嵌套式多渦卷混沌系統及其電路實現*

熊 樂 ，盧 鑫 ，李志軍 ，曾以成

（1.湘潭大學物理與光電工程學院，湖南 湘潭 411105；2.湖南華南光電（集團）有限責任公司，湖南 常德 415007；3.湘潭大學信息工程學院，湖南 湘潭 411105）

0 引言

因混沌現象廣泛存在并且有著十分廣闊的應用前景，從而被研究者們深入研究［1-4］。混沌的保密性能關鍵在于混沌系統的復雜程度，用動力學特性相對簡單的混沌信號去作為加密信號使用的時候，保密系統就很容易被攻破。多翅膀、多渦卷混沌系統具有動力學特性非常復雜等重要特點，可以用來提升混沌保密通信的安全性能，因此，研究多翅膀、多渦卷混沌系統的構建及其相關動力學特征仍然是目前混沌理論及其應用研究領域研究的熱點之一［5-7］。

已經有非常多的文獻通過在已知的混沌系統中添加非線性函數或著分段線性函數，以擴展指標2的平衡點，從而產生動力學特性更加復雜的多翅膀、多渦卷吸引子。自1993年Suykens和Vandewalle［8］成功地構造出多渦卷混沌系統以后，研究者們又通過在一些經典系統中添加一些分段線性函數，如多項式、飽和函數、周期脈沖和階躍函數等，實現了各種復雜的多渦卷混沌吸引子［9-11］。然后Liu［12］等人在2003年構造出一個四翼蝴蝶混沌吸引子，盡管這個四翼混沌吸引子后來被證明是通過數值計算產生的一個偽四翼蝴蝶混沌吸引子，但這卻引起了研究者們對構造多翼蝴蝶吸引子的興趣。文獻［13-14］分別是基于多項式變換和Julia過程，構造出能夠產生環形多翼蝴蝶吸引子的混沌系統；文獻［15］是通過構造異宿環，從而得到了能夠產生網格多翼蝴蝶混沌吸引子的系統；文獻［16-17］則是通過設計出適當的分段線性函數，得到多翼蝴蝶混沌吸引子。

上面所述文獻基本上都是圍繞吸引子渦卷或著吸引子翅膀的數量進行混沌系統的設計，并且一般都是在一維到三維空間上增加渦卷的數量，但是發現這樣混沌吸引子的結構并沒有改變。本文在已知的Jerk系統基礎上，對Jerk系統方程組的第1、第2和第3子方程上分別添加符號函數，成功地構造出一種和以往不同結構的混沌吸引子。通過更改符號函數的幅值，可以看到吸引子的整個變化過程，是由一個簡單的多渦卷混沌吸引子慢慢地轉變成一個呈嵌套式結構的多渦卷混沌吸引子。然后通過周期脈沖對得到的嵌套式多渦卷混沌系統的平衡點進行擴展，得到在一維排列的嵌套式多渦卷混沌吸引子陣列。最后進行混沌電子電路的設計和仿真，證實數值模擬和電子電路仿真結果的一致性。

1 新混沌系統的構建與基本分析

2000 年，Elwakil［19］提出了一種簡單的 Jerk 系統方程如下：

其中，a為可調參數，f（x）=sgn（x）為符號函數，當a=0.8時系統有3個不穩定的平衡點，分別是O（0，0，0），P+（5/4，0，0），P-（-5/1，0，0）。此時系統產生雙渦卷吸引子如圖1所示［19］。

圖1 Jerk混沌系統吸引子相圖

1.1 非對稱嵌套式四渦卷混沌系統的構建

在系統式（1）第1個子方程中添加非線性函數φ（y）=sgn（y），可構造如下的三階自治系統：

當a=0.8，b=28時，混沌系統的Poincaré映射圖如圖2（a）所示，功率譜圖如圖2（b）所示。當b的數值從3增加到28時，系統的吸引子由一個雙渦卷逐漸地演變成一個具有嵌套式結構的四渦卷吸引子，吸引子相圖的轉變過程如圖3所示。

