設計、開發及驗證時，受設備和場地的限制，通常使用網絡模擬技術進行仿真。目前，網絡仿真已成為互聯網算法性能、協議拓撲最經濟快捷的評價方法之一[1]，NS-3（network simulator 3）就是其中一款優秀的網絡模擬器。NS-3是一款比較年輕的網絡仿真工具，專門用于教育和研究，基于GNU GPLv2許可，可以免費獲取、使用和修改[2]。數以萬計的科研工作者將自己的科研成果整合進NS-3中，為其面世作出貢獻。截止目前，其最新版本為2018-09-04的3.29版本。

對于一些能量受限的網絡，例如無線傳感器網絡（WSNs），移動Ad-hoc網絡（MANETs）等，在設計網絡協議時需要充分考慮到網絡節點的能耗情況[3]。因此，網絡模擬器中必須能夠提供精確的電池模型，對網絡節點的能量消耗進行精確計算，否則仿真結果便是不可信的。

河北科技大學學報2019年第3期金仁成，等：一種用于NS-3仿真的電池模型及其數值解法以無線傳感器網絡為例，WSN節點通常由不可充電或難以充電的電池進行供電，而大量的研究和實驗表明，電池并不是理想的、線性的電荷儲存器，而是一個復雜的非線性過程[4]，主要表現在[5-7]：1）電池電壓隨著放電過程緩慢下降;2）電池能夠釋放的總電量隨著負載電流的增大而減小，該現象被稱為電池速率容量效應;3）當電池停止放電或以小電流工作一段時間后，電池的電壓反而會上升，該現象被稱為電池的恢復特性。為了體現電池的這3種特性，NS-3提供了3種電池模型：理想恒壓源模型、LiIon電池模型[8]、RV電池模型[9-10]。理想恒壓源模型僅能進行非常粗糙的計算，適用于不受能量因素影響的無線網絡仿真中。LiIon電池模型描述了電池電壓隨放電過程緩慢下降的現象，但并沒有體現電池的速率容量效應和自恢復特性。RV電池模型則描述了電池的非線性特性，但并沒有考慮到電池電壓受剩余電量的影響。

為提高有關能耗相關的仿真準確度，筆者建立了電池的KiBaM-LiIon模型，并給出了該模型適用于NS-3以及其他仿真軟件的低計算復雜度的數值解法，最后通過仿真和實驗驗證了所提出方法的有效性。

1電池模型分析

1.1LiIon電池模型

LiIon電池模型描述了電池在放電過程中的電壓下降現象。該模型僅以SoC（state-of-charge，荷電狀態）作為輸入量，可以精確地預測鉛酸蓄電池、鋰離子電池、鎳鎘電池、鎳氫電池等符合以下特點的任何種類電池的放電曲線。

1）電池內阻恒定，在充放電過程中不發生太大的改變;

2）充電和放電曲線可逆，在一次充放電循環中不考慮電池的壽命衰減;

3）電池的放電量不與放電電流有關，不考慮電池的非線性特性;

4）電池處于恒溫狀態;

5）不考慮電池的自放電特性;

6）電池沒有記憶效應。

LiIon模型的數學模型如下：V=E-Ri，E=E0-K·qrqr-∫idt+A·e-B·∫idt，A=ef-ee，B=3qe，K=[ef-en+A·（e-Bqn-1）]·qr-qnqn，E0=ef+K+Ri-A，（1）式中：V是輸出電壓（V）;E是輸出電動勢（V）;E0是電池恒定電壓（V）;K是極化電壓（V）;A是指數區域幅度（V）;B是指數區域時間常數倒數（A·h-1）;R是內阻（Ω）;ef是電池初始電壓（V）;en是電池名義電壓（V）;ee是指數區域結束位置電壓（V）;qr是電池額定容量（A·h）;qn是名義區域結束剩余容量（A·h）;qe是指數區域結束剩余容量（A·h）。

放電曲線的指數區域如圖1所示。

但是LiIon電池模型沒有體現電池的速率容量效應和自恢復特性[11]，因此該模型僅能描述電池在恒流放電條件下的狀態，并不適用于類似傳感器網絡節點這種電源時開時關、負載時大時小的場景。

