利用“數形結合”思想化繁為簡解決問題

屠艷紅 蔡麗娟 陳莉 李姝芮

教學內容：人教版小學數學三年級上冊第七單元。

一、讀懂教材

“解決問題之拼組圖形周長最短問題”是人教版小學數學三年級上冊第七單元第三節(jié)的內容。本單元內容：第一部分是四邊形的特征、長方形和正方形的名稱、長方形和正方形邊和角的特點;第二部分是周長，主要教學周長的含義及長方形和正方形周長的計算;第三部分是教學運用四邊形及周長的知識解決生活中的簡單實際問題。

本單元教材的編排具有以下三個特點：（1）注重讓學生通過自主探索，掌握新知;（2）注重體現知識的形成過程，滲透數學思想方法;（3）關注所學知識的及時運用，培養(yǎng)學生解決問題的能力。這三個特點在本單元的例1～例5或者說是在小學數學教學圖形與幾何的內容中體現得淋漓盡致。根據學生的年齡特點和認知特點，教學方法采用探究性學習的模式進行教學。

二、讀懂學生

“解決問題之拼組圖形周長最短問題”是學生學習了長、正方形的特征和周長的計算之后，為了幫助學生鞏固長方形、正方形的特征及周長的計算方法，進一步發(fā)展數學思考，提高解決問題的能力而編排的教學內容。兒童的智慧往往產生在指尖上，“圖形與幾何”這一領域知識的學習要讓學生通過有效操作來進行。在一年級時學生已經直觀認識了長方形、正方形、平行四邊形、三角形和圓等平面圖形，本單元是讓學生在主動探究中認識圖形的特征，逐步概括出長方形、正方形周長的計算公式。再通過大量的操作活動，如量一量、折一折、拼一拼、畫一畫、比一比等，使學生能夠通過觀察、操作、有條理的思考和推理、交流，經歷從現實空間中抽象出幾何圖形的過程，探索圖形性質及其變化規(guī)律的過程，從而在解決問題的過程中積累數學實踐經驗和思維經驗，獲得鮮明、生動和形象的認識，進而形成表象，發(fā)展空間觀念。空間觀念是在活動的過程中逐步建立起來的，學生對一些知識的理解往往不是一次完成的，需要有逐步深化、提高的過程。而通過解決問題，使學生能體會知識的廣泛應用，積累解決問題的經驗，發(fā)展創(chuàng)新意識，提高實踐能力。

三、例題解讀及設計意圖

在解讀例題時，教研團隊認為教材提供的案例出現得較突兀，單一的教學情境不利于學生經歷完整的規(guī)律的探究過程，從而會出現對規(guī)律的概括和描述出現片面性的現象。而學生的認知過程也缺乏一個逐步拓展、螺旋上升的過程。因此問題情境及設計意圖如下：

探究之前，要明確要求。首先呈現一個班級繪畫園地的布展，既與學生生活場景相結合，又能通過對場景布置的描述，解決學生對問題的閱讀與理解上的困難;此環(huán)節(jié)的設計主要功能是讓學生知道要解決的問題是什么，信息是什么，特別是需要讓學生明確不能隨意拼，拼出的結果必須是長方形或者正方形。這是學生探究活動的起點，也是本節(jié)課教學的難點之一。

探究之中，要指導方法。此環(huán)節(jié)創(chuàng)設一個探究活動的情境——分3次用不同數量的正方形進行不同層次、由淺入深、由特殊到一般的探究活動，在探究活動中，使學生對規(guī)律的認知，經歷了從模糊感知上升到準確描述的過程，為學生提供了數學思考的機會和空間;此環(huán)節(jié)設計的意圖是通過四個步驟，層層深入，學生的學習經歷了一個老師引領—自主探究—自主歸納—完整認知，通過教師的由扶到放的過程，教會學生探究活動的一般方法，培養(yǎng)空間觀念。這是本節(jié)課的教學重點之一。總結規(guī)律時，學生能用自己的語言來從數和形兩個角度來表達這個規(guī)律就可以了。另外，對本節(jié)課學習中用到的（如動手操作、表格記錄、規(guī)律的概括與整理等）方法進行回顧，滲透探究性學習的一般方法和步驟。這也是本節(jié)課的教學難點，也是教學重點之一。

