解析幾何的高考熱點預測

王佩其

高考對解析幾何的考查，命題一般以“兩小一大”的形式出現.“兩小”，指兩道選擇題或填空題，主要考查解析幾何的基本運算，難度中等;“一大”，指一道解答題，主要考查圓錐曲線的綜合應用，難度較大.

熱點1：直線方程

高考對直線方程的考查，一般將問題設置在兩直線的位置關系，直線與圓的位置關系等各種位置關系中，難度一般，多為選擇題或填空題.

預測題1 經過兩條直線2x+3y+1= 0和x-3y+ 4=0的交點，且垂直于直線3x+4y-7=0的直線的方程為

A.4x-3y+9=0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?B.-4x+3y+9=0

C.3x-4y+9=0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?D.3x+4y+9=0

提示 先求出交點坐標，再將其代入所求方程4x-3y+m=0，求出m.

參考答案 A

熱點2：圓的方程

高考對圓的方程的考查目標明確，就是要求考生用待定系數法或幾何法直接求出圓的方程，難度一般，多為選擇題或填空題.

預測題2 圓C與直線x+y=0及x+y-4=0都相切，圓心在直線x-y=0上，則圓C的方程為______.

參考答案 （x-1）2+（y-1）2=2

熱點3：直線與圓的位置關系

高考對直線與圓的位置關系的考查，主要涉及兩類問題：一是直線與圓相切，以與切線方程有關的問題為主;二是直線與圓相交，以與弦長有關的問題為主.它們的難度一般，多為選擇題或填空題.

預測題3 已知圓O：x2+y2= 4，直線l與圓O相交于點P，Q，且 · =-2，則弦PQ的長度為______.

參考答案 2

預測題4 已知圓C：x2+y2=1，點P為直線 + =1上的一個動點，過點P向圓C引兩條切線PA，PB，A，B為切點，則直線AB經過定點

A.（ ， ）? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?B.（ ， ）

C.（ ，0）? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?D.（0， ）

提示 設點P的坐標為（4-2m，m），寫出以PC為直徑的圓的方程，再將其與圓C的方程相減，就可得到直線AB的方程，進而求出定點的坐標.

參考答案 B

熱點4：圓錐曲線的標準方程

圓錐曲線的方程是高考考查的重點，主要考查圓錐曲線定義的應用和用待定系數法求標準方程，多以選擇題、填空題或解答題第一問的形式命題，難度一般.

預測題5 ?已知橢圓C的中心為坐標原點O，F（-5，0）為C的左焦點，P為C上一點，滿足|OP|= |OF|且|PF|=6，則橢圓C的方程為

A. + =1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?B. + =1

C. + =1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?D. + =1

提示 設橢圓C的右焦點為F ′，則由題意可計算PF ′，再由橢圓的定義可求出2a=PF +PF ′.

參考答案 C

熱點5：圓錐曲線的幾何性質

高考對圓錐曲線的幾何性質的考查大多出現在選擇題或填空題中，主要考查橢圓與雙曲線的離心率和雙曲線的漸近線，試題難度為中等或中等偏上.

預測題6 已知雙曲線C： - =1（a>0，b>0）的右頂點為A，O為坐標原點，以A為圓心的圓與雙曲線C的某漸近線交于P，Q兩點.若∠PAQ=60°，且 =3 ，則雙曲線C的離心率為______.

參考答案

熱點6：直線與圓錐曲線

直線與圓錐曲線的問題的命題角度主要有兩種：一是直線與圓錐曲線的位置關系;二是有關弦的中點、弦長問題.該題有一定的綜合性，因而有一定的難度.

預測題7 已知直線l： x-y-a=0與拋物線x2=4y交于P，Q兩點，過P，Q分別作l的垂線，與y軸交于M，N 兩點.若|MN|= ，則a=

A.-1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B.1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? C.-2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? D.2

提示 設直線l的傾斜角為θ，點P，Q的橫坐標分別為x1，x2，則θ= ，|PQ|=|MN|sin θ=8.再聯立方程組，消元后利用韋達定理，可求出a的值.

參考答案 D

預測題8 已知A（-2，0），B（2，0），若在斜率為k的直線l上存在不同的M，N兩點，滿足|MA|- |MB|=2 ，|NA|-|NB|=2 ，且線段MN的中點為（6，1），則k的值為

A.-2 ? ? ? ? ? ? ? B.- ? ? ? ? ? ? ? ?C. ? ? ? ? ? ? ? ?D.2

提示 先得雙曲線方程 -y2 =1，再用點差法求解.

參考答案 D

熱點7：圓錐曲線中的最值、范圍問題

在高考命題中，圓錐曲線中的最值、范圍問題，可能出現在選擇題或填空題中，難度中等;也可能出現在解答題中，一般難度較大.

預測題9 已知橢圓C： + =1（a>b>0）的離心率為 ，直線l：x+2y = 4與橢圓有且只有一個交點T.

（Ⅰ）求橢圓C的方程和點T的坐標.

（Ⅱ）O為坐標原點，與OT平行的直線l′與橢圓C交于不同的A，B兩點，求△OAB的面積最大時直線l′的方程.

參考答案 （Ⅰ） + =1，（1， ）.

（Ⅱ）y= x- 或y= x+ .

熱點8：圓錐曲線中的定點、定值問題

圓錐曲線中的定點、定值問題，是近幾年高考解答題的必考題型，難度較大.

預測題10 已知拋物線C：y2=4x，點M（m，0）在x軸的正半軸上，過點M的直線l與拋物線 C相交于A，B兩點，O為坐標原點.

（Ⅰ）若m=1，且直線l的斜率為1，求以AB為直徑的圓的方程.

（Ⅱ）是否存在定點M，使得不論直線l：x=ky+m繞點M如何轉動， ?+ 恒為定值？

參考答案 （Ⅰ）（x-3）2+（y-2）2=16.

（Ⅱ）存在定點M（2，0）滿足題意.

熱點9：圓錐曲線中的存在性問題

圓錐曲線中的存在性問題，也是近幾年高考解答題的?？碱}型，難度較大.

預測題11 如右圖，已知橢圓C： + =1（a>b>0），其左，右焦點分別為F1（-1，0），F2 （1，0），過點F1的直線交橢圓C于A，B兩點，線段AB的中點為G，AB的中垂線與x軸，y軸分別交于D，E兩點，且|AF1|，|F1F2|，|AF2|構成等差數列.

（Ⅰ）求橢圓C的方程.

（Ⅱ）記△GF1D的面積為S1，△OED（O為原點）的面積為S2，是否存在直線AB，使得S1=12S2？說明理由.

提示 （Ⅰ）（略）（Ⅱ）假設存在直線滿足條件，將S1=12S2轉化為|GD|=2 |OD|.據題意設出直線AB的方程，將其代入橢圓方程后，結合韋達定理和兩點間的距離，可得關于直線斜率k的方程，由k的值判斷結論是否成立.

參考答案 （Ⅰ） + =1.

（Ⅱ）存在直線AB：y=± （x+1）.