基于Bayes混合先驗分布的兵棋推演規則建模方法*

薛 輝 ，劉鐵林 ，蘇小波

（1.陸軍工程大學石家莊校區，石家莊 050003；2.空軍石家莊飛行學院，石家莊 050071）

戰爭作為復雜巨系統，影響其勝負的因素很多，武器裝備先進程度、人員能力素質水平、士氣、指揮員指揮藝術、作戰樣式、國家的政治、經濟等等，尤其是信息化戰爭的出現，使得戰爭更加撲朔迷離。兵棋推演作為戰爭的一種模擬工具，近年來備受軍事領域推崇，兵棋是通過對歷史的更深理解，嘗試推斷未來，是歷史和科學的結合，是智慧的較量，是紙做的時間機器，它是分析戰爭的重要手段，是一種研究戰爭的利器［1］。歷史指運用數理統計的方法對實戰、演習等數據及經驗的總結，科學即運用科學的方法和理論探索戰爭的基本規律。勝負裁決規則作為兵棋推演的核心內容決定著模擬效果的好壞，決定著兵棋推演的結果是否符合戰爭規律。

當前兵棋系統的裁決規則主要通過對戰爭歷史數據廣泛采集和統計分析，通過經驗數據尋找戰爭規律，該方法最易于被軍事專家及指揮人員接受。而數學家、工程師最為推崇的是作戰運籌分析，通過對武器裝備戰技指標的分析，運用數學方法建立作戰模型，通過數學分析得出相應的結果進而揭示戰爭的一般規律，該方法在“二戰”時的工業化背景中取得了明顯成效。通過總結不難發現，當影響戰爭勝負的因素比較單一且易于量化時，適合運籌分析，當影響戰爭勝負的因素比較多元且僅能定性分析時，適合經驗規律總結。日益先進的武器裝備作為內因和經濟全球化、精細化分工作為外因，決定著未來戰爭樣式必然復雜多變，影響戰爭勝負因素必然多元化、復雜化且量化評估難。

本文的研究思路是運用運籌分析的方法建立兵棋推演勝負裁決的基礎作戰模型，通過Bayes方法及混合Beta分布，使其與歷史戰爭經驗總結的規律進行合理有效的融合，對兵棋推演中勝負裁決的概率進行調整，進而有效提高勝負裁決概率的準確度。

貝葉斯（Bayes）方法可充分有效利用先驗信息，通過對先驗信息的收集、挖掘和加工，使之形成先驗分布而參加到統計推斷中來，以提高統計推斷的準確度。貝塔分布（Beta Distribution）作為伯努力分布和二項分布的共軛先驗分布的密度函數，在機器學習和數理統計學中都有重要應用，同樣勝負型事件的先驗分布也可為貝塔分布。

1 兵棋推演勝負裁決規則建模方法

如果僅由人員、武器裝備影響戰爭勝負，可以根據人員訓練水平、武器裝備戰技指標確定戰斗力指數后，按照軍事運籌分析方法，建立數學模型分析戰爭勝負規律。

在模擬機械化步兵部隊在對陣地防御之敵機械化步兵部隊的進攻作戰行動中，設定以下輔助規則：1）進攻一方的剩余戰斗力低于初始戰斗力的2/3時即認為進攻失敗；2）防守一方的剩余戰斗力低于初始戰斗力的2/5時即認為防守失敗。該規則的制定雖然符合大多數戰斗規律，但事實上戰爭中還有很多意外的情況會發生，敵對雙方的勝負不一定是按照上述約定進行，其勝負規律具有一定的隨機性，下面假設紅方為進攻方，藍方為防守方，將達到此臨界值之前的勝負概率設置如下。

1.1 依據戰術基本原則建立勝負裁決規則模型

經典蘭徹斯特方程假定，對抗雙方均處于敵方火力范圍內，由于戰斗緊迫可以不考慮支援部隊，雙方的戰斗力完全取決于雙方的作戰單元數和單個作戰單元的戰斗力值。

用x0表示紅方初始戰斗力值，x（t）表示對抗中紅方t時刻的戰斗力值；y0表示藍方初始戰斗力值，y（t）表示對抗中藍方t時刻的戰斗力值，a表示藍方單個作戰單元對紅方作戰單元在單位時間內的損耗系數，b表示紅方單個作戰單元對藍方作戰單元在單位時間內的損耗系數，我們是通過蘭徹斯特方程［2］求解相應時刻紅藍對抗雙方的剩余戰斗力，如下所示：

求解以上一階常系數線性微分方程組可得：

通過變換可得到如下蘭徹斯特平方律方程

為便于計算，當假定一方剩余戰斗力值進行分析時，知道 x（t）或 y（t）可利用以下公式計算另一方的剩余戰斗力值

依據戰術基本原則和戰爭規律，在雙方剩余兵力不同階段建立相應的勝負裁決概率模型：

1）當 x（t）/x0>2/3 且 y（t）/y0>2/5 時

從軍事戰術基本原則分析，相比于對方戰斗力損耗越慢取勝的把握越大，即剩余戰斗力比值大的一方勝率要大于剩余戰斗力值的一方，為使雙方勝負概率充滿整個概率空間，通過各方剩余戰斗力值與初始值的比值 y（t）/y0與 x（t）/x0進行歸一化處理后，作為該方在相應t時刻的勝率。具體如下所示：

