高考函數與導數命題展望

石向陽

編者按：本期我們特地邀請了常年對全國卷進行深入研究，具有豐富經驗的教師來探索高考命題的趨勢，同時給出相應的預測題，以此為考生指明復習的方向，幫助考生把握高考的熱點，啟發考生的思維，以期各位考生能在今年的高考中多拿分.

熱點1：函數的性質

函數的四大性質是高考對函數內容考查的重中之重，其中單調性與奇偶性更是高考的必考內容.在高考命題中，函數常與方程、不等式等其他知識結合進行考查.

預測題1 定義在R上的函數f（x）滿足f（-x）= f（x），且當x≥0時，f（x）=-x2+1，0≤x<1，2-2x，x≥1.若對任意的x∈[m，m+1]，不等式f（1-x）≤f（x+m）恒成立，則實數m的最大值為

A.-1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? B.- ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?C.- ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?D.

參考答案 C

熱點2：函數圖像的判斷

根據函數的解析式判斷函數的圖像，要從定義域、值域、單調性、奇偶性等方面入手，結合給出的函數圖像進行全面分析，有時也可結合特殊的函數值進行輔助推斷，這是判斷函數圖像問題的基本方法.

判斷復雜函數的圖像，常借助導數這一工具，先對原函數進行求導，再利用導數判斷函數的單調性、極值或最值，從而對選項進行篩選.要注意函數求導之后，導函數發生了變化，故導函數和原函數定義域會有所不同，我們必須在原函數的定義域內研究函數的極值和最值.

預測題2 函數f（x）=ex+ae-x與g（x）=x2+ax在同一坐標系內的圖像不可能是

參考答案 C

熱點3：函數的零點

類型一 函數零點（即方程的根）的確定

常見的有：函數零點大致存在區間的確定，零點個數的確定，兩函數圖像交點的橫坐標或有幾個交點的確定.解決這類問題的常用方法有：解方程法、利用零點存在的判定或數形結合法，尤其是等號兩端對應的函數類型不同的方程，多以數形結合法求解.

預測題3 已知函數f（x）滿足：①定義域為R;②？坌x∈R，都有f（x+2）= f（x）;③當x∈[-1，1]時，f（x）=-|x|+1，則方程f（x）= log2|x|在區間[-3，5]上解的個數是

A.5 ? ? ? ? ? ? ? ? ? B.6 ? ? ? ? ? ? ? ? ? C.7 ? ? ? ? ? ? ? ? ? D.8

參考答案 A

類型二 由函數零點的存在情況求參數的值或取值范圍問題

解決這類問題的關鍵是利用函數與方程思想或數形結合思想，構建關于參數的方程或不等式進行求解.

預測題4 設f1（x）=|x-1|，f2（x）=-x2+6x-5.函數g（x）是這樣定義的：當f1（x）≥f2（x）時，g（x）= f1（x）;當f1（x）< f2（x）時，g（x）= f2（x）.若方程g（x）=a有四個不同的實數解，則實數a的取值范圍是

A.（-∞，4） ? ? ? ? B.（0，4） ? ? ? ? C.（0，3） ? ? ? ? D.（3，4）

參考答案 D

熱點4：不等式恒成立時逆求參數的取值范圍 （最值）

不等式恒成立問題一直是高考命題的熱點，把函數問題、導數問題和不等式恒成立問題交匯命制壓軸題成為一個新的熱點命題方向.

預測題5 已知函數f（x）= + ，當x>0且x≠1時，f（x）> + ，求k的取值范圍.

參考答案 （-∞，0].

由不等式恒成立求解參數的取值范圍問題，直接含參討論函數的性質，有點煩瑣，卻是官方青睞的正統解法，考生要仔細體會和掌握.分離變量法也很有效，但部分題型利用分離變量法處理時，會出現“ ”型代數式，利用洛必達法則雖能較好地處理，但有超綱的嫌疑.在這種情況下使用導數的定義，既能避免煩瑣的分類討論，又能避免使用洛必達法則.

熱點5：虛設零點整體代換證明不等式恒成立

要證明f（x）>0恒成立，只要證明fmin（x）= f（x0）>0.一般情況下，x0是導函數f ′（x）的變號零點.如果f ′（x）=0是超越形式，我們無法求出導函數零點，這時我們一律對零點“設而不求”，通過形式化的合理代換或推理，謀求一種整體的轉換和過渡，將超越式化簡為普通式.

預測題6 已知函數f（x）=ex-ln（x+m）.當m≤2時，證明：f（x）>0.

提示 由已知推理得f（x）≥ex-ln（x+2）.令g（x）=ex-ln（x+2）.通過求導可得g′（x）在（-2，+∞）上單調遞增.又g′（-1）=e-1-1<0，g′（0）= >0，所以存在唯一的x0∈（-1，0），使得g′（x0）=0.通過函數單調性可得gmin（x）=g（x0）= -ln（x0+2）.通過推理得g（x0）>0，可得gmin（x）>0，即g（x）>0，所以f（x）>0.

熱點6：分離函數法證明函數型不等式

在用差值函數法直接證明F（x）= f（x）-g（x）>0無法完成的情況下，就要考慮用分離函數法了.先將f（x）>g（x）同解變形，整理成H（x）>G（x），整理的原則是不等式兩邊的函數H（x），G（x）容易用導數法研究它們的單調性，然后證明Hmin（x）≥Gmax（x），再說明兩邊取最值的自變量不一致，即證得H（x）>G（x），從而F（x）>0.該方法主要適用于同時含有ln x，ex的不等式.

預測題7 已知f（x）=exln x+ ，證明：f（x）>1.

提示 即證xln x+ > .令h（x）=xln x+ （x>0），求導可知h（x）≥h（ ）= .令g（x）= （x>0），求導可知g（x）≤g（1）= .于是有h（x）>g（x），從而f（x）>1.

熱點7：放縮法證明含參數的函數型不等式

給定參數的取值范圍，證明含參函數f（x）>0恒成立，一般先利用參數取值范圍的端點值對f（x）>0進行放縮，變成新的不含參數的不等式.常用的放縮有：ex≥x+1，ln x≤x-1， ≤ln（1+x）≤x， < < .（在解答題中使用時一定要給出證明過程）

預測題6其他證法提示 經分析只需證明ex-ln（x+2）>0，（另法1）即證ex >ln（x+2），或（另法2）即證 > ，或（另法3）即證 > e2.

熱點8：雙變量不等式問題

類型一 整體換元構建函數

一般地，在變形過程中若出現指數形式 - = [1- ]，可考慮對k（x1-x2）作整體換元;若出現對數形式ln x2-ln x1=ln ，可考慮對 作整體換元.

預測題8 已知函數g（x）= -k有兩個不同的零點x1，x2，證明：x1x2>e2.

類型二 利用結構相似構建函數

在關于x1，x2的雙變量問題中，若無法將所要證明的不等式整體轉化為關于m（x1，x2）的表達式，可通過分離變量，凸顯出原不等式隱藏的規律，即左右兩邊式子的結構特征相似，則考慮將不等式轉化為函數的單調性問題進行處理，進而實現消元的目的.

預測題9 已知f（x）=x-aln x（a<0）對（0， ）上的任意兩個不等的實數x1，x2，恒有|f（x1）- f（x2）|< | - |，求實數a的取值范圍.

參考答案 - ≤a<0.（責任編校？筑馮琪）