成對角接觸球軸承動剛度分析

謝黎明，馬家起，靳嵐，楊忠泮

(1.蘭州理工大學 機電工程學院，蘭州 730050；2.甘肅煙草工業有限責任公司 蘭州卷煙廠，蘭州 730050)

角接觸球軸承具有摩擦小，能耗小，可同時承受軸向、徑向載荷的優點，廣泛應用于精密機床中。角接觸球軸承通常成對安裝，以獲得更高的旋轉精度、極限轉速和剛度。軸承的動剛度是影響高速電主軸系統非線性特性的主要因素之一，故有必要對軸承動剛度進行分析。

國內外學者對軸承剛度做了大量研究。文獻[1]分析了套圈變形對剛度的影響，得出角接觸球軸承預緊是影響其剛度的重要因素；文獻[2]考慮了離心力、陀螺力矩、內圈離心膨脹和熱變形等因素，建立高速滾動軸承力學模型，計算了高速滾動軸承-轉子系統的時變剛度，并分析了軸承在不平衡激勵下的振動響應；文獻[3]分析了轉速和預緊力對角接觸球軸承剛度的影響；文獻[4]通過建立五自由度擬靜力學模型，分析了不同安裝和預緊方式下軸承剛度的變化規律；文獻[5]提出了雙列角接觸球軸承剛度計算公式；文獻[6]考慮了油膜剛度影響，通過求解雙列角接觸球軸承動剛度模型分析了軸承結構參數和工況參數對軸承動剛度的影響。

在上述研究的基礎上，以成對安裝角接觸球軸承為研究對象，考慮離心力、陀螺力矩等因素建立擬靜力學分析模型，分析轉速、徑向力、軸向力、預緊力對成對角接觸球軸承動剛度的影響。

1 角接觸球軸承擬靜力學模型

根據外圈溝道控制理論[7]，在Jones模型的基礎上考慮離心力、陀螺力矩及內圈離心效應引起的位移等因素，建立角接觸球軸承擬靜力學模型。

1.1 球與內、外圈溝道的接觸變形分析

背靠背安裝角接觸球軸承模型及受力示意圖如圖1所示，圖中：Lb為兩軸承軸向球心間距;Fa，Fr分別為軸端施加的軸向力和徑向力。在施加載荷前，球與內、外圈溝道的接觸示意圖如圖2所示，圖中：Dw為球徑；α0為初始接觸角；ri，re分別為內、外溝道半徑。

圖1 背靠背安裝角接觸球軸承模型及受力示意圖

當軸承未受載時，內外溝曲率中心與球心在同一條線上，兩溝曲率中心距離為

A=(fi+fe-1)Dw，

(1)

fi=ri/Dw，

fe=re/Dw，

式中：fi，fe分別為內、外溝曲率半徑系數。

圖2 施加載荷前球與溝道的接觸示意圖

在外載荷作用下軸承b(b=1時，代表軸承1;b=2時，代表軸承2)中球與內、外圈溝道接觸變形協調關系如圖3所示，當軸承高速運轉時，球受到離心力的作用，內外溝曲率中心與球心將不在同一條線上，外溝曲率中心保持不變，球心由Obj移到O′bj(j代表第j個球)，內溝曲率中心由Obi移到O′bi。球心與內外溝曲率中心距離分別為

(2)

(3)

圖3 球與內、外圈溝道的接觸變形協調關系

變形后,內外溝曲率中心的軸向和徑向距離分別為

(4)

(5)

Ri=0.5Dpw+(fi-0.5)Dwcosα0，

根據圖3的位置關系，球與內、外圈溝道的接觸角可表示為

(6)

在圖3中根據勾股定理可得

(7)

(8)

1.2 球受力分析

球受力示意圖如圖4所示，受力平衡方程為

(9)

(10)

圖4 球受力示意圖

1.3 成對軸承剛度計算

成對角接觸球軸承受力平衡方程為

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

式中：Z為球數。

當載荷作用于軸承后，成對軸承變形δ=[δx,δy,δz,θx,θy]T和成對軸承受力F=[Fx,Fy,Fz,Mx,My]T之間的關系可表示為Kbδ=F，其中Kb為成對軸承剛度矩陣，