圖2 系統式（2）的Poincaré截面圖和功率譜圖

圖3 系統式（2）隨參數b的相圖轉變過程

從系統的各個相圖、功率譜圖和龐加萊映射截面上點的分布，可以看出該系統為混沌系統。

1.2 非對稱嵌套式六渦卷和八渦卷混沌系統的構建

在系統式（2）的第2個子方程中添加函數準（z）=sgn（z），可構造如下的三階自治系統：

當參數a=0.8，c=1，d=1，參數b的數值從3到28變化時，系統式（3）的吸引子相圖轉變過程如圖4所示。從圖4可以看出，此時系統的吸引子從一個四渦卷吸引子逐漸變成一個具有嵌套式結構的六渦卷吸引子。當a、d值保持不變，c=3，b的值從3到28變化時，式（3）的吸引子相圖轉變過程如圖5所示。由圖5可知，此時系統的吸引子由一個嵌套式的四渦卷吸混沌引子逐漸變成一個嵌套的八渦卷混沌吸引子。而且在此參數條件下，得到的嵌套式八渦卷吸引子具有雙層嵌套的結構。

圖4 c=1，d=1時，式（3）隨參數b的相圖轉變過程

1.3 對稱嵌套式六渦卷混沌系統的構建

在式（3）第3個方程中再添加非線性函數準（z）=sgn（z），可構造如下的三階自治系統：

圖6 式（4）的動力學行為分析

當參數 a=0.8，c=3，d=3，b=28，e 的值由 3 到 5增加時，式（4）所得到的吸引子由一個非對稱的具有嵌套式結構的六渦卷逐漸演變為一個雙邊對稱的嵌套式六渦卷吸引子，吸引子相圖的轉變過程如圖6所示。從圖6（c）和6（d）可以看出，當e的值取3時，式（4）所產生的吸引子是一個只有單邊四渦卷被嵌的六渦卷吸引子，而當e的值取5時，混沌吸引子的相圖如圖6（b）所示，此時x軸正方向被嵌的是一個雙渦卷，并且x軸的負方向也生成了一個雙渦卷，被嵌入到一個大的雙渦卷中，由此形成了一個對稱的具有嵌套式結構的六渦卷吸引子。

2 動力學特性分析及數值仿真

2.1 耗散性和吸引子的存在性

同理，混沌系統式（3）和式（2）有著一樣的耗散性，但式（4），由于因此，混沌系統式（4）有著一個特殊的點，即當z=0時，有 △V=-（a-e），當 a>e時，混沌式（4）是耗散的。當 z≠0時，有 △V=-a，此時式（4）的耗散性與混沌系統式（2）和式（3）保持一致。

2.2 平衡點及穩定性

S0=（0，0，0）；S1=（11/4，1，0）；S2=（-19/4，1，0）；

S3=（19/4，-1，0）；S4=（-11/4，-1，0）。

把式（3）在平衡點S0處進行線性化，得其Jacobian矩陣為

其特征多項式為

同理，對于平衡點 S1、S2、S3和 S4，特征根都為1=-0.899 4，2=0.049 7+0.941 7i，3=0.049 7-0.941 7i。由于特征根1是負實數，且特征根2和3是實部為正的共軛復數，因此，平衡點 S1、S2、S3和 S4也都為不穩定的鞍焦點。

