化繁為簡 積累體驗 找準數學知識間的聯系

范秀明

數學廣角是人教版小學數學教材中新增設的單元，目的是向學生滲透一些數學思想方法，進一步用這些方法解決數學和生活中的問題。很多教師喜歡這部分具有挑戰性的教學內容。在一次研討活動中，王老師進行了“雞兔同籠”的教學嘗試。“雞兔同籠”是人教版四年級下數學廣角的內容，這一課的知識目標是讓學生了解“雞兔同籠”問題的結構特點，滲透化繁為簡的思想，掌握用列表法、假設法解決問題，初步形成解決此類問題的一般性策略。下面是王老師本課重點內容的教學過程：

一、情境導入

師：同學們，今天我們在這里上一節數學課。我們共同研究一道古代數學趣題好嗎？這道趣題來自于大約一千五百多年前，我國古代數學名著《孫子算經》中的“雞兔同籠”問題。 （板書課題：雞兔同籠。）

出示主題圖：今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？

師：這道題是以文言文的方式表述的，雉就是野雞，題目是說籠子里有若干只雞和兔。從上面數，有35個頭，從下面數，有94只腳。雞和兔各有幾只？

二、探究新知

1.初步嘗試。

師：從題中你知道了什么？要求什么？

同學們想一想，猜一猜雞和兔各有多少只？

2.化繁為簡。

師：數據大，不好猜，我們應該怎么辦？這樣，我們把數字改小些，先從簡單的問題入手。 （課件出示例1。）

師：從題中你們能獲取哪些信息？和生活常識聯系在一起，你還能說出哪些信息？

3.猜想驗證。

師：有了這些信息，我們先來猜猜，籠子里可能會有幾只雞？幾只兔？猜測需要抓住哪個條件？

師：是不是抓住這個條件就一定能馬上猜準確呢？

師：那就需要驗證一下我們的猜測。驗證時該怎么想？

師：好，那我們就用這張表格來輔助進行猜測和驗證。請大家來填一填，看看誰能又快又準確地找出答案來，開始。

（學生匯報。）

小結：這個方法挺好，能幫我們解決雞兔同籠的問題，我們把這種方法叫做列表法。（板書：列表法。）

4.嘗試研究。

師：老師剛才發現，同學都完成得非常快，很了不起！那么，用列表法解決“雞兔同籠”問題你覺得怎么樣呢？

師：說得非常好，那我們就來嘗試著研究一個更簡潔的方法吧。若想琢磨方法，得先琢磨什么（題目內容或已知條件）——籠子里（8）只動物，分別是（雞）和（兔），共有26 條腿，雞有2條腿，兔有4 條腿。

（1）隨口令去想象：

這樣，同學們隨著我的口令邊想象邊動作：兔站起來，舉起前腿。想：此時，籠子里上面數（）頭？下面數（）腿？題中有（）腿？腿多了少了？少多少？哪兒去了？每只兔子舉起（）腿？那籠子里有（）只兔站起來？兔是5只，雞（）只？

（學生第一遍沒有都理解，教師反復幾遍帶領學生通過想象配合動作理解。）

（2）這個方法簡潔嗎？老師說明白了嗎？誰想再說一遍？

（3）小組交流、匯報：列出數學算式。 （板書。）

5.嘗試解決。

用這個簡潔、快速的方法，嘗試解決《孫子算經》中的“雞兔同籠”問題。

學生合作探究、交流匯報，列出數學算式。（課件。）

6.數形結合，理解假設法。

師：剛才我們用假設兔子站起來的方法，解決了“雞兔同籠”問題，感覺同學們棒棒的！我們能不能換一種假設情況，再嘗試一下。

（1）假設全是雞。

（2）假設全是兔。

（3）提出假設法概念。

師：剛才我們通過幾種假設情況來解決了“雞兔同籠”問題，我們把這種方法叫做假設法。這是解決“雞兔同籠”問題的一種基本方法。（板書：假設法。）

可以看得出來在上面的設計中借鑒傳統的方法的痕跡還是很明顯的，課堂效果也并不是十分理想，學生在假設法的學習上明顯感到了迷茫和吃力。一位小學數學教育專家說過：“在小學數學教學中，一個情境要承載多個教學任務。”我想這樣做的根本目的就是最大程度地提高課堂效率。在這個案例中，教師教學表格法的時候有這樣兩種用意：一是讓學生掌握用表格法解決雞兔同籠的問題;二是通過感受表格法解決此類問題的繁瑣，從而引出一種更為簡潔的方法即假設法的內在需求，形成一個一般性策略 。可以說該案例中表格法的學習有著教者的良苦用心，確實承載多個教學任務。但是為什么課堂效果不理想呢？問題究竟出在哪里？我把這一疑問帶到了“國培計劃——網絡研修工作坊主持人第二次集中培訓”的武漢現場，在打磨示范案例的環節就這個問題與同行們進行了交流。下面是我們與來自河南省漯河市源匯區小學數學教研員邢燕老師共同打磨后的課堂紀實：

一、情境導入

師：同學們，今天我們在這里上一節數學課，共同研究一道古代數學趣題好嗎？這道趣題來自于大約一千五百多年前，我國古代數學名著《孫子算經》中的“雞兔同籠”問題。 （板書課題：雞兔同籠。）