探究之后，要實踐運用。最后環(huán)節(jié)，學生通過運用所發(fā)現的規(guī)律解決不同形式的問題，通過從兩個不同的角度解決問題，檢驗學生對所探究的規(guī)律的理解和運用，以及對規(guī)律的描述的能力。實踐運用是檢驗學生規(guī)律認知的途徑，此環(huán)節(jié)從數和形兩方面檢驗學生對規(guī)律的理解和運用情況，特別通過對判斷理由的說明，來達到培養(yǎng)學生運用數學語言表達思維的能力。

第一次教學實錄：

教學目標：

1.知識目標。（1）通過操作尋找當長方形面積相等時，長與寬的數據變化與周長的關系。（2）學會解決四邊形中有關拼圖問題，學會拼周長最短圖形的策略，并解決實際問題。

2.技能目標。（1）培養(yǎng)學生動手操作的能力。（2）培養(yǎng)學生觀察數據、歸納數據、概括規(guī)律的能力。（3）培養(yǎng)學生運用規(guī)律解決生活中問題的能力。

教學重難點：動手操作并觀察、歸納概括面積相等的長方形，長與寬數據變化與周長的關系，從而解決周長最短圖形的問題。

教學實錄：

第一板塊：情境引入，理解拼法

要把18幅邊長為2分米的正方形的繪畫作品緊密張貼在一起做成“繪畫園地”，最后在“繪畫園地”的四周貼上花邊。怎樣設計，才能使貼的花邊最少？

解決這個問題用到我們學過的什么知識呢？（周長）

要讓“繪畫園地”花邊最短，實際就是讓什么最短？（周長最短）

今天我們就來解決關于圖形周長的相關問題。（板書課題：解決問題）

第二板塊：自主拼組，尋求規(guī)律

1.教學教材第86頁例5。

（生讀題）你知道了什么？要解決什么問題？你有什么想法嗎？

請從信封中拿出16個小正方形試著拼一拼，并把新圖形的相關信息記錄在作業(yè)單上。在拼組的過程中，請有序思考。

若擺一行，怎么擺？一行擺幾個？（16個）所擺成的新圖形長是多少？（16）寬呢？（1）

請你們仿照拼一行的方式拼一拼兩行并填寫相關信息。

對比三個作業(yè)單，你們更喜歡哪個？為什么？

師出示PPT顯示拼接的三種情況：

觀察三個圖形哪個周長最短？（第三個）從上到下，圖形的形狀怎么變化？（越來越像正方形）

從上到下，圖形的長和寬有什么樣的變化？（長和寬越來越接近）

我們尋找出圖形周長最短的問題是通過怎樣的順序探究出來的呢？

師總結：首先我們拿出16個正方形，動手操作并記錄數據（板書：操作與記錄），接著我們對數據進行觀察，并且思考數據的變化規(guī)律（板書：觀察與思考），最后對我們所觀察出的規(guī)律進行歸納與概括。（板書：歸納與概括）

師總結：今天我們不僅找出了規(guī)律，還學會了在解決問題時應該如何有序思考，逐步尋找圖形規(guī)律的方法。

第三板塊：運用規(guī)律，鞏固提升

1.下面的圖形中，周長最長的是（ ）

2.解決“繪畫園地”問題。

要解決什么問題？和剛剛的問題比較，什么相同，什么不同？

第四板塊：課后小結

師：這節(jié)課你學會了什么？

問題研討：

規(guī)律是客觀事物、現象固有的特征。尋找規(guī)律是認識客觀世界的手段和途徑。本節(jié)課設計重在找到一些特殊圖形為例子，利用不完全歸納法來找到規(guī)律。

本課第一環(huán)節(jié)從18個小正方形拼接作為切入點，呈現本節(jié)課研究的內容是周長最短的問題，因學生本學期對于拼組圖形還比較陌生，且第一次接觸本單元長方形、正方形及周長知識，所以設計一個生活場景的引入，明確生活中的花邊就是拼組圖形的周長。讓學生從生活問題中感知數學問題，并初步感知用正方形拼組新圖形的過程。第二環(huán)節(jié)利用16個小正方形來突破拼成正方形時周長最短的問題，動手操作并計算后，利用數據進一步感知規(guī)律進行歸納。第三環(huán)節(jié)通過練習來鞏固規(guī)律的運用。

