中職數學概念教學四步曲

范學

[摘 ? ? ? ? ? 要] ?中職數學教學要讓學生掌握數學知識，讓他們會用數學思想，對他們的思維能力進行有效的訓練，這就要求中職數學教師在概念教學過程中將數學思想貫徹進去。如何在中職數學課堂中深入淺出地進行概念教學，以一節雙曲線的定義與標準方程的概念課介紹了教學“四步曲”，即：概念引入—概念概括—概念分析—概念運用。

[關 ? ?鍵 ? 詞] ?中職數學;雙曲線;概念引入;概念概括;概念分析;概念運用

[中圖分類號] ?G712 ? ? ? ? ? ? ? ? [文獻標志碼] ?A ? ? ? ? ? ?[文章編號] ?2096-0603（2019）15-0060-02

作為一名在中職教學的數學教師，筆者一直在思考，我們中職數學應該給學生留下些什么？筆者認為我們留給學生的應該不單只是公式演算和概念的記憶，更應留下數學的思想及對思維能力的訓練。因此中職數學教學應當重視概念教學，對概念教學應遵循四步走：1.引入概念，即這個數學概念是什么;2.概括概念，即這個數學概念怎么表述;3.分析概念，即這個數學概念是怎么來的;4.運用概念，即這個數學概念有什么用。那么如何在教學過程中走好這四步，使概念教學行之有效呢？

筆者就以中等職業教育課程改革國家規劃新教材中的一節內容雙曲線的定義與標準方程拋磚引玉，探討作為數學教師在數學教學中是如何把握概念教學中的四步曲的。

一、概念的引入

在進行數學概念教學的過程中，既要考慮學生的實際數學基礎，又要了解這一階段學生的認知規律，體現教學的直觀性原則、形象性原則以及實用性原則。讓學生感受到之前概念所涵蓋的知識有限，需要學習新的概念得以進一步掌握新的知識，從而激發學生學習新知的積極性和主動性。

在這之前學生已經學習了橢圓的定義與標準方程，對曲線圖形和標準方程的求解已經有了一定的認識，學生對“平面內動點到兩定點距離之和等于定長（定長大于兩定點間距離）點的軌跡”已經有了充分的認識。在此基礎上，教師就可以引導學生思考“平面內動點到兩定點距離之差等于定長點的軌跡”又是什么呢？通過學生與學生一起協作實驗。這一實驗就是為了帶領學生進入數學概念學習的活動操作階段。教學中，可以引導學生通過“活動”的形式來感受所要學的數學內容，引出數學的新概念，讓學生去比較前后所學概念間的關系，再通過實際的例子對概念進行更加科學的組織整理、歸納總結、激發學生的數學思維，構建新概念。

二、概念的概括

概念的概括就是我們通常所說的概念的定義。通過一個或幾個已學的概念去確定另一個概念的邏輯方法。在教學中教師應充分發揮學生主體的能動性，構建出一個可以讓學生“去發現、再創造”的思維過程。而抽象過程由教師代替學生體驗會使得只能有一少部分學生進行有意義的學習，其學習活動也往往是不連貫的，使得建構的概念缺乏完整性。

因此在進行雙曲線的定義與標準方程的概念課過程中，通過讓學生動手體驗活動，利用同桌之間的配合由一根拉鏈和兩個定點，描繪出了一個全新的圖形，即雙曲線。這個教學活動過程中，教師秉持了發現法的教學原則。學生通過對所經歷的教學活動進行思考，將活動轉化為思維，將活動進行數學語言的描述和反思，構建出數學概念的性質，即概括出數學的一般定義。

教師問：比較之前關于橢圓的概念，你們是否可以運用自己的數學語言清晰準確地概括出雙曲線的定義呢？

學生答：雙曲線就是平面內動點到兩定點距離之和等于定長（定長大于兩定點間距離）點的軌跡。

三、概念的分析

在數學的概念概括中已經認識到了定義的本質，并用數學符號對其形象化，成為一個具體的對象，把這一具體的對象通過后面的學習進行新的運用。當概念以定義的狀態呈現出來后，有利于學生進行整體的把握，為后面的學習打下基礎。因此，在日常的教學實踐活動中，要引導學生分析和解剖所學的數學概念，特別是對其中有關表達形式中的語言和符號，特別需要向學生強調數學語言和符號的準確性和內涵，更要通過實例多角度、全方位向學生分析和展示數學新概念所適用的條件和范圍。

