淺談含參函數單調性的幾種常見題型

摘 要：“含參函數的單調性討論問題”是近年來高考考查的一個常考內容，也是高考復習的重點。從這幾年來的高考試題來看，含參函數的單調性討論常常出現在研究函數的單調性、極值以及最值中，因此在高考復習中更應引起我們的重視。主要講解根據定義域隱含條件討論函數單調性。

關鍵詞：函數；導函數；單調區間

一、用導數求函數的單調區間的基本步驟

（1）確定函數f（x）的定義域；（2）求導數f'（x）；（3）若f'（x）>0，解出相應的x的范圍，則f（x）在相應的區間上是增函數，若f'（x）<0，則f（x）在相應的區間上是減函數。

備注：注意因式分解，注意對參數的分類討論。

若根含有參數，分類討論根與定義域端點的位置關系。討論的標準：（1）是否有根；（2）根是否在定義域內；（3）若定義域內有兩根，比較根的大小。

二、題型

（一）求導通分后分子為一次函數

例1：求函數f（x）=ax-1-2Inx的單調區間。

解：f（x）定義域為（0，+∞），f'（x）=a- =

當a≤0時，f'（x）<0恒成立，∴f（x）在（0，+∞）單調遞減

當a>0時，令f'（x）>0，∴x> ，∴f（x）在（ ，+∞）單調遞增

令f'（x）<0，∴x< ∴f（x）在（0， ）單調遞減

步驟小結：1.先求函數的定義域；2.求導函數（能通分要通分，化為乘除分解式，便于討論正負）； 3.先討論函數只有一種單調區間的（導函數同號的）情況；4.再討論函數有增有減的情況（導函數有正有負，以其零點分界）。

練習1：求函數f（x）=2x-1-alnx的單調區間。

（二）求導通分后分子為二次函數

例2：（二次函數能因式分解）求f（x）= x2-（a+1）x+alnx的單調區間。

解：f（x）定義域（0，+∞）

f'（x）=x-（a+1）+ = =

令f'（x）=0，∴x=1或x=a

①當a≤0時，∴令f'（x）>0，∴x>1，∴f（x）在（1，+∞）上單調遞增

令f'（x）<0，∴0

②當a=1，f'（x）= ≥0恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上單調遞增

③當00，∴01，∴f（x）在（0，a），（1，+∞）上單調遞增

令f'（x）<0，∴a

④當a>1，令f'（x）>0，∴0a，∴f（x）在（0，1），（a，+∞）上單調遞增

令f'（x）<0，∴1

練習2：求f（x）= x2-（a-1）x-alnx的單調區間。

例3：（二次函數不能因式分解）（2018年全國1卷21題第一問）已知函數f（x）=- -x+alnx，討論的單調性。

討論f（x）的單調性。

解：f（x）定義域為（0，+∞），f'（x）=- -1+ =

當a≤0時，∴令f'（x）≤0恒成立，∴f（x）在（0，+∞）單調遞減；

當a>0時，對于一元二次方程-x2+ax-1=0，Δ=a2-4

（1）當Δ≤0，0

（2）當Δ>0，即a>2時，令f'（x）=0，∴-x2+ax-1=0，∴x2-ax+1=0

∴x1= 或x2=

∴當0 時，f'（x）<0，f（x）單調遞減；

當 0，f（x）單調遞增；

練習3：求f（x）= x3+ ax2+x+1的單調區間。

通過例2、例3提煉解題步驟：（1）求函數的定義域；（2）求導函數，然后通分，分子能因式分解要因式分解；（3）求導函數的根（二次的不能因式分解的看判別式，若判別式大于零則用求根公式求出兩個根）；判斷根是否在定義域內（若根含有參數，比較參數與定義域端點處的大小關系）；（4）通過數形結合，判斷導函數正負，進而判斷原函數單調性，求出單調區間；（5）下結論。

三、教學反思

學生基本了解函數單調性的求解過程，但存在以下問題：（1）解答過程不規范，如忘記考慮定義域、區間用并集表示；（2）混淆了單調性的本質，在求單調性的過程中習慣性地分離參數而不是求x的范圍；（3）對于參數的分類討論缺乏方向，主要體現在亂分類、怕分類。

綜合學生學情分析，制訂以下針對性的學習方法：（1）提煉解題步驟，力求把步驟口訣化促進學生理解及記憶，同時根據例題解題示范，解決作答不規范、步驟不清楚、容易遺忘等困難。（2）求函數單調性問題，關鍵在于能判斷導函數值何時為正、何時為負。若導函數中含有參數，由于參數影響，則判斷導函數正負會出現困難。在做題過程中要理清楚求函數單調性的關鍵，總結歸納參數分類討論的基本方向及基本步驟。（3）學生要進行深入的思考、練習并及時比較、歸納、總結。

作者簡介：李莉，研究生，高中數學教師，研究方向：廣西師范大學數學科學學院基礎數學群論方向。

編輯 王彥清