課后，我們進行了深度研討。從第一環(huán)節(jié)來看，18個小正方形出示后，對18這個較大數據沒有敏感性，所以此環(huán)節(jié)我團隊考慮修改為孩子容易操作的數據來進行。第二環(huán)節(jié)，采用16個圖形進行拼組，數據本身沒問題，但是因為拼法有三種，特別第二種長為2、寬為8的一組，孩子思考起來比較困難，加之計算數據較大，時間較長，考慮到不論是動手操作還是思維引導，都應該做到由易到難，所以決定從簡單的數量來入手，教會孩子如何拼擺、如何記錄、如何計算，再擴大數據、深入探究，最后得出結論。對規(guī)律有了初步認識后，如何進一步深入理解呢？這就要求練習環(huán)節(jié)的設計應該層層遞進，由易到難，提高學生的思維層次。

基于這些問題，我們修改后，進行了第二次試講。

第二次教學實錄：

第一板塊：情境引入，明白拼法

（PPT出示題目，課件演示其中一種拼的方式，并呈現多種情況最后圍上花邊）

解決這個問題用到我們學習過的什么知識呢？（周長）

要讓花邊最短，實際上就是讓……（周長最短）

以上3種拼法，你們認為哪種新圖形周長最短呢？

（板書課題：解決問題）

第二板塊：明確如何拼、如何記錄

1.4個邊長為1分米的正方形拼組周長最短圖形。

讀題后你知道了什么？要解決什么問題？

（拿出四個相同大小的正方形）這里有4個正方形，你們有想法了嗎？（生上臺拼）

先看第一種拼法，拼了幾行？（2行）每行幾個？（2）長是多少？（2）長和寬相等，都是多少？（2）

能根據這個方法把第二種情況記錄在作業(yè)單上嗎？

這兩種拼法哪種周長短？（第一種）

第三板塊：自主拼組，尋求規(guī)律

1.9個正方形拼組周長最短圖形。

師：請你仿照4個正方形的拼組方法，用9個正方形拼一拼，并且把拼組的情況記錄在作業(yè)單上。

（選取兩個同學作業(yè)單進行對比）你們和誰的答案一樣？（都不同）

他們哪里有問題？應該怎么填？

用9個正方形進行拼組，你們發(fā)現拼成什么圖形周長短？（正方形）

對比兩次探究活動，發(fā)現了什么？（當拼成正方形的時候，周長最短）

2.16個正方形拼長方形與正方形，猜想并驗證周長最短圖形。

通過兩次探究活動，猜想拼成什么圖形時周長最短？（正方形）

4人小組分工動手拼一拼或畫一畫，驗證你的猜想。

和你們的猜想相同嗎？（相同）

（選取4名同學的進行對比）請從上到下觀察，所拼成的圖形是怎樣變化的？（越來越像正方形）

對比每一組的長和寬，長和寬怎樣變化的時候，周長越短？（長和寬相差越小的時候，周長越短）

用完整的語言說一說我們的發(fā)現？（用16個正方形拼組圖形時，所拼圖形長和寬相差越小時，周長越短）

第四板塊：基于知識，運用規(guī)律

1.下面的圖形中，周長最長的是（? ）

你能快速判斷拼成什么圖形周長最短？為什么？（最接近正方形）

2.解決“繪畫園地”問題。

要解決什么問題？和剛剛的問題有相同和不同的地方？（不一定非要拼長方形或正方形，只要求找出周長最短的圖形即可）

猜想一下，拼成什么形狀（拼幾行，每行幾個）可以使周長最短？

第五板塊：課后小結

師：這節(jié)課你學會了什么？

師總結：那就把你們知道的知識運用到生活中吧。

問題研討：

經過第一次試教我們進行了以上修改。

存在的問題：本節(jié)課所要得到的規(guī)律是形狀越接近正方形周長最短，長和寬越接近周長越短，那么出現一個問題：拼不成正方形時應該怎么辦？但實際生活中拼不成正方形的情況最多，我們設計的幾個數據并沒有囊括所有的情況，那么必須設計一個拼不成正方形的數據來研究，看規(guī)律是否需要補充和修改，基于此，進行第三次修改。

第三次教學實錄：

第一板塊：創(chuàng)設情境，引出研究內容

老師要布置教室，做一塊“繪畫園地”，是由16幅邊長為2分米的正方形圖畫緊密張貼而成，像這樣所拼成的新圖形必須是長方形或者正方形，最后，在繪畫園地周圍圍上一圈花邊，為了能夠節(jié)省花邊材料，同學們設計了幾種方案，有的同學這樣拼，有的這樣拼。（課件出示3種情況）