由混沌吸引子的運動特性可知，吸引子有著兩種運動方向，一切在吸引子之外的運動都向它靠攏，對應著穩定的方向，而一切到達吸引子內部的運動軌道都相互排斥，對應著不穩定的方向。通過對系統式（2）平衡點的計算分析可知，系統式（2）有5個指標2的平衡點，且除零點外其余4個平衡點都隨參數b數值的增大而向x軸的兩端遠離。當參數a=3時，系統產生的是一個雙渦卷，此時渦卷只分布在x軸一側，故渦卷由平衡點S1和S3決定。當參數a在0~7.7變化時，雙渦卷的平衡點隨著a的增大向x軸的正方向平移。當參數a=6時，通過圖2（b）可知，吸引子內部的運動軌道相互排斥開始向外圍延伸，并開始向雙渦卷外圍環繞。因4個平衡點的性質一致，都是指標2的平衡點，所以都能夠形成吸引子。當參數a=7.71時，x軸正方向雙渦卷消失，而x軸負方向產生雙渦卷且此渦卷繼續向外擴展，嵌入到一個大的雙渦卷中。當參數a=28時，雙渦卷被完全嵌入到一個大的雙渦卷吸引子中，且在大的渦卷中，左邊以平衡點S2和S4的雙渦卷為中心，右邊以平衡點S1和S3為中心且關于y軸對稱。

同理，對于式（3）和式（4），通過分析可知式（3）和式（4）的混沌吸引子軌跡運行和式（2）基本上是一致的，但混沌式（3）和式（4）的平衡點更多，有17個指標2的平衡點，因此，其混沌吸引子的相圖跟隨系統參數的轉變過程更加豐富。特別是圖5（a）~圖 5（d）和圖 6（a）~ 圖 6（b）所示的混沌吸引子的轉變過程。從圖5（a）~圖5（d）相圖的轉變過程和幅度分析能夠看出，混沌吸引子的軌道運行被嵌套了兩次，由本來的一個具有嵌套式結構的四渦卷吸引子再不斷地向外環繞，形成了一個具有嵌套式結構的八渦卷混沌吸引子。由圖6（a）~圖6（b）所示的吸引子運行軌道分析可以得出，在參數d=3時，雖然混沌吸引子的相圖和圖2（d）很相似，但其實渦卷的數量并不相等。這里被嵌套的是一個四渦卷混沌吸引子，因此，此時系統產生的是一個非對稱的具有嵌套式結構的六渦卷混沌吸引子。而當參數d=5時，混沌吸引子之外的運動繼續向吸引子靠攏，并在大的渦卷里面形成一個小的雙渦卷吸引子，與此同時先前被嵌套的四渦卷混沌吸引子變為一個兩渦卷吸引子，由此形成一個對稱的六渦卷嵌套式吸引子。

通過本節的分析，可以得到Jerk系統能夠產生具有嵌套式結構的多渦卷吸引子所滿足的幾個因素：

1）系統有多個平衡點，除零點外，其他平衡點均勻分布在x軸的兩側。

2）在吸引子沒嵌套前，混沌吸引子只在x軸的一側生成。

3）系統在逐漸加大符號函數幅值時，平衡點相對應的數值也在加大，并且在不斷地相對于x軸向兩側遠離，此變化的過程中，系統兩側平衡點的位置是關于y軸對稱保持不變的。

3 構建單方向嵌套式多渦卷陣列混沌系統

在系統式（3）的基礎上，利用周期脈沖，構建往x軸方向上擴展的具有嵌套式結構的多渦卷混沌系統。在式（3）的第3個子方程中添加一個周期脈沖f（t），構造出如下的三階混沌系統：

其中，f（t）為復合脈沖激勵源，且

當 a=0.8，c=3，d=3，b=28，令 A1=6，w1=0.06 時，得到的嵌套式12渦卷混沌吸引子相圖如圖7所示，其中圖7（c）為圖7（a）中被嵌的八渦卷吸引子的x-y相平面圖，從圖7（c）所示的相平面圖中能夠看出被嵌的兩個吸引子都是四渦卷吸引子。當A1=6，w1=0.06，A2=4，w2=0.02時，有如圖8所示的嵌套式30 渦卷混沌吸引子，其中圖 8（c）為圖 8（a）中左半部被嵌的12多渦卷吸引子的x-y相平面圖，從圖8（a）所示的相平面圖中能夠看出，嵌套的多渦卷是兩邊對稱的渦卷，圖8（c）中能夠看出被嵌的3個吸引子都是四渦卷吸引子。

