多維磁懸浮隔振系統動力學模型與控制策略

武倩倩＊，崔寧劉碧龍岳洪浩，劉榮強

1.青島理工大學 機械與汽車工程學院，青島 2665202.哈爾濱工業大學 機電工程學院，哈爾濱 150001

航天器在軌運行時，動量輪、制冷機等設備會產生一種量級較小、頻帶較寬的微振動。這類微振動對空間科學實驗結果、高分辨率對地觀測精度、重力梯度測量精度等均有較大影響［1－4］。當前應用比較廣泛的被動隔振系統對高頻振動具有較好的隔振控制效果，但對低頻振動控制效果不佳［5－6］。磁懸浮隔振技術能利用磁場與電場產生的洛倫茲力實現空間微振動的隔離與抑制，對低至0.01Hz的微振動仍有良好的隔振效果，在空間微振動隔振領域具有廣闊的應用前景［7－9］。

磁懸浮隔振系統具有非線性、強耦合、高響應、寬頻帶等特點，并且系統的控制目標與定子和浮子之間的相對位置存在制約關系，這均增加了系統低頻隔振控制的難度。為了實現隔振控制，國內外學者采用經典控制方法和現代控制方法開展了大量的研究。Tryggvason［10－11］和 Fenn［12］等以擴大控制帶寬為目的設計了PID控制器，但未考慮以多自由度系統動力學模型為研究對象的控制響應。Zhu等［13］在此基礎上采用PID型雙積分加速度控制方法，增加了系統隔振頻帶，提高了系統的隔振性能，但其僅對單自由度隔振系統進行了控制仿真。Hu等［14］采用串級PID控制算法對一種磁懸浮作動器進行隔振控制，但也未研究由多個作動器驅動的多自由度隔振系統的控制響應。Liu等［15］分別采用經典PID控制算法和H∞控制算法對整柜級磁懸浮隔振系統進行了控制仿真，仿真結果表明兩種算法都有良好的隔振效果，但尚缺少實驗驗證。Li等［16］基于改進的FXLMS（Filtered-X Least-Mean-Square）算法對非線性磁懸浮作動器進行了自適應控制，該算法對作動器的非線性有良好的補償特性，但未涉及多自由度隔振系統的非線性控制特性。Yang等［17］考慮到參數化和動態不確定性的特點，針對微重力隔振系統g-LIMIT（Glovebox Integrated Microgravity Isolation Technology）設計了一種自適應性控制器，在高頻增益加速度環和低頻相對位置環內加入兩個神經網絡，阻止了自適應控制過程中加速度環與位置環的相互作用，但文中也僅研究了單自由度隔振系統的仿真結果。Hampton等［18］將最優前饋與后饋控制方法應用到 MIM （Microgravity vibration Isolation Mount）微振動隔振系統中，也僅在單自由度隔振模型上實現了較好的控制效果。綜上可知，當前研究大多是在簡化的單自由度模型基礎上進行的，缺少針對六自由度磁懸浮隔振系統的高精度非線性動力學建模以及基于模型的控制策略設計與控制系統仿真。

針對上述問題，本文首先以定子和浮子之間的相對位姿為變量，建立了面向控制的六自由度磁懸浮隔振系統非線性動力學模型；其次，針對系統的非線性、強耦合、寬頻帶特性，設計了雙閉環控制策略，并利用PD定點控制算法，仿真了系統在不同頻帶內的隔振性能與跟蹤性能；最后，搭建了磁懸浮隔振樣機測試系統，對建立的系統動力學模型和提出的控制策略進行驗證。

1 磁懸浮隔振平臺的工作原理

磁懸浮隔振平臺由定子、浮子、線纜和洛倫茲力作動器組成，如圖1所示。作動器包含兩組條形永磁體、矩形空心線圈以及磁軛。每個洛倫茲力作動器具有1個自由度，為了實現空間6自由度的微振動隔振，采用8個作動器均布于定子與浮子之間，通過改變作動器的位姿，使8個作動器可以解算六自由度的控制力和控制力矩。當定子受到外界擾動時，通過調節線圈電流的大小和方向使作動器產生能抵消外部擾動的洛倫茲力，從而為浮子上的有效載荷提供準靜環境。為避免浮子與定子在隔振頻帶內發生碰撞，設計時要求控制行程大于隔振頻帶內的最大振幅。為避免由于瞬態擾動產生幅值過大的情況，在浮子和定子之間設計限位機構。基于上述工作原理，設計了控制行程為±3mm的6自由度磁懸浮隔振平臺，其三維模型及尺寸參數如圖2所示。