1.2KiBaM電池模型

NS-3提供了另一種能夠描述電池的非線性特性的電池模型：RV電池模型[9-10]。經大量仿真分析發現，RV電池模型實際上就是一種連續的KiBaM電池模型[12-13]。KiBaM電池模型（kinetic battery model）[14]是一種分析模型，具有較高的抽象性。

KiBaM利用2個井（well）來描述電池的特性，如圖2所示，2個井分別被稱為束縛電荷井（BCW）和可用電荷井（ACW）。ACW直接給負載提供能量，而BCW只能通過一個“狹小”的通道與ACW進行能量交換，能量在通道中的轉移速度與兩井之間的“高度差”有關，與一個假設的、與電池性質有關的系數有關。該模型通過微分方程組（2）表示。dy1dt=-I+k·（h2-h1），dy2dt=-k·（h2-h1），（2）式（2）中y1為圖2中的i，y2為圖2中的j，其余符號皆如圖2所示。

電池放電時，按照方程組（2）描述，由ACW對外輸出能量，ACW的高度h1下降，與BCW之間產生高度差，BCW開始緩慢地向ACW轉移能量。如果負載很大，BCW受通道所限來不及向ACW補充能量，ACW能量就已經耗盡，導致電池釋放的總能量降低，符合速率容量效應。若在放電一段時間后停止放電，此時BCW仍向ACW緩緩補充能量，剛開始時高度差最大，電池的電量恢復速度也最快，隨著過程的進行，兩井之間的高度差逐漸縮小直到平衡，外在表現就是電池的電量回升速度越來越慢直到不再恢復[15]，符合電池的自恢復效應。

KiBaM電池模型沒有對電池內部的電化學機理建模，而是建立了一個非常有趣的抽象模型，解釋了電池的速率容量效應和自恢復效應。但在計算過程中，為了簡便卻忽略了電池的輸出電壓與剩余電量之間的關系，將電池看作是恒電壓輸出，這是十分不準確的。為了得到這種關系，一些文獻簡單地對輸出電壓和剩余電量做擬合處理[16]，有效但卻缺乏可推廣性。

2KiBaM-LiIon電池模型與數值解法

2.1KiBaM-LiIon電池模型

KiBaM模型描述了電池的非線性特性卻忽略了電壓的變化，而電壓的變化正是LiIon模型所著重考慮的，因此可以將2個模型進行結合而彌補各自的缺點?？傮w思路是：將KiBaM模型的ACW視作是一塊單獨的電池，使用LiIon模型來計算ACW的對外輸出電壓。

ACW從初始狀態0時刻開始到t時刻之間的電量變化為q（t）=y1（0）-y2（t）。（3）在LiIon模型中有一項∫idt，指的是負載在0時刻到t時刻之間消耗的電量，也可以說是從初始狀態0時刻開始到t時刻之間的電量變化，畢竟在不考慮非線性特性的LiIon模型中這兩者是相等的。但如果想要用LiIon模型對KiBaM模型的ACW的輸出電壓進行求解，就必須采用后一種解釋，因此要將LiIon模型與KiBaM模型聯立，并將其中的∫idt全部替換為式（4）：

V=E-Ri，E=E0-K·qrqr-q（t）+A·e-Bq（t），A=ef-ee，B=3qe，K=[ef-en+A·（e-Bqn-1）]·qr-qnqn，E0=ef+K+Ri-A，dy1dt=-i-ky1c-y21-c，dy2dt=-ky21-c-y1c，q（t）=y1（0）-y2（t），（4）

式中各符號解釋同式（1）與式（2）。

2.2用于NS-3的數值解法

KiBaM-LiIon電池模型中有一段微分方程組，微分方程組的解析解一般很難得到，甚至不存在，因此通常對微分方程模型進行數值求解，這是工程領域常見的做法[17]。微分方程的數值解最常用的方法是四階經典Runge-Kutta解法，但該解法對迭代步長有要求，只有在迭代步長足夠小的情況下才能夠保證數值穩定性[18]，否則誤差急劇增加，掩蓋了真值，使計算不能繼續迭代下去。舉例說明，假如取迭代步長h=0.001的四階經典Runge-Kutta解法對電池模型進行求解，對一個包含50個節點的網絡進行100 s的仿真，單能量部分總計就要進行500萬次迭代，這對仿真軟件來說是一個巨大的負擔，顯然是無法令人接受的。

