時滯優(yōu)化對復(fù)雜追蹤算法精度的影響

季家威，王國杰，常 軍

（蘇州科技大學(xué) 土木工程學(xué)院，江蘇 蘇州215011）

盲源分離（BSS）是目前信號處理中熱門的新興技術(shù)之一。盲源分離是指從被測的混合信號中分離得到其獨(dú)立的組成分量（源信號）。盲源分離算法在土木健康監(jiān)測中起步較晚，靜行等基于獨(dú)立分量分析結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)[1-2]；2007年，Kerschen等對ICA理論進(jìn)行研究[3]；孫戰(zhàn)里等研究了時盲源分離算法中時滯的影響[4]；McNeill等將改進(jìn)的SOBI算法運(yùn)用到框架結(jié)構(gòu)的模態(tài)識別上[5]；W Zhou等人將Amuse算法應(yīng)用到了結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)識別[6]。國內(nèi)的一些學(xué)者也有對盲分離算法的研究，鐘洛等建立了基于PCA的ICA算法并運(yùn)用到結(jié)構(gòu)損傷識別中[7]，劉文波等利用了ICA算法進(jìn)行結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)及損傷識別[8-9]。尤傳雨等研究了復(fù)雜追蹤算法的改進(jìn)[10-11]，在這些研究中，對于模態(tài)參數(shù)的識別都是直接應(yīng)用盲源分離技術(shù)從結(jié)構(gòu)的響應(yīng)中分離得到振型矩陣和各階的模態(tài)響應(yīng)，再應(yīng)用時域或頻域的單模態(tài)識別方法從各階模態(tài)響應(yīng)中識別模態(tài)參數(shù)。

復(fù)雜追蹤（CP）[12]是近期發(fā)展起來的一種BSS技術(shù)，該方法結(jié)合了信號的統(tǒng)計(jì)特性和時序結(jié)構(gòu)，通過尋找合適的投影方向，使該方向投影信號的復(fù)雜度最小，從而實(shí)現(xiàn)對混合信號的分離。與傳統(tǒng)的盲源分離算法相比，傳統(tǒng)的盲源分離算法往往只以信號的統(tǒng)計(jì)特性作為分離依據(jù)，而忽略了信號的時序特性。CP算法最主要的目的就是對目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行不斷的尋優(yōu)，直到計(jì)算出最適合的分離矩陣。目標(biāo)函數(shù)中最關(guān)鍵的就是要計(jì)算一個或多個時間延遲的協(xié)方差矩陣。在現(xiàn)有對復(fù)雜追蹤的算法的研究中，罕有對時滯進(jìn)行的討論，只是通常情況下都默認(rèn)時滯為1，但在實(shí)際的信號中，時滯的個數(shù)往往是不確定的，時滯的選擇在一定程度上影響識別的精度和穩(wěn)健性。特別在被測數(shù)據(jù)被噪聲污染的情況下，這種影響顯得更為突出。

本文從時滯的角度出發(fā)，分析不同時滯對CP算法的影響，以及利用信號的統(tǒng)計(jì)特征，分析自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)來確定CP算法中的時滯個數(shù)，從而確定目標(biāo)函數(shù)的形式，對結(jié)構(gòu)進(jìn)行有效的分析。

1 盲源分離的理論基礎(chǔ)

1.1 盲源分離的基本模型

對于線性盲源分離，觀察矢量X（t）=[x1，x2，…xn]T被假設(shè)為未知源信號，S（t）=[s1，s2…sn]T根據(jù)下面的模型形成線性混合物

式中，源信號Sj（t）（j=1，2…n）被假設(shè)為相互獨(dú)立。由于源信號是時間信號，因此上式中t是時間指標(biāo)；A為混合矩陣，混合矩陣一般被視為方形矩陣；源信號的個數(shù)和混合信號的個數(shù)相等。若存在不相等的情況，可利用PCA多信號進(jìn)行降維，最大貢獻(xiàn)下保留信號所有信息特征。

復(fù)雜追蹤作為時盲源分離的一種，目標(biāo)是在僅知觀測信號的情況下，尋找一個解混矩陣W，使得分解得到的輸出信號Y（t）各分量的復(fù)雜度盡可能的小。分離過程可表示為

式中，Y（t）作為輸出信號，近似源信號S（t）。

1.2 基本假定

由于源信號與混合矩陣未知，只有觀測信號的信息已知，若無任何前提假設(shè)，盲源分離問題就會存在不唯一解，所以必須要有一定的假定或者約束條件：

（1）混合矩陣為列滿秩矩陣；

（2）源信號各分量相互獨(dú)立；

（3）源信號至多有一條高斯分布信號。

1.3 復(fù)雜追蹤算法

復(fù)雜追蹤是一種基于信號時間結(jié)構(gòu)的盲分離算法，下面給出其基本原理。

復(fù)雜追蹤的基本思路是對混合數(shù)據(jù)進(jìn)行白化處理，然后對目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行迭代，得到分離矩陣。

（1）為了減小計(jì)算的復(fù)雜度，白化操作可以通過以下矩陣變換實(shí)現(xiàn)

式中，V為白化矩陣。白化矩陣通過對隨機(jī)變量的協(xié)方差作特征值分解，所以白化矩陣為

（2）在對混合數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理后，就可以計(jì)算時間延遲協(xié)方差矩陣。對于一個給定的時間延遲，信號向量X（t）在不同時間點(diǎn)的協(xié)方差可以表示為

式中，E{●}為數(shù)學(xué)期望。

（3）在判斷時滯的個數(shù)時，利用信號的統(tǒng)計(jì)特征，根據(jù)自相關(guān)函數(shù)圖像和偏自相關(guān)函數(shù)圖像來進(jìn)行判定。自相關(guān)函數(shù)