圖1 磁懸浮隔振平臺示意圖Fig.1 Diagram of maglev vibration isolation platform

圖2 磁懸浮隔振平臺三維模型Fig.2 Three-dimentional model of maglev vibration isolation platform

2 多維磁懸浮隔振系統動力學建模

高精度的系統動力學模型是實現隔振控制的前提。為保證模型精度，以浮子和定子之間的相對位姿為變量，建立面向控制的6自由度系統動力學方程［19－22］。系統空間幾何模型如圖3所示，其中NIJK為與地面固聯的慣性坐標系，S為與定子固聯的坐標系，Fijk為與浮子固聯的坐標系。定子坐標系的坐標原點位于定子質心，浮子坐標系的坐標原點距離其質心的位置矢量為rc。假設在初始狀態下，定子坐標系與慣性坐標系重合，定子坐標系到浮子坐標系的位置矢量為RSF。根據牛頓-歐拉方程，浮子的力和力矩方程為

圖3 系統空間幾何模型Fig.3 Space geometry model for system

式中：m為浮子本體與有效載荷的總質量；J為浮子的慣量張量；Fd為直接作用于浮子上的外力；Fu為線纜產生的擾動力；Fc（c＝1，2，…，8）為主動控制力；Md為浮子上作用的外力矩；Mu為線纜產生的擾動力矩；Mc（c＝1，2，…，8）為主動控制力矩；a為浮子的絕對加速度；ω為浮子的角速度。

根據歐拉角和坐標系的轉換方式，可得慣性坐標系到浮子坐標系之間的轉換矩陣Γ為

式中：θx、θy、θz為浮子相對定子的橫滾、俯仰、偏航運動姿態。

定義空間列陣X＝ ［x y z θxθyθz］T，其中r＝［x y z］T表示浮子與定子之間的相對位移變化，為了描述浮子的絕對運動狀態，需要由定子與浮子之間的相對運動狀態加上定子的絕對運動狀態得到。由于浮子相對于定子為小角度運動，浮子的角速度量級約10－4～10－3rad／s，而浮子的加速度量級約10－5～10－3m／s2，基于小角度假設，角速度的平方項或角速度的交叉乘積項可以忽略。另外，忽略定子受到的角位移擾動，假設定子受到3自由度的線位移擾動¨R0，根據系統空間幾何模型（圖3）以及坐標變換關系，代入狀態空間列陣X，得到浮子6自由度運動微分方程為

式中：（）～表示括號中向量的反對稱矩陣。

定義8個作動器的力向量為

式中：下標中的數字表示作動器的標號，字母表示洛倫茲力的方向。

為了進行矢量疊加，定義洛倫茲力的方向矩陣為

利用坐標系之間的變換矩陣Γ，任意浮子坐標系中的向量q都可以轉換為慣性坐標系中的向量，即建模時變量均統一轉換到慣性坐標系中。

8個作動器作用于浮子的合力在慣性系中可以表示為

式中：I1＝I2＝…I8＝I3×3。

定義浮子坐標系下作動器的質心到浮子質心的位置矢量為rFcM（c＝1，2，…，8），則作動器的合力對浮子質心產生的力矩為

把浮子與定子之間的兩組主要連接線纜等效為彈簧和阻尼系統，定義線纜的剛度系數為Kui（i＝1，2），阻尼系數為Cui（i＝1，2），浮子上線纜接口的位置向量為rui（i＝1，2），定子上線纜接口的位置向量為Rui（i＝1，2），線纜的原始長度為d0i（i＝1，2），變形量為dui（i＝1，2），則

線纜產生的擾動力為

線纜產生的擾動力矩為

式中：rFui為浮子上線纜作用點到浮子質心的位置向量。

假設外部擾動力fd直接作用于浮子，并且距離質心rd，浮動平臺上外力作用點到平臺質心的位置向量為rFd，則擾動力和擾動力矩在慣性坐標系中可以寫成

把式（6）、式（7）、式（9）～式（12）代入式（3），最終得到面向控制的6自由度磁懸浮隔振系統非線性動力學模型為

定義以下參數：

式（13）可寫成通用運動微分方程的形式：

3 控制策略設計與控制仿真分析

磁懸浮隔振系統不僅要隔離來自定子的擾動，還要滿足浮子與定子之間的位置約束。因此，對磁懸浮隔振系統實施控制時需考慮兩個方面：① 使傳遞到浮子的振動最小；② 使浮子與定子之間的相對位姿保持不變。為實現上述控制要求，設計了包含相對運動狀態環和絕對運動狀態環的雙閉環控制策略，其中相對運動狀態控制器的設計原則是在低于隔振頻帶內實現浮子的運動跟蹤，而絕對運動狀態控制器的設計原則是在隔振頻帶內對擾動進行抑制。磁懸浮隔振系統雙閉環控制策略框圖如圖4所示。