雖然計算精度仍然受迭代步長的影響，但隱式Runge-Kutta解法卻有無條件的數值穩定性[19]。只要把隱式解法顯化，就可以在NS-3或其他仿真軟件中使用。

對于微分方程組：dy1dt=-i-ky1c-y21-c，dy2dt=-ky21-c-y1c。（5）寫成矩陣形式dudt=Au+f，（6）其中：A=-kck1-c-k1-ckc，（7）

f=-i0，（8）

u=y1y2。（9）該微分方程組的二級四階隱式Runge-Kutta解法[20]是：un+1=un+h2（k1+k2），k1=Aun+h4k1+3+2312hk2+f，k2=Aun+h4k2+3-2312hk1+f，（10）式中：向量k1和k2都是隱式的，只需要將這2個向量顯化，放在等式的一邊，就可以當作是普通表達式在各類仿真軟件中進行迭代求解，向量k1和k2的顯式表達式為k=（I-C）-1d，（11）其中：k=[k1k2]T，（12）

C=14hA3+2312hA3-2312hA14hA，（13）

d=[Aun+fAun+f]T。（14）根據式（11）到式（14）解出向量k1和k2的顯式表達式，Matlab，Mathematica，R語言，Python的SymPy庫等支持符號運算的語言都可以實現。本文利用Matlab的solve函數進行求解，最后得到的微分方程組的顯式迭代表達式非常長。但得益于隱式解法良好的數值穩定性，可以選用較長的迭代步長，減少迭代次數，因此在迭代次數上減少的運算量遠遠比公式變長增加的運算量要多。

將解得的向量k1和k2代入式（10），得到微分方程組（5）的數值解迭代式的形式如同式（15）。函數f1和f2同樣按照上述Matlab中符號運算功能得到，具體表達式較長不在本文中給出。y1，n+1=f1（y1，n，y2，n），y2，n+1=f2（y1，n，y2，n）。（15）2.3模型在NS-3中的實現方法

NS-3是C++編寫的，添加新的模型需要修改源代碼。筆者提出的仿真方案是以LiIon電池模型為基礎改進而來，因此在編寫NS-3的C++代碼時以ns3：：LiIonEnergySource類為基礎進行修改。ns3：：LiIonEnergySource類的文件地址是src/energy/model/li-ion-energy-source.h和src/energy/model/li-ion-energy-source.cc，在同一文件夾下創建這2個文件的副本，命名為src/energy/model/li-ion-kibam.h和src/energy/model/li-ion-kibam.cc，并且將文件中的類名改為ns3：：LiIonKiBaM，同時構造函數和析構函數的函數名也要做相應的改動。除了名稱和表1提到的修改之外，其余均保持ns3：：LiIonEnergySource類的原樣不變。

表1ns3：：LiIonKiBaM類相比ns3：：LiIonEnergySource類所作修改

Tab.1Modification of ns3：：LiIonKiBaM compared to ns3：：LiIonEnergySource

名稱類型訪問權限操作說明LiIonKiBam（）構造函數Public修改對新增成員變量的初始化void CalculateRemainingEnergy（）函數Private修改NS-3通過定時調用該函數來計算剩余能量m_cdoublePrivate新增式（4）中的cm_kdoublePrivate新增式（4）中的km_y1doublePrivate新增式（15）中的y1，n+1m_y1bdoublePrivate新增式（15）中的y1，nm_y2doublePrivate新增式（15）中的y2，n+1m_y2bdoublePrivate新增式（15）中的y2，nm_i1doublePrivate新增上一次迭代計算時刻的電流m_i2doublePrivate新增本次迭代計算時刻的電流

函數CalculateRemainingEnergy（）在函數UpdateEnergySource（）中被調用，UpdateEnergySource（）的函數體結尾通過調用Simulator：：Schedule（）函數來設定UpdateEnergySource（）函數的下一次被調用的時間，達到定時執行的效果。在ns3：：LiIonEnergySource：：CalculateRemainingEnergy（）中僅僅是將剩余能量減去功率與調用間隔的乘積，因為該函數被等時間間隔調用，可以將其改造成迭代計算。圖3是修改后的函數ns3：： LiIonKiBaM：：CalculateRemainingEnergy（）主要部分的偽代碼和注釋。