猜一猜，哪種拼法所用花邊最少？

求新圖的花邊長是求新圖形的什么？（周長）求花邊最短其實就是求什么？（周長最短）

到底哪一種拼法的周長最短呢？我們一起來探究真相吧！（板書）

設計意圖：從圖入手，利用“圍花邊”的生活情境幫助學生理解要解決的問題就是求組合圖形的周長，要讓材料最節(jié)省就是要讓周長最短，激發(fā)探究欲望。課件演示用動態(tài)線條圍出圖形周長幫助學生理解組合圖形周長的含義，初步知道用正方形拼組新圖形的方法，找準教學的起點。

第二板塊：動手操作，深入探討

1.探究4個形狀相同、大小相等的小正方形。

用4張邊長是1分米的正方形紙拼長方形和正方形。怎樣拼，才能使拼成的圖形周長最短？

你知道了什么？要解決什么問題？（4個正方形，邊長1分米，要拼成的圖形是長方形或者正方形）

對呀，注意數量要相同，大小要相等。（課件）

我?guī)砹?個小正方形（板貼），你想怎樣拼？

為了方便快捷記錄思維過程，用簡筆畫的形式來記錄拼法。（板書圖）新圖形的長是多少？寬是多少？（長是2寬是2，它是一個正方形）

板書記錄，這種拼法的周長怎么計算？（邊長乘以4，是8分米）

板書記錄，還有其他拼法嗎？

請你也按照老師的方法在記錄單上畫一畫、填一填第二種拼法（生填寫）。

誰來匯報一下你的填法？〔長是4分米，寬是2分米，周長是（4+2）×2=12分米〕板書記錄。

還有其他拼法嗎？

有什么想對這位同學說呢？（這種拼法和上一種拼法一樣，只是位置改變了）

你真會觀察，還有其他拼法嗎？

（有同學表示有異議，題目要求是要拼成長方形或正方形，這個不符合要求）

真是一個認真審題的孩子，還有其他拼法嗎？（沒人舉手）哪種拼法周長最短？（拼成正方形時周長最短）

2.探究9個形狀相同、大小相等的小正方形。

用9張邊長是1分米的正方形紙拼長方形和正方形。怎樣拼，才能使拼成的圖形周長最短？

認真讀題，你想提醒大家注意什么？（是9個邊長為1分米的正方形，拼成長方形和正方形，要使周長最短）

請用學習4個小正方形拼組的方法，利用學具袋里的小正方形拼一拼，并記錄和計算，解決9個正方形的拼組。

生實踐操作完成記錄和計算，請兩位同學上黑板記錄。

請上臺的同學說說你的想法？

生1：9個小正方形拼成1行，長是9分米，寬是1分米，周長是20分米。

生2：9個小正方形拼成一個正方形，長是3分米，寬是3分米，周長是12分米。

經過之前的研究，哪一種拼法周長最短？（拼成正方形時周長最短）

設計意圖：學生通過模仿4個正方形拼組圖形的過程進行9個正方形的拼組，并用填一填、畫一畫、比一比的形式記錄拼組結果。在操作、觀察、思考、推理中積累初步經驗，兩次探究活動初步感知當用數量相等、大小相同的正方形進行拼組時，拼得正方形時，圖形周長最短，體現了化繁為簡、數形結合的思想。

3.對比、歸納。

經過兩次探究，你發(fā)現了什么？試著說一說，并填一填作業(yè)單。

誰來說說你的發(fā)現？（都是拼成正方形時周長最短）

總結：數量相同、大小相等的正方形拼組圖形，所拼成的圖形為正方形時，周長最短。通過剛才的研究，你能判斷16個數量相同、大小相等的正方形拼組圖形，哪種拼法周長最短嗎？（第三種）（課件回開課）

為什么？（數量相同、大小相等的正方形拼組圖形時拼成正方形周長最短）

請大家把剛才張同學說的說給你的同桌聽一聽。

設計意圖：通過動手拼組4個、9個正方形從不完全歸納達到完全歸納，從給出的特殊數據中找尋出圖形周長的規(guī)律。接著回到16個正方形的拼組來快速檢驗孩子的掌握情況，解決開課時的圍花邊問題，教師由扶到放，學生形成了初步的模糊感知拼成正方形周長最短，認為這就是真相了。

