數列的高考風向標

羅小林

熱點1：求通項公式

遞推數列是高中數列的重要組成部分，是高考命題的熱點之一.利用遞推關系或數列的求和公式求數列的通項公式的問題，需要同學們重點關注.

預測題1 已知數列{an}中，a1 =1，an+1 = ，則an=______.

參考答案 an =

預測題2 已知數列{an}的前n項和為Sn，若Sn=n2+3n+2，則an=______.

參考答案 an =2n+2，n≥2，6，n=1.

預測題3 已知數列{an}，{bn}均為等差數列，且前n項和分別為Sn和Tn，若 = ，則 =

A. ? ? ? ? ? ? B. ? ? ? ? ? ? C. ? ? ? ? ? ? D.3

參考答案 A

預測題4 已知數列{an}滿足a1=1，3nan+1=2（n+1）an.

（Ⅰ）判斷數列{ }是否為等比數列，并說明理由.

（Ⅱ）求數列{an}的通項公式.

提示 利用已知條件構造等比數列{ }，求出數列{ }的通項公式，從而得到數列{an}的通項公式.

參考答案 （Ⅰ）數列{ }是以1為首項、 為公比的等比數列.

（Ⅱ）an =n（ ）n-1.

預測題5 已知數列{an}滿足a1=1，n2an+1=（n+1）2an.

（Ⅰ）判斷數列{ }是否為等比數列，并說明理由.

（Ⅱ）求{an}的通項公式.

參考答案 （Ⅰ）數列{ }是以1為首項、1為公比的等比數列.

（Ⅱ）an =n2.

預測題6 已知數列{an}滿足a1=3，an+1=6an+3n+2，bn= +3.

（Ⅰ）判斷數列{bn}是否為等比數列，并說明理由.

（Ⅱ）求{an}的通項公式.

參考答案 （Ⅰ）數列{bn}是以4為首項、2為公比的等比數列.

（Ⅱ）an =2·6n-3n+1.

熱點2：求等差數列前n項和的最值

公差非零的等差數列的前n項和是關于正整數n的二次函數，利用拋物線的對稱性可求得等差數列的前n項和的最值.公差非零的等差數列的通項公式關于正整數n是單調的，利用相鄰兩項乘積非正可求等差數列的前n項和取得最值時n的值.

預測題7 記Sn為等差數列{an}的前n項和，已知a2=-24，S4=-90.

（Ⅰ）求數列{an}的通項公式.

（Ⅱ）求Sn的最小值.

提示 由等差數列的通項公式和等差數列的前n項和公式求出a1和d，從而得到數列{an}的通項公式.根據Sn是關于n的二次函數，從而得到Sn的最小值.

參考答案 （Ⅰ）an =3n-30.

（Ⅱ）Sn的最小值為-135.

預測題8 記Sn為等差數列{an}的前n項和，已知a3=24，S16 >0，S17 <0.

（Ⅰ）求數列{an}的公差d的取值范圍.

（Ⅱ）當Sn取得最大值時，求n的值.

參考答案 （Ⅰ）-

（Ⅱ）n=8.

預測題9 已知等差數列{an}中，-2

（Ⅰ）求數列{an}的公差d的取值范圍.

（Ⅱ）當數列{an}的前n項和Sn取得最小值時，求n的值.

參考答案 （Ⅰ）0

（Ⅱ）n=4或n=5.

熱點3：錯位相減法求數列前n項的和

當通項公式形如等差數列乘以等比數列時，通常利用錯位相減法求其前n項和.

預測題10 記Sn為遞增的等比數列{an}的前n項和，已知a2=2，S3=7，bn=（n+2）an.

（Ⅰ）求數列{bn}的通項公式.

（Ⅱ）求數列{bn}的前n項和Tn.

提示 由a2=2，S3=7，求出 a1和q，從而得到數列{an}的通項公式，進而得到數列{bn}的通項公式.然后利用錯位相減法求得數列{bn}的前n項和Tn.

參考答案 （Ⅰ）bn=（n+2）2n-1.

（Ⅱ）Tn=（n+1）2n-1.

預測題11 已知公比為q（q≠1）的等比數列{an}中，a1=- ，S3=3a3.

（Ⅰ）求數列{an}的通項公式.

（Ⅱ）若bn=（-1）n（2n-1）an，求數列{bn}的前n項和Tn.

參考答案 （Ⅰ）an=（- ）n.

（Ⅱ）Tn=3- .

熱點4：裂項求和證明不等式

當數列的通項公式是分式型，且分子為常數，分母為關于n的二次式，求前n項和時，通常需要考慮裂項相消法.

預測題12 記Sn為等差數列{an}的前n項和，已知a3=4，S8=44，bn=（n+2）an.

（Ⅰ）求數列{an}的通項公式.

（Ⅱ）若數列{ }的前n項和是Tn，證明： ≤Tn< .

提示 根據a3=4，S8=44，求出a1和d的值，從而得到 ，然后對數列{ }的通項公式裂項，從而得到證明.

參考答案 （Ⅰ）an=n+1.

（Ⅱ）（證明過程省略）

預測題13 已知公差為1的等差數列{an}中，a2，a3，a4可作為一個直角三角形的三邊長，且a4最大.

（Ⅰ）求數列{an}的前n項和Sn.

（Ⅱ）數列{bn}中，若bn= ，求數列{bn}的前n項和Tn .

參考答案 （Ⅰ）Sn= .

（Ⅱ）Tn= - - - .

在高考數學全國卷中，第一道解答題通常是數列題，難度不大.同學們需要掌握遞推數列、等差數列及其前n項和、等比數列及其前n項和等基礎知識，會用錯位相減法、裂項相消法等常見的求和方法.證明不等式還需要掌握常見的放縮技巧.