簡便起見，本文沒有編寫該能量模型的Helper類，因此在給設備指定能量模型時，需要先用ns3：：CreateObject（）模版函數分別創建ns3：：EnergySourceContainer類和ns3：：LiIonKiBaM類的實例，然后調用EnergySourceContainer：：Add（）函數，將指向ns3：：LiIonKiBaM實例的指針添加到ns3：：EnergySourceContainer的實例中。

3仿真與實驗評價

3.1數值解法的仿真評價

用仿真的方式來評價本文2.2節提出的數值解法性能，仿真平臺是Matlab R2018a 64位版。由于僅仿真數值解法的性能，為了排除模型因素的影響，采用提出的數值解法對原始的KiBaM模型進行求解。電池電壓3.7 V，電池容量200 A·s，放電狀態是10 s，往復周期2 A電流間歇放電。選取Matlab提供的迭代步長0.001 s的ode求解器作為對比基準，這是在無法得到解析解的條件下所能達到的最好精度的微分方程數值解[21]。作為對比，迭代步長0.1 s的四階經典Runge-Kutta解法和迭代步長1 s的本文提出的解法進行比較，仿真結果如圖4所示。

從仿真結果可以看出，即使求解精度提高了10倍，經典Runge-Kutta解法的誤差仍然比二級四階隱式Runge-Kutta解法要大。提出的解法以經典解法1/10的求解精度，得到了標準差僅為經典解法32.27%的準確結果、最大偏差僅為經典解法26.98%的準確結果。且經典方法存在嚴重的累積誤差問題，隨著仿真時間的推移，累積誤差會越來越大，最終得到發散的結果。而本文2.2節提出的解法具有更小的計算開銷和更高的求解精度，如表2所示。

方法標準差最大偏差終點偏差經典解法4.301 510.434 610.434 6本文提出的解法1.388 42.815 61.517 9

3.2電池模型的實驗評價

為了體現模型的泛用性，被測電池為2塊不同的電池，標稱電壓均為3.7 V，標稱容量均為600 mA·h，但內阻等其他參數不同。測量儀器為EBC-A05+電池測試儀、安捷倫34401A數字萬用表，如圖5所示。

從電池電量充滿的狀態開始，分別以恒流1，05，0.25，0.1 A和間歇0.1 A的負載進行實驗并記錄每時刻的電壓值，并在NS-3中分別進行上述同條件仿真。由于NS-3不具備圖形界面，沒有繪圖功能，所以需要把NS-3的輸出數據拷貝到windows計算機并在Matlab中讀取，才能繪出電池在放電過程中的實測曲線和仿真曲線。為了評價仿真的準確度，在曲線中等間距取3 000個點，定義它們的均方根誤差（RMSE）作為評價標準，實驗結果如表3和圖6所示。

實驗條件均方根誤差/V最大偏差/V電池一1 A恒流放電0.050 90.088 5電池一0.5 A恒流放電0.037 70.172 7電池一0.25 A恒流放電0.040 20.494 2電池一0.1 A恒流放電0.049 60.520 9電池一0.1 A間歇放電0.031 90.100 0電池二0.25 A恒流放電0.029 60.258 5電池二0.5 A恒流放電0.030 30.158 4電池二1 A恒流放電0.056 10.085 9

由實驗結果可知，該電池模型能夠精準地描述任意電池在使用過程中的狀態，平均誤差0.04～0.05 V。最大偏差出現在電池即將耗盡階段，但在實際使用時，節點不會將電量耗盡，而是會在即將耗盡電量時退出網絡，所以這種較大誤差的情況實際上是沒有影響的，進一步說明本文提出的電池模型的準確度較高。

4結語

筆者提出的電池模型及其數值解法解決了在NS-3中無線傳感器網絡和移動Ad-hoc網絡仿真過程中對節點能耗估計不準確的問題，其有效性和準確性得到了實驗的證明和支持。它不僅適用于NS-3，同樣也適用于其他網絡模擬器，為無線傳感器網絡和移動Ad-hoc網絡的研究與發展提供了良好的技術支持和保障。但該電池模型沒有考慮電池的壽命衰減，忽略了電池隨長期使用而出現的老化現象，需針對此問題進一步深入研究。

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2019年6月Journal of Hebei University of Science and TechnologyJune 2019