挖掘一道高考題的應用價值

劉華光

對一些經典的高考題，如果能用變化的觀點加以探究，往往能揭示出題目“背后的故事”，從而為解決數學問題開辟新的綠色通道.

例題 （2007年高考陜西理科卷第5題）各項均為正數的等比數列{an}的前n項和為Sn，若Sn=2，S3n=14，則S4n等于

A. 16 ? ? ? ? ? ?B. 26 ? ? ? ? ? ? ?C. 30 ? ? ? ? ? ? ? D. 80

分析 初見此題，學生一般容易被題目中三個量的下標所迷惑，導致思路受阻.

由已知條件可得 =2，①

=14.②

但是由這兩個方程求不出a1，q和n，則由S4n= 無法得到答案.

如果用變化的視角觀察①和②，那么就會發現它們有一個共同的因式 ，將此式消去，自然問題得解.

解 由已知有q≠1，則由 = ，且 ≠0，可得7（1-qn）=1-q3n，整理得（qn）3-7qn+6=0.③

解得qn=2，qn=1（舍去），qn=-3（舍去）.所以S4n= = （1-q4n）= （1-24）=30.選C.

小結 求解三次方程③，需要用到因式分解以及立方差公式等解題基本功.在得到qn=2之后，由①式得 = 是一種合理的轉化 ，既繞過了求a1所帶來的麻煩，又體現了數學解題的本質.

這道經典的高考題還有多種各具特色的解法，都已經成了“昨天的故事”，在這里我們更關注的是題目的內涵價值.從結果來看，S4n=30與n無關，這說明當題目中的三個量的下標中的n依次取值1，2，3，…時，并不影響題目的求解與結果.注意到三個量的下標之間有著一種微妙的等量關系：n+3n=4n，由此聯系到題目中的三個量之間是否也存在著某種等量關系呢？經過探究，得到下面的結論.

結論 已知{an}為等比數列，Sm，Sn分別為其前m項，前n項的和，若m>n，則有Sm=Sn+Sm-n qn=Sm-n+Snqm-n.

證明 當q=1時，結論顯然成立.

當q≠1時，由等比數列的前n項和公式，可得Sm-Sn= - = = ·qn=Sm-n qn，Sm-Sm-n = - = = ·qm-n=Snqm-n，整理后可知結論成立.

綜上可知，結論成立.

小結 此結論反映了等比數列前n項和Sn的下標在變化過程中，滿足和相等或差相等關系時所具有的等量關系式.它是等比數列前n項和公式的深化，對解決等比數列前n項和的有關問題具有重要的應用價值.

應用1 已知Sn，Sm，Sk中某兩項的值，求另一項值的問題

例1 設等比數列{an}的前n項和為Sn，若S100 =200，S200 =300，則S300 =

A.400 ? ? ? ? ? ? ? B.350 ? ? ? ? ? ? ? C.300 ? ? ? ? ? ? ? D.100

解 設等比數列{an}的公比為q，由結論可得S300 =S100+S200q100=S200 +S100 q200，200+300q100=300+200q200，解得q100= 或q100=1（舍去）.所以S300 =200+300× =350.選B.

小結 如果由已知條件進行瞎猜，那么容易掉進選項A的陷阱中.

例2 設等比數列{an}的前n項和為Sn，若S50 =4，S150 =8，則S350=

A.12 ? ? ? B.28+8 ? ? ? ?C.28-8 ? ? ? ?D.40

解 設等比數列{an}的公比為q.由結論可得S200=S50 +S150 q50=S150 +S50 ?q150，則4+8q50=8+4q150，解得q50= ，q50=1（舍去），q50=- （舍去）.所以S200=4+8× =4 ，則S350=S150 +S200q150=28-8 .選C.

小結 在求等比數列前n項和的問題中，此類題型比較常見.如果k=m+n，那么就可以直接由結論求解;如果k>m+n，那么可以先利用結論求出Sm+n，然后看2m+n或m+2n是否與k相等，如果相等，即可再一次利用結論求解，直到得到結果.

應用2 Sm和Sn的倍數或者商的關系與公比q的求值問題

例3 一個各項均為正數的等比數列，它的前200項之和為前100項之和的10倍，則此數列的公比為______.

解 設此數列的公比為q，由已知條件可知S200=10S100 ，則由結論可得S200=S100 +S100 q100=10S100 ，解得q= .

小結 一般地，一個各項均為正數的等比數列，如果它的前2n項之和為前n項之和的m倍，則此數列的公比為 .

例4 已知等比數列{an}的公比q=2，前n項和為Sn，則 =______.

解 由結論可得S11=S4+S7·24=S7+S4·27，整理可得15S7=127S4，即 = .

小結 此題如果由S7=S3+S4·23=S4+S3·24往下做，也可以求解，但要復雜一些.

應用3 分子、分母是Sm與Sn的和或差的分式及公比q的求值問題

例5 已知Sn為等比數列{an}的前n項和，且 = ，則q=______.

解 由結論可得S5-S1=S4q，S9-S5=S4q5，則 = = ，解得q=2或q=-2.

小結 由結論可將此題推廣為：已知等比數列{an}的前n項和為Sn，公比為q，如果n-p=m-k，那么 =qp-k.

應用4 分子與分母都是若干項的和的分式的求值問題

例6 已知{an}為等比數列，且 = ，則 =

A. ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. ? ? ? ? ? ? ? ? ? C. ? ? ? ? ? ? ? ? ? D.

解 由 = = = ，可得q=3.由結論可得S4-S1=S3q=3S3，S7-S4=S3q4=81S3，所以 = = .選C.

小結 像這類題型，用一般方法去解，思路比較僵化，過程也很復雜，但用結論處理，卻思路清晰，過程簡捷，既能提高解題速度，又能避免復雜運算可能出現的錯誤.

應用5 項與和的最值問題

例7 設等比數列{an}的前n項和為Sn，若S4≥10，S5≤15，則a5的最大值為______.

解 由結論及已知條件可得a5=a1q4=S1q4=S5-S4≤15-10=5，所以a5的最大值為5.

小結 一般地，設等比數列{an}的前n項和為Sn，若Sn≥a，Sm≤b，則當n>m時，Sn-mqm的最小值為a -b;當n