圖4 雙閉環控制策略框圖Fig.4 Block diagram of double-closed-loop control strategy

以0.01～100Hz頻帶內的振動為研究對象，為了實現0.01～100Hz頻帶內的隔振控制，設置浮子的絕對速度、絕對加速度目標為0，設置絕對位移目標為與系統初始參數有關的常量。當振動頻率低于0.01Hz時，設置定子與浮子的相對速度、相對加速度目標為0，設置相對位移目標為與系統初始參數有關的常量，實現跟蹤控制。在建立的6自由度系統動力學模型的基礎上，采用PD定點控制方法，在 MATLAB／Simulink環境下，開發6自由度磁懸浮隔振系統控制仿真程序，獲得系統在不同頻帶內的隔振效果與跟蹤效果。

3.1 PD定點控制器設計

取ea＝X0Λ－XΛ（上標Λ表示在絕對坐標系下的變量）為隔振前后的絕對位移誤差，速度誤差和加速度誤差分別是為常量。

為了便于分析，把擾動寫為6×1的矩陣形式，則位移擾動為R0＝ ［R003×1］T，速度擾動為 R0＝ ［R003×1］T，加 速 度 擾 動 為 ¨R0＝［¨R003×1］T。根據絕對變量與相對變量之間的關系得到

把式（15）代入式（14）可得

式中：KxXΛ0是一個常量，可以通過調節控制參數補償該常量，因此式（17）可以寫成

其中：Fx包括主動控制力Fa和外部擾動力Fd。

定義控制規律為

式中：Kp1和Kd1分別為比例控制系數和微分控制系數。

則式（16）可以簡化為

取Lyapunov函數為

由Mx和Kp1的正定性可知，V全局正定，則

由式（20）和式（22）可得

隔振控制需要滿足阻尼比大于1，則Cx＋Kd1正定，此時有V≤0，即系統可達到穩定。當V≡0時，有ea≡0，從而¨ea≡0，ea≡0，所以控制也是收斂的。

為了實現低頻運動跟蹤，取ep＝X0－X為隔振前后的相對位移誤差，則速度誤差和加速度誤差 分別為ep＝ X0－X，¨ep＝ ¨X0－¨X，其 中 ¨X0＝［00 … 0］T，則運動微分方程可以轉換為

定義控制規律為

式中：Kp2和Kd2分別為比例控制系數和微分控制系數。控制系統的穩定性和收斂性證明同上。

3.2 控制仿真分析

根據圖2所示的磁懸浮隔振平臺三維模型，獲得仿真所需的系統參數如表1所示。此外，浮子的轉動慣量張量為

表1 磁懸浮隔振平臺系統參數Table 1 System parameters of maglev vibration isolation platform

對磁懸浮隔振系統中的連接線纜進行參數辨識，線纜的剛度矩陣和阻尼矩陣可近似等效為［13］

為了簡化運算過程，假設定子受到的擾動為正弦擾動，忽略直接作用在浮子上的外力。給定子施加沿水平軸x方向，幅值分別為2mm、2mm、2μm，頻率分別為0.005、0.01、100Hz的正弦擾動，得到了系統的6自由度控制仿真結果。下面以系統沿著x方向和繞著x方向的隔振控制仿真結果（圖5、圖6）和跟蹤控制仿真結果（圖7）為例進行說明。

由圖5和圖6可知，當頻率分別為0.01Hz和100Hz時，浮子的絕對位移、速度、加速度以及絕對角度、角速度、角加速度均在短時間迅速收斂至0，表明系統具有良好的隔振控制效果。由圖7可以看出，當頻率為0.005Hz時，浮子與定子之間的相對位移、速度、加速度以及相對角度、角速度、角加速度也迅速收斂至0，表明系統具有良好的跟蹤控制效果。