4.對12個正方形拼組的研究。

通過研究，我們有圖還有真相，但是這個真相真的就是真的嗎？（部分學生不確定地回答）

既然不確定，看來我們只有再接著研究了。

問題：用12張邊長是1分米的正方形紙拼長方形和正方形。怎樣拼，才能使拼成的圖形周長最短？

你想提醒你的同桌注意什么？

如果已經能完全掌握的同學可以直接畫一畫并計算，覺得還需擺一擺的同學請先擺一擺再計算，可以和小伙伴一起完成，也可以獨立完成，開始吧！

師巡視并指導，做得又快又好的同學請上黑板記錄。

（師在巡視過程中發(fā)現有孩子不停地問，老師拼不成正方形）

你們在探究的過程中，有沒有特別想說的？（12個拼不成正方形）

那我們一起來研究研究，黑板上三種拼法，你們都找到了嗎？

三種拼法中，哪種拼法周長最短？（第三種）（板書）

第三種周長最短，可它不是正方形，它和正方形還有聯系嗎？（它長得像正方形）

真會觀察，它真的像正方形，能換一種說法嗎？它怎么正方形？請用數學語言表達。（近似、相近、接近）

觀察圖形，拼不成正方形時，拼成的圖形接近正方形時，周長最短。（板書）

觀察數據（12個的三種情況的數據），在長、寬不停地變化的時候，周長也在變化，你發(fā)現什么？（一個不斷增加一個不斷減少，兩個的距離越來越短了）

“距離短”，說得好，怎么個短法，誰能說說？（12和1，相差11，6和2相差4，4和3相差1）

也就是說長和寬的長度越來越怎么了？（接近）

觀察數據，發(fā)現拼成圖形的長與寬的數據最接近時周長最短。（板書）

把我們發(fā)現的真相和你的同桌說一說。

設計意圖：第三次拼擺12個正方形，得出只能拼成長方形，理解了一些數據只能拼成長方形，由特殊到一般得出正確結論。拼12個得出新的結論，巧妙突破了難點也讓孩子真正體會我們研究數學一定要考慮到所有情況，不能以偏概全。學生3次用不同數量的正方形進行不同層次、由淺入深、由特殊到一般的探究活動，經歷了從模糊感知上升到準確描述的過程，為學生提供了數學思考的空間。

第三板塊：基于知識，運用規(guī)律

1.下面的圖形中，周長最長的是（? ）

2.解決教材上18個的問題。

設計意圖：兩組練習由看圖形判斷抽象到看數據直接判斷，層次清晰，提升了難度，檢驗了學生描述規(guī)律的能力、以數解形、運用規(guī)律解決問題的能力，說明理由進一步培養(yǎng)了用規(guī)范的數學語言表達思維過程的能力。

第四板塊：課后小結

師：這節(jié)課你學會了什么？

我知道了當拼成正方形時周長最短。我知道了當圖形大小相等時，所拼圖形越接近正方形時，周長越短。我知道了當圖形大小相等時，所拼圖形長和寬越接近時，周長越短。

總結：今天我們從拼組圖形得到數據的規(guī)律，又從數據的規(guī)律中找出什么情況下圖形周長最短，在數學中，還有很多很多數形結合來解決的問題期待我們去探討。

設計意圖：對探究過程的回顧讓學生體會畫圖、表格記錄、對比、歸納都是解決問題的方法。對規(guī)律的描述檢驗了學生對重點的理解、闡述，初步感知數形結合的作用。

問題探討：

基于上一次的試教，明確了教學思路：

第一環(huán)節(jié)改為16個小正方形作為引入，這個數比較熟悉，孩子借助直覺和經驗可以快速找到正方形的拼組，更快地理解本課的目標和問題，為之后埋下伏筆。第二環(huán)節(jié)采用4個—9個—回到16個—引出12個—得出結論，思路嚴密經得起推敲，4個的拼組教會孩子學習方法，9個形的拼組利用4個的學習方法進一步感知和體驗規(guī)律，回到16個，在確定了拼成正方形時周長最短的情況下加深印象，所以問真的是真相了嗎？孩子們蒙了，在想老師這么問是什么意思？難道還有其他真相？當12個小正方形出現的時候，激起了孩子一定要去探究清楚的欲望，操作時，孩子犯難了悄悄說“老師，拼不成正方形”，我就樂了，課堂不正需要這樣的問題嗎？當所有拼組情況全部呈現在黑板上時，“它和正方形還有點關系嗎？”，孩子給了“接近正方形”的結論，在觀察數據的變化時又出現了“他們的距離短”這樣的回答，就解決了本課的重難點。

對于練習較上一次沒有改變，板書則由孩子們自己填表完成，在練習卡的設計上，又減少了拼次、行數、每行幾個，記錄越清晰，結論就越容易浮出水面。