2）當 x（t）/x0≤2/3 或者 y（t）/y0≤2/5 時

按照戰術基本原則，任何一方先達到臨界值，即判定進攻或防守失敗，暫時不考慮雙方同時達到臨界值的可能性。

1.2 模擬雙方士氣建立勝負裁決規則模型

綜合考慮雙方人員、裝備水平及訓練情況后，用α，β表示雙方士氣，其取值范圍為［0，1］，當取0值時即認為“不戰而逃”，取1值時認為“誓死戰斗到底”，則將雙方的勝負概率進行如下調整：

按照以上模型，兵棋推演中勝負裁決規則比較接近戰爭規律，這與孫子兵法中的“車雜而乘之，卒善而養之，是謂勝敵而益強”所描述的戰爭規律是一致的。即戰爭規律是雙方的勝負概率隨著時間的推進在不斷地發生變化，且勝率大者愈大，勝率小者愈小。

2 基于Bayes混合先驗的勝負裁決規則建模方法研究

在不考慮氣候環境、后勤供應保障、指揮藝術等等且武器裝備戰斗力占主要決定因素的戰斗時，上節所建立的模型可以最大程度反映戰爭規律，但如果影響因素多元且定量化分析難時，需要借鑒歷史戰爭經驗總結的規律，并將兩種方法合理結合，提高戰爭模擬的可信度。

當前國內兵棋系統采取的勝負裁決規則模型都是在經典頻率學派的理論指導下得出的，即歷史經驗、演習數據等的統計分析，它是對所有影響戰爭勝負因素聚合后的分析，是整體涌現的結果。本文將其作為后驗樣本信息，將上節建立的模型作為先驗信息，即假設上節的模型抓住了影響戰爭勝負的主要因素，但要通過后驗樣本信息對該信念進行不斷調整，如果后驗樣本信息支持則增強信念，如果后驗樣本信息反對則降低信念。

用規范的語言描述，即貝葉斯學派注重于參數空間，描述的是觀察者知識狀態在新的觀測發生后如何更新，即觀察者持有某個前置信念（prior belief），通過觀測獲得統計證據（evidence），通過滿足一定條件的邏輯一致推斷得出的關于該陳述的合理性，從而得出后置信念（posterior belief）來最好地表征觀測后的知識狀態（state of knowledge）。嚴謹的數學定義如下所示：

定義1［3］在獲得樣本x后，參數θ的后驗分布（posterior distribution）就是在給定X=x條件下θ的條件分布，記為π（θ|x）。對于有密度的情形，它的密度函數為

貝塔分布中的參數可以理解為偽計數，伯努力分布的似然函數可以表示為一次事件發生的概率，它與貝塔分布有同樣的形式，因此，可以用貝塔分布作為其先驗分布。

式中，（0<θ<1，α>0，β>0），其中 α，β 為先驗分布的超參數。

2.1 不考慮差異性的勝負裁決規則建模

用SH表示紅方在t時刻的勝率的期望，戰爭的勝負與成敗型產品類型，其先驗分布為貝塔分布Beta（α，β），則

兵棋推演系統中規定其勝算概率越高，則其方差就越小。k為調整系數取值0.01~0.05，k值越小其散布越小。

有了先驗分布，結合歷史戰爭的統計數據（n，x），n為總數，x為紅方勝利數，f=n-x為紅方失敗數，可以得到后驗分布 Beta（θ|a+x，b+f）密度函數為

這樣就調整更新了兵棋推演中勝負裁決概率θ的分布，使其更加準確，更加合理。事實上這么做就是將歷史戰爭規律的總結融入到軍事運籌分析中，是軍事專家與工程師、數學專家所各自推崇戰爭模擬方法的融合，但是兩者之間各自所占比重是必須考慮的問題，主要有兩點原因：一是樣本量的不同必然導致先驗信息與后驗信息的互相淹沒；二是需要科學確定兩者對整體規律的貢獻權重。

2.2 基于混合Beta分布勝負裁決規則建模

2.1 中建立的數學模型調整更新了勝負裁決概率，但是如果先驗信息過多就會淹沒現場信息，且利用上式的Beta分布進行Bayes勝負裁決概率調整，只考慮了兵棋對歷史戰爭經驗的繼承性，而忽略了兵棋能夠推演模擬未來新戰爭樣式的獨特方面，即任何兵棋系統都會有其差異性、創新性，可以采用均勻分布來描述兵棋推演的差異性、創新性，因此，采用混合Beta分布來描述兵棋推演勝負裁決規則的繼承和引入的差異性、創新性。文獻［4-9］解決成敗型產品可靠性評估時均采用了混合Beta先驗分布。