圖7 嵌套式12渦卷的相平面圖

圖8 嵌套式30渦卷的相平面圖

從圖7和圖8可以看出，在加入周期脈沖后，系統由原來的嵌套式六渦卷在x軸上進行擴展，得到嵌套式12渦卷和嵌套式30渦卷。但由于嵌套式渦卷是大套小的結構，且大渦卷幅值范圍比較大，在擴展嵌套式多渦卷的同時，可以看出，擴展的嵌套式渦卷幅值范圍在不斷縮小。因此，在嵌套式30渦卷的基礎上，繼續擴展式（8）平衡點得到多渦卷的時候，雖然渦卷的數量不斷在增加，但已逐漸地不呈現嵌套的結構。

4 系統電路設計和仿真

混沌系統最直接的物理實現是通過電子電路來完成的，許多混沌系統的動力學行為都通過實際的電子電路得到了驗證［20］。同樣這個新的三維具有嵌套式結構的吸引子混沌系統也可以通過電子電路來實現。因為一般情況下直接依據系統微分方程設計出的電子電路很難正常運行，因此，有必要對原系統方程作適當地變換，這樣做是為了利用線性變換，使得系統狀態變量數值的變化范圍在相應的集成電路能夠實現的工作電壓范圍內，這樣做在一定程度上也能夠簡化電路。

本文3個具有嵌套式結構的吸引子混沌系統都是在Jerk混沌系統的基礎上改進的，故只需Jerk混沌系統電子電路和符號函數電路就能夠設計出式（2）~式（4）的混沌電子電路。設計出的混沌系統式（2）模擬電子電路圖如圖9所示，其中符號函數電子電路由U6、R13、R14、R15和R16組成。該電子電路運用的運算放大器型號為AD844和TL082，其電源電壓都是E=±15 V。此電子電路結構十分簡單，只需要6個運算放大器，相比較其他公開發表的文獻所用運算放大器更少，更加容易實現。式（3）和式（4）的模擬電子電路只需要在式（2）電子電路的基礎上，在y和z兩個通道再分別添加一個符號函數就可以了。下頁圖10給出了3個新混沌系統在設置不同的參數值時相對應的吸引子電子電路實驗仿真效果圖，其中圖 10（a）和圖 10（b）對應式（2）b=28 時的 x-y，x-z相截面圖；圖 10（c）和圖 10（d）對應式（3）c=1，d=1，b=22 和 b=8 時的 x-y相截面圖；圖 10（e）和圖10（f）對應于式（4）e=3和e=5時的x-y相截面圖。將混沌系統的Matlab仿真圖和電子電路仿真結果圖對比分析可以看出，電子電路仿真輸出的結果與數值模擬輸出的結果完全一致。

圖9 混沌系統式（2）的電路原理圖

5 結論

圖10 電路實現結果

通過在Jerk系統的3個子方程上分別添加符號函數，構造出3個新的混沌系統。新系統在平衡點數量不改變的條件下，改變平衡點所在的位置，不僅實現了對系統渦卷數量的控制，還生成一種新結構的混沌吸引子——嵌套式吸引子。對新混沌系統的動力學特性進行分析，包括系統的Poincaré截面圖、耗散性等。通過對系統平衡點的變化進行分析，解釋了嵌套式混沌吸引子的轉變過程。然后設計新系統的硬件電路，軟件仿真輸出的結果證實了嵌套式結構吸引子的可實現性。因為具有嵌套式結構的混沌吸引子相比以往發現的混沌吸引子，不論結構還是形態都更為復雜，因此，能夠更好地應用于混沌保密通信領域，具有更高的使用價值。然而，本文還只在Jerk系統上得到了嵌套式吸引子，且最多只實現了吸引子的雙層嵌套。因此，下一步的主要工作是能夠在更多的經典混沌系統上，實現具有嵌套式結構的吸引子并做到更多層次的嵌套。