（出示主題圖：今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？）

師：哪位同學知道這段話的意思？

（生嘗試解釋。）

師：這道題是以文言文的方式表述的，雉就是野雞，題目是說籠子里有若干只雞和兔。從上面數，有35個頭，從下面數，有94只腳。雞和兔各有幾只？

二、探究新知

1.初步嘗試。

師：從題中你們能獲取哪些信息？

師：同學們猜一猜雞和兔各有多少只？

生：我猜有15只雞，20只兔。

師：誰來幫他驗證一下？

生：15×2+20×4=110（條），和題目中給的共有94條腿這個條件不符，所以不對。

生：我猜有18只雞，17只兔。

師：同學們快來口算一下，看看對不對。

2.化繁為簡。

師：通過上面的猜測，你們有什么感覺？數據大，湊在一起比較困難，我們應該怎么辦？今天老師給大家介紹一種思想方法，我們先從簡單的數據入手（以8只動物，26條腿為例）。

師：你們現在手里有一個學習單，讓我們就用這張表格，來輔助我們的猜測。邊填邊思考，隨著雞和兔的只數的調整，腳的只數發生了怎樣的變化。

學生填表后匯報交流：

生1：雞每增加一只，兔子減少一只，腳的總數會增加兩條。

生2：我發現雞的只數減少3只，兔的只數增加3只。

師：那這時候腿的條數有什么變化？為什么？

生：這時候腿會增加6條。因為一只兔比一只雞的腿數多兩條，多一只兔子就會多兩條腿，增加3只兔子就會增加6條腿。

3.猜想驗證。

用表格探究例題1中的情況。

小結：這個方法挺好，能幫我們解決雞兔同籠的問題，我們把這種方法叫做列表法。（板書：列表法。）

4.嘗試研究。

師：每次做題，不是都會有現成的表格，而一只一只調整會很麻煩，觀察表格中的數據，你們有什么好辦法解決這個問題嗎？

學生討論匯報。

生：我根據列表法看到，當全部都是雞的時候，腿共有16條，但是題目中共有26條腿，少了10條，因為我把兔子都看成了雞，一只兔子少看了2條腿，少了10條腿，就是5只兔子少的，所以兔子5只，雞的只數就是8-5=3只。

師：你們聽懂了嗎？誰再來說說這種方法？

師：這種方法你們能夠通過算式表達嗎？

（學生自己列式計算，通過展臺展示。）

師：你們還有其他方法嗎？

（學生展示假設都是兔子的情況。）

師：剛才我們通過幾種假設情況來解決了“雞兔同籠”問題，我們把這種方法叫做假設法。這是解決“雞兔同籠”問題的一種基本方法。（板書：假設法。）

對比第一次和第二次實踐最大的改變在哪里？在第一次嘗試中，為什么學生會對假設法難以理解？事實上任何知識如果沒有“前情”上的準備，靠學生的自主探究都是很難發現和完成的。如果像第一個案例，在教師的牽引下去理解假設法，缺少一個使學生的思維到達最近發展區的支架，學生對于假設法的理解就好比是空中樓閣，他們很難從根源上理解，這個時候思維處于被動的狀態，學習也就變成了效仿，學生做不到舉一反三，更不能實現用假設法解決生活中問題的根本目的。即如果列表法的存在及研究只是讓學生感覺到這是解決雞兔同籠問題的一種方法或者僅僅是因為方法的煩瑣引出另一種方法做鋪墊的作用，那么這節課重難點內容的探索注定就是要失敗的。

通過觀察可以發現在第二次嘗試中我們做的恰恰就是溝通了列表法和假設法的聯系。經過研究我們發現這兩種方法并不是孤立的、割裂開來的，學生對假設法的理解和發現必定要建立在表格法的基礎之上，這其實是學習表格法的又一個重要的教學任務。在第二個案例中我們可以看到教師使用了兩個策略來引導學生建立兩種方法的聯系：一是通過學習表格方法時“隨著雞和兔的只數的調整，腳的只數發生了怎樣的變化”等問題作為鋪墊;二是通過關鍵性語言的引導：“每次做題，不是都會有現成的表格，而一只一只調整會很麻煩，觀察表格中的數據，你們有什么好辦法解決這個問題嗎？” 因為有前面關于隨著雞和兔的只數的調整，腳的只數變化的討論作為鋪墊，當學生再進一步觀察表格，就會發現：一只兔子比一只雞的腿數多兩條，多一只兔子就會多兩條腿，增加n只兔子就會增加2n條腿。這正是假設法解決問題的關鍵點。正是因為有了這種認識做基礎，學生再理解和掌握假設法就水到渠成了。

數學廣角的內容以前大多出現在“奧數”中，對學生的思維能力有很大挑戰，所以教材往往呈現的方式是直觀的。在教學過程中，如何從直觀到抽象，如何提煉出一般性策略，這個往往取決于教師對教材和知識的把握以及策略方法的使用。而抽象方法的過程過于直接，忽略學生的理解和體驗往往會事倍功半。所以在解決數學廣角的問題時，就要求教師設計由淺入深的活動，化繁為簡，積累體驗;找準知識、方法之間的聯系，引導學生主動探索，發現規律，領悟思想，最終達到解決數學和生活中問題的目的。

（作者單位：蘿北縣教師進修學校）

編輯/魏繼軍