ρ作為繼承因子，反映了歷史戰爭經驗規律總結和軍事運籌分析方面的相似程度，可以用統計數據或軍事指揮員給出；為了體現軍事指揮藝術與科學理論方法的完美結合，繼承因子ρ可以由軍事指揮員給出。美軍的兵棋推演系統將自由式（依靠軍事指揮員經驗和指揮藝術）兵棋與嚴格式（依靠數學模型及算法）兵棋巧妙地結合進行研討式兵棋的開發，與本文的混合Beta先驗分布的思路不謀而合。由專家給出ρ的方法有時很難做到準確，文獻［10］利用兩樣本的卡方擬合優度檢驗，給出了確定ρ的方法。（1-ρ）稱為更新因子，反映了兵棋系統在繼承歷史戰爭經驗時引入的差異性、創新性。

設有歷史樣本信息（m，x）來自總體X，m為試驗數，x為成功數，f=m-x為失敗數；樣本信息（n，y）來自總體Y，n為試驗數，y為成功數，f'=n-y為失敗數。

原假設H0：X與Y是相同的總體，檢驗統計量為

K依分布收斂到自由度為1的卡方分布。給定檢驗水平α，有

式中，χ12（α）為自由度為1的卡方分布的α分位點。式（16）中要求，x，y，f，f'都應大于 5，若不能滿足這一條件，Yates［11］給出了對K的一個修正：

以下使用的K均為式（18）中的定義，式（18）中的K近似服從自由度為1的卡方分布。上述檢驗問題中，一個略小于χ12（α）的K和一個遠小于χ12（α）的K，意義有所不同，后者支持原假設的理由更強烈一些，令

稱為該檢驗的擬合優度，Q（K）越大，支持原假設的證據就越強。文獻［10］指出從Q（K）的概念來看，它可以作為兩總體的相似程度的度量，那么，ρ和Q（K）是具有相互聯系和影響的，記此種關系為

f取決于現場樣本信息和歷史樣本信息的情況，可以通過在各種可能的概率下產生現場樣本和歷史樣本相同容量的隨機數來模擬計算，大多數情況下可以令

混合Beta驗前分布的使用是對經典統計方法和傳統Bayes方法的合理折衷。如果存在多種相關信息可以利用，如戰爭的樣式、力量規模、武器裝備性能相近等，可以構造如下的混合驗前分布，不同的ρi表示歷史戰爭經驗規律總結和軍事運籌分析在不同方面的相似性和繼承性。

根據貝葉斯公式，結合混合先驗分布得到的后驗概率模型為：

使用兵棋推演的目的是檢驗及調整作戰計劃，提高打贏概率。從“預己從嚴、料敵從寬”的角度講，制定的作戰計劃應該確保有最低的勝算，因此，軍事指揮員更關心的是給定可信度（置信度）γ后，最低的勝率值SHL，以便定下決心是否執行該作戰方案。在給定可信度γ后，SHL可由下式解出：

3 仿真算例分析

3.1 參數假設

假設按照軍事運籌分析的方法，通過第1節的方法，運用蘭徹斯特方程計算得出紅方勝率的期望值SH=0.8，即紅方勝率為0.8，藍方勝率為0.2。

通過對歷史相似戰爭案例廣泛采集和統計分析后，紅藍雙方的勝負情況分別為：HS=4，LS=1。在給定置信水平γ=0.8的情況下，采用經典的頻率統計方法對戰爭規律進行總結，取

紅方的勝率為θ=0.51。

3.2 計算分析

按照軍事運籌分析的方法，無論實戰規律是否與數學模型推演結果一致，兵棋推演系統仍然沒有必要修改紅方勝率SH=0.8。同樣，按照對戰爭經驗總結，兵棋推演系統仍然沒有必要修改紅方勝率SH=0.51。

按照第2節建立的模型，基于實戰規律作為小樣本，在有先驗信息的情況下，按照基于混合Beta分布的勝負裁決概率模型，假設調整系數k=0.02，利用式（13），可計算得到貝塔分布超參數的擬合值α=31.2，β=7.8。

兩種樣本信息之間的繼承因子可以由卡方擬合優度檢驗方法求得，也可由專家給出。假如由軍事指揮員根據戰爭經驗給出繼承因子ρ=0.7，則在給定的置信水平γ=0.8的情況下，根據式（23）和式（24）得出紅方的勝率為0.751 2。

通過以上對比，折衷后的勝負概率值較前面兩者更為穩健，通過卡方擬合優度檢驗法確定的繼承因子，充分體現了歷史戰爭經驗規律總結法和軍事運籌分析法兩者之間的繼承性以及差異性，使得兵棋推演包含兩者共同優點，有效地提高了模擬程度。

4 結論

利用混合貝塔分布的貝葉斯方法將歷史戰爭經驗與軍事運籌分析方法結合，對兵棋推演的勝負裁決規則建模方法暫沒有相關文獻進行研究，本文尚屬首次提出，通過算例分析，證明該方法確實有效，得出的勝負裁決概率合理可靠，能夠有效促進兵棋推演系統更好地模擬戰爭規律，對于提高戰斗力、增強打贏本領具有一定的軍事意義。下一步可以通過Bayes網絡建模，使用實時更新的數據庫、知識庫不斷訓練參數，動態調整勝負裁決規則。

表1 3種方法的比較（置信度γ=0.7）