球的問題的分類解決策略

郭新忠

高考中經常出現與球有關的考題，這類題大都有一定難度，它涉及球的表面積、體積、截面、外接、內切等問題。要想解決好球的問題，必須明確問題的類型，做到心中有數，有針對性地靈活解決問題。

一、與球相切的問題

解決球的內切問題主要是指球內切多面體與旋轉體，解答時首先要找準切點，通過作截面來解決.如果內切的是多面體，則作截面時主要抓住多面體過球心的對角面這一性質，并且切點到球心的距離等于球的半徑。

例1.如圖，已知球O是棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1的內切球，則平面ACD1截球O的截面面積為（ ）

A. π B. C. D. π

解析：選C。平面ACD1截球O的截面為△ACD1的內切圓.因為正方體的棱長為1，所以AC=CD1=AD1= ，所以內切圓的半徑r= ×tan30°= ，所以S=πr2=π× = π。

例2.已知四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，邊長為4，PA=PD= ，側面PAD⊥底面ABCD，在四棱錐內放一個球，要使球的體積最大，則球的半徑為________。

解析：四棱錐P-ABCD內放一個球，要使球的體積最大，則球為四棱錐的內切球。

如圖，分別取AD，BC的中點M，N，連接PM，PN，MN。

因為側面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD= ， 所以PM⊥AD，所以PM⊥底面ABCD.又AD=AB=4，所以MN=4，PM= =3，根據題意球O與四棱錐各面相切，平面PMN即為四棱錐與內切球的軸截面，在Rt△PMN中，PN= =5，設E，F，G為切點，球O的半徑為r，則S△PMN= ×3×4= （3+4+5）r，所以r=1，即所求。答案：1。

二、球的內接問題

把一個多面體的幾個頂點放在球面上或把一個旋轉體的頂點及底面放在球面上的問題，即為球的內接問題。解決這類問題的關鍵是抓住內接的特點，即球心到多面體的頂點的距離等于球的半徑或旋轉體的軸截面是平面圖形且為規(guī)則幾何體，該幾何體的各頂點到球心的距離必等于球的半徑。

例3.已知正四棱錐的頂點都在同一球面上，且該棱錐的高為4，底面邊長為2，則該球的表面積為________。

解析：如圖，正四棱錐P-ABCD的外接球的球心O在它的高PO1上，設球的半徑為R，因為底面邊長為2 ，所以AC=4。在Rt△AOO1中，R2=（4-R）2+22，所以R= ，所以球的表面積S=4πR2=25π。答案：25π。

例4.已知邊長為2 的菱形ABCD中，∠BAD=60°，沿對角線BD折成二面角A-BD-C的大小為120°的四面體，則四面體的外接球的表面積為________。

解析：如圖1，取BD的中點E，連接AE，CE。由已知條件可知，平面ACE⊥平面BCD。易知外接球球心在平面ACE內，如圖2，在CE上取點G，使CG=2GE，過點G作l1垂直于CE，過點E作l2垂直于AC，設l1與l2交于點O，連接OA，OC，則OA=OC，易知O即為球心。分別解△OCG，△EGO可得R=OC= ，∴外接球的表面積為28π。答案：28π。

三、球面上的點與球的關系問題

一般要過球心及多面體中的特殊點或過線作截面將空間問題轉化為平面問題，從而尋找?guī)缀误w各元素之間的關系.解決這類問題的關鍵是抓住小圓上的點到球心的距離等于半徑及公式d= （d為小圓圓心到球心的距離，R是球的半徑，r是小圓的半徑）。

例5.設點A，B，C為球O的球面上三點，O為球心。球O的表面積為100π，且△ABC是邊長為4 的正三角形，則三棱錐O-ABC的體積為（ ）。

A.12 B.12 C.24 D.36

解析：選B。∵球O的表面積為100π=4πr2，∴球O的半徑為5.如圖，取△ABC的中心H，連接OH，連接并延長AH交BC于點M，則AM= =6，AH= AM=4，∴OH= = =3，∴三棱錐O-ABC的體積為V= × ×（4 ）2×3=12 .

總之，球的問題經常遇到，主要求球的半徑、表面積、體積及球內切或外接幾何體的面積、體積、棱長和夾角問題。要想速解球的問題，必先抓住問題的實質，再數形結合進行轉化，解決問題的思路往往是將立體幾何問題轉化為平面問題，即空間圖形平面化，這也是解決立體幾何中球的問題的主要出發(fā)點。

？誗編輯 杜元元