教師：求曲線方程的過程，可根據求動點軌跡方程的步驟，求出雙曲線的標準方程。那么我們可以用什么方法呢？

學生：設點，列方程。

教師：對，橢圓的時候我們是怎么做的呢？

學生：建系-設點-列式-化簡-檢驗。

教師：很好。回顧求曲線方程“五步法”（建系-設點-列式-化簡-檢驗）。

用類比的方式，引導學生求出雙曲線的標準方程，盡量發揮學生的主動性，活躍課堂氣氛。

教師：取過焦點F1，F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，設P（x，y）為雙曲線上的任意一點，雙曲線的焦距是2c（c>0），

則F1（-c，0），F2（c，0），又設M與F1（-c，0），F2（c，0）距離之差的絕對值等于2a（常數），2a<2c.∴P={P||PF1|-|PF2|=±2a}，

又∵|PF1|=■，∴■-■=±2a

（化簡過程由學生板演）

得：（c2-a2）x2-a2y2=a2（c2-a2），

由定義2a<2c ∴c2-a2>0

令∴c2-a2=b2代入，得：b2x2-a2y2=a2b2

邊同除a2b2

得：■-■=1（a>0，b>0），即為雙曲線的標準方程。

它所表示的雙曲線的焦點在y軸上，焦點是F1（-c，0），F2（c，0），其中c2=a2+b2

教師：若坐標系的選取不同，可得到雙曲線的不同的方程，

如焦點在軸上，則焦點是F1（-c，0），F2（c，0），

雙曲線的標準方程又該怎樣求？

學生：用類比法：將x，y互換，得到■-■=1（a>0，b>0），此也是雙曲線的標準方程。

四、概念的運用

概念的運用即是對之前所學概念的融會貫通，不但是對知識的活學活用，更是對之后新知識的學習打下基礎。而這一過程需要通過長期的學習和實踐來幫助學生完善起來，概念的運用包括了掌握概念中的符號和語言、將概念由具體到抽象的過程、掌握概念中的特殊情況，通過學習將概念與定義、圖形、符號等一一聯系起來，并在思維中形成綜合嚴密的構建過程。教師在教學活動中應該特別強調概念之間的關系，引導學生通過運用概念而加深對所學新概念的理解和掌握，從而進一步加深理解所學的數學概念，同時形成數學思維以及分析和解決實際問題的能力。

那么，在雙曲線的定義與標準方程中概念的合理運用，筆者是這樣處理的：

教師：例1.寫出以下雙曲線的焦點坐標

（1）■-■=1 ?（2）■-■=1

學生：F=（±3，0） ? ? F=（0，±3）

教師：例2.已知雙曲線的焦點在x軸上，且焦距為14，雙曲線上一點到兩個焦點的距離之差的絕對值等于8，請寫出雙曲線的標準方程。

學生：解 由已知得2c=14，2a=8

即 ? ? c=7，a=4

所以 b2=c2-a2=33

由于雙曲線的焦點在x軸上，因此雙曲線的標準方程為

■-■=1

教師：例3.如果方程■-■=1表示雙曲線，求m的取值范圍

學生：解：（3-m）（m+1）>0

（m-3）（m+1）<0

-1

M的取值范圍為（-1，3）

教師：例4.一炮彈在某處爆炸，在A處聽到爆炸聲的時間比在B處晚2秒。

（1）爆炸點應該在什么樣的曲線上？

（2）已知兩地相距800米，并且此時聲速為340米，求曲線的方程

學生：解：依據題意可求出雙曲線的方程

其中x>0

■-■=1

以上就是筆者在數學概念教學中對數學概念四步曲的把握，筆者認為只有合理地貫徹了這四步曲，才能更有效、透徹地讓學生理解數學概念，才能使學生對抽象復雜的數學概念融會貫通。這些是個人在教學中的體會，希望在此拋磚引玉，與同行們一同切磋，共同提高數學教學的能力。

參考文獻：

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編輯 武生智