圖5 0.01Hz時有／無控制隔振性能對比Fig.5 Comparison of vibration isolation performance with and without control at 0.01Hz

圖7 0.005Hz時有／無控制跟蹤性能對比Fig.7 Comparison of tracking performance with and without control at 0.005Hz

由上述仿真結果可知，設計的控制策略是有效的。通過仿真結果驗證了系統在低頻帶到高頻帶內的隔振功能，以及系統在極低頻帶內的跟蹤功能，滿足磁懸浮隔振系統的設計要求。

4 磁懸浮隔振系統樣機隔振功能試驗

研制磁懸浮隔振系統原理樣機，搭建如圖8所示的試驗系統。為獲取樣機定子受到的擾動參數以及浮子受到的外部作用力，在定子和浮子上分別安裝3個三維加速度傳感器，在定子和浮子之間安裝4個二維相對位置傳感器。其中，加速度傳感器選用Silicon Design的Model2422，相對位置傳感器選用DL400-7-PCBA。驅動器選用Trust Automation的TA115。數據采集、處理及控制軟件在 WinCE系統下利用EVC4.0編寫，通過數據采集卡提供C接口控制A／D卡（阿爾泰科技的 ART2153）和D／A卡（阿爾泰科技的ART2003），實現傳感器數據的采集和控制信號的輸出，并在處理器ARM8019中進行濾波處理。設置振動臺產生沿水平方向的正弦振動，將磁懸浮隔振系統樣機的定子固定在振動臺上，分別提取定子和浮子的加速度信息和相對位移信息。振動的加速度頻譜分析結果如圖9所示（圖中g為重力加速度）。由圖9可知，該正弦振動頻率主要包含5.4、16.22、26.93、37.74、48.55和59.36Hz等多個主頻成分以及多個干擾頻帶。根據提出的雙閉環控制策略，采用PD定點控制算法，分別從時域和頻域對比控制前后浮子的加速度水平，驗證系統的隔振功能。

控制后浮子上沿著振動方向的加速度與擾動加速度對比如圖10所示。取相同時間段內擾動加速度峰-峰值（147.82×10－3g）與隔振控制后穩態響 應峰-峰值（9.53×10－3g）進行對比，結果表明系統在振動方向上的隔振百分比可達93.5%，驗證了系統的隔振功能。

圖8 樣機隔振功能測試Fig.8 Vibration isolation performance test of prototype

隔振控制后浮子的加速度與擾動加速度頻譜分析結果如圖11所示，在0～70Hz頻帶范圍內，不同頻率的擾動都得到了有效抑制。

圖9 振動的加速度頻譜Fig.9 Acceleration spectrum of vibration

圖10 沿著振動方向的加速度測試結果Fig.10 Test results of acceleration along vibration direction

圖11 控制前后頻域結果對比Fig.11 Comparison of frequency domain results before and after control

把測試得到的擾動加速度作為輸入添加到仿真程序中，在相同控制參數的作用下，獲得基于系統動力學模型的控制仿真結果，并與實際測試結果對比，如圖12所示。結果表明，基于仿真模型獲得的加速度控制響應與實際模型的響應趨勢一致，驗證了系統動力學模型的正確性。

圖12 模型仿真結果與測試結果對比Fig.12 Comparison of simulation results and test results of model

5 結 論

1）為提高控制精度，獲得高保真的控制響應，基于牛頓-歐拉方程，建立了面向控制的6自由度磁懸浮隔振系統非線性動力學模型。

2）針對低中頻帶內的隔振控制目標和極低頻帶內的跟蹤控制目標，設計了包含相對運動狀態環和絕對運動狀態環的雙閉環控制策略。

3）在MATLAB／Simulink環境中開發了控制系統仿真程序，采用PD定點控制算法，通過隔振控制仿真和跟蹤控制仿真，表明系統在隔振頻帶內具有良好的隔振效果，在極低頻帶內具有良好的跟蹤效果，驗證了控制策略的有效性。

4）研制了磁懸浮隔振系統樣機，搭建了樣機試驗系統，通過試驗測試，系統沿振動方向的隔振百分比可達93.5%；頻域響應結果表明系統能有效抑制0～70Hz頻帶內的擾動。通過對比測試結果與仿真結果，驗證了系統動力學模型的正確性。

在未來的研究中，擬建立多自由度振動激勵系統，驗證磁懸浮隔振系統在多自由度擾動耦合作用下的隔振性能。