(16)

2 實例分析

以成對安裝的7210C角接觸球軸承為研究對象，采用定位預緊，初始預緊力為500 N，軸承球心軸向間距為20 mm，套圈及球材料均采用GCr15軸承鋼，彈性模量210 GPa，泊松比0.3，密度為7 850 kg/m3，軸承主參數見表1。

表1 7210C角接觸球軸承主參數

2.1 轉速對成對軸承剛度的影響

在Fr=500 N，Fa=500 N，2種安裝布局下成對軸承剛度隨轉速的變化如圖5所示。由圖可知：2種安裝布局下成對軸承徑向和軸向剛度隨轉速增大而減小，且減小趨勢基本一致；背靠背安裝時成對軸承角剛度遠大于面對面安裝時的角剛度。說明安裝布局對成對軸承徑向和軸向剛度影響不大，而對角剛度影響較大。這是由于背靠背安裝時，軸承接觸角線沿軸向擴散，面對面安裝時，軸承接觸角線沿軸向收斂，導致面對面安裝的成對軸承角剛度較小。

圖5 轉速對成對軸承剛度的影響

2.2 徑向力對成對軸承剛度的影響

在Fa=500 N，轉速為8 000 r/min，2種安裝布局下成對軸承剛度隨徑向力的變化如圖6所示。由圖可知：采用背靠背安裝時，成對軸承徑向剛度、軸向剛度和角剛度隨徑向力增大呈先減小后增大的趨勢，這是由于當徑向力增大到一定程度后，受載球增多，球與溝道的接觸載荷增大，軸承剛度隨之增大；采用面對面安裝時，其徑向和軸向剛度將隨徑向力增大一直減小，而角剛度略微增大。同時，當徑向力增大到一定程度后，采用背靠背安裝時的成對軸承軸向和徑向剛度明顯大于面對面安裝時的剛度，說明背靠背安裝的軸承能承受較大的徑向力。

2.3 軸向力對成對軸承剛度的影響

在Fr=500 N，轉速為8 000 r/min，2種安裝布局下成對軸承剛度隨軸向力的變化如圖7所示。由圖可知：采用背靠背安裝時，成對軸承的徑向剛度、軸向剛度和角剛度隨軸向力的增大呈先減小后增大的趨勢，這是由于軸承預緊力會抵消一部分軸向力，從而出現剛度隨軸向力先減小后增大的變化；采用面對面安裝時，其徑向剛度減小，軸向剛度先減小后增大，角剛度增大。

圖7 軸向力對成對軸承剛度的影響

2.4 預緊力對成對軸承剛度的影響

在Fr=500 N，Fa=500 N，轉速為8 000 r/min，2種安裝布局下成對軸承剛度隨預緊力的變化如圖8所示。由圖可知：成對軸承的徑向剛度、軸向剛度和角剛度都隨預緊力增大而增大，但預緊力會抵消一部分的軸向力，因此軸向剛度與徑向剛度相比，增大相對較少。預緊力過大時，會加快軸承磨損，加速軸承溫升，甚至出現卡死現象，降低軸承使用壽命,故在滿足使用壽命的前提下，可適當增大軸承預緊力。

圖8 預緊力對成對軸承剛度的影響

3 結論

1)2種安裝布局下成對軸承徑向和軸向剛度隨轉速增大而減小，背靠背安裝時成對軸承具有較大的角剛度。

2)背靠背安裝時成對軸承剛度隨徑向力增大呈先減小后增大的趨勢，面對面安裝時軸承徑向剛度和軸向剛度隨徑向力增大而減小，角剛度逐漸增大。

3)背靠背安裝時成對軸承剛度隨軸向力增大呈先減小后增大趨勢，面對面安裝時成對軸承徑向剛度隨軸向力增大而減小，軸向剛度先減小后增大，角剛度逐漸增大。

4)2種安裝布局下成對軸承剛度隨預緊力增大而增大。