式中，σx2是度量隨機(jī)過程取值對其均值的離散程度。

偏自相關(guān)函數(shù)是在給定了yi-1，yi-2…yt-τ+1的條件下，yt與滯后τ期時間序列之間的條件相關(guān)。定義如下

（4）目標(biāo)函數(shù)。假設(shè)信號是零均值和單位方差的，信號y（t）在t時刻的值由t時刻以前的值預(yù)測

其冗余項(xiàng)

為了最小化信號的復(fù)雜度，就需要確定信號的時間結(jié)構(gòu)及公式中f，繼而計(jì)算得到冗余項(xiàng)的復(fù)雜度，采用自回歸模型對信號進(jìn)行預(yù)測

式中，τ為時間延遲個數(shù)，ατ為τ階回歸系數(shù)。從目標(biāo)函數(shù)的形式可以看出，時滯的個數(shù)對結(jié)果會有一定的影響，Hyva¨rinen[12]采用的是自回歸模型的特例τ=1時的目標(biāo)函數(shù)形式，而本文則是為了驗(yàn)證時滯對結(jié)果的影響，對復(fù)雜追蹤算法進(jìn)行優(yōu)化，其主要利用信號的統(tǒng)計(jì)特性來判斷時滯個數(shù)從而確定目標(biāo)函數(shù)的最終形式。

2 結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識別

2.1 理論基礎(chǔ)

由動力學(xué)知識可知，線性振動系統(tǒng)的自由響應(yīng)為

式中，qj為模態(tài)坐標(biāo)，φi為固有振型向量，n為系統(tǒng)的模態(tài)數(shù)。

模態(tài)坐標(biāo)可表示為

式中，ωdi為有阻尼頻率，θi為相位角（對于自由響應(yīng)），ai（t）為指數(shù)衰減函數(shù)exp（-ξiωnit），ξi、ωni分別為阻尼比與固有頻率。

2.2 基本步驟

基本步驟為：（1）對觀測信號進(jìn)化進(jìn)行預(yù)處理，即白化和中心化；（2）根據(jù)信號的統(tǒng)計(jì)特征得到信號的自相關(guān)函數(shù)圖像與偏自相關(guān)函數(shù)圖像；（3）根據(jù)圖像判斷時滯個數(shù)，并確定目標(biāo)函數(shù)的形式；（4）通過目標(biāo)函數(shù)得到分離矩陣及分離信號；（5）通過分離信號得到結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)。

3 數(shù)值分析

3.1 自由響應(yīng)模型

圖1 三層框架模型

3.2 分析結(jié)果

對觀測到的自由響應(yīng)信號進(jìn)行預(yù)處理，并且得到得出信號的統(tǒng)計(jì)特征。見圖2與圖3。從圖2和圖3可以看出，自相關(guān)函數(shù)有拖尾現(xiàn)象，即自相關(guān)性在不斷地衰減，偏相關(guān)函數(shù)在2處達(dá)到最大，即相關(guān)性最大（在0處相關(guān)性為1，代表信號在t時刻與t時刻相關(guān)性為1），所以時滯個數(shù)確定為2。這樣便可以確定目標(biāo)函數(shù)。

圖2 自相關(guān)函數(shù)圖像

圖3 偏自相關(guān)函數(shù)圖像

通過復(fù)雜追蹤算法對觀測信號進(jìn)行處理，圖4為觀測信號。為了便于比較時滯對識別精度的影響，計(jì)算了時滯為1和時滯為2的分離結(jié)果，見圖5至圖8。光是從圖像上不能看出兩者差異，所以從數(shù)值上分析兩者差異，如表1與表2所列。

圖4 觀測信號

圖5 分離信號（時滯為1）

圖6 分離信號（時滯為2）

圖7 頻域圖像（時滯為1）

圖8 頻域圖像（時滯為2）

表1 三層框架固有頻率識別結(jié)構(gòu)

表2 三層框架阻尼比識別結(jié)果

采用模態(tài)置信準(zhǔn)則MAC（Modal Assurance Criterion）來度量振型識別的準(zhǔn)確性（如表3所列）。模態(tài)置信系數(shù)

表3 三層框架振型MAC識別結(jié)果

其中，φi、φi分別為振型的理論值與識別值，0≤MAC≤1，其值越大（接近1），說明識別振型的準(zhǔn)確性越高。

從表1至表3可以看出時滯不同對結(jié)構(gòu)的模態(tài)識別結(jié)構(gòu)也不相同。當(dāng)確定了正確的時滯個數(shù)后，結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)精度更高，更加接近理論值。圖9所示為理論振型與時滯為2時的對比圖。

圖9 三層框架前3階振型對比圖

4 結(jié)論

介紹了盲源分離算法的基本理論，以及利用復(fù)雜追蹤算法識別模態(tài)參數(shù)的相關(guān)過程。討論了通過何種思路來確定復(fù)雜追蹤算法中的時滯個數(shù)，最后通過對既有三層框架模型的數(shù)值分析，計(jì)算在不同時滯個數(shù)下的結(jié)構(gòu)的固有頻率和阻尼比，同時利用MAC識別結(jié)果對不同時滯個數(shù)下的分離精度進(jìn)行比較，從而得到如下結(jié)論：

（1）時滯個數(shù)對盲源分離的精度有著一定的影響；

（2）復(fù)雜追蹤算法能有效地識別結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)；

（3）適合的時滯個數(shù)得到的模態(tài)參數(shù)識別結(jié)果更接近理論值。