借用三角換元妙解競賽試題

方志平

三角換元是一種用三角函數代替問題中的字母，然后利用三角函數之間的關系而達到解題目的一種代換方法.合理的三角換元，不僅能化繁為簡，化難為易，而且能啟迪學生思維，拓寬視野，激發學生學習熱情.本文精選部分高中數學競賽試題為例，供讀者參考.

1 妙解有關整式問題

例1 （2017年全國高中數學聯賽河南省預賽試題）實數x，y滿足4x2—5xy+4y2=5，若S=X2+y2，___________.

評注 條件X2+y2=S讓我們聯想到圓的參數方程，利用三角換元，反解出S，結合正弦函數的有界性，求得p，q.其思想方法可謂匠心獨運，令人贊嘆！

例2 （2016年全國高中數學聯賽河南省預賽試題）若實數x，y滿足X2-2xy+5y2=4，則X2+y2的取值范圍是_________.

解 由X2-2xy+5y2=4，

評注 由本題條件X2—2xy+5y2=4，容易想到等式左邊配方（x-y）2+（2y）2=4，該式啟發我們類比圓的參數方程，借用三角換元，將代數問題轉化為三角問題，再用三角運算問題迎刃而解.特別要注意，例l與例2因題目條件中結構式不同，而采用的處理方法有別.

2 妙解有關根式問題

例3 （2013年全國高中數學聯賽遼寧省預賽試題）已知實數x，y滿足17（X2+y2）-30xy-16=o，則

評注 根據題設條件，經過恰當配方出現平方和為常數的關系式，于是想到三角換元.特別要注意的是4x-2y巧妙變形為3（x-y）+（x+y），為整體代入換元創造了有利條件.其構思巧妙，方法新穎，獨辟蹊徑.

例4 （2012年全國高中數學聯賽山西省預賽試

評注 本題為一道含有兩個根式且求無理函數的值域問題，直接進行代數變形相當困難.如果本題單純求最大值，則可考慮用柯西不等式求解.經觀察、分析式子的結構特征，令x=2+sin2 a（0≤a≤實乃新奇，構思精巧，意境高遠.

例6 （2012年全國高中數學聯賽江西省預賽試

解 函數定義域是[-l，1]，由于原函數是奇函數因求函數y的最大值，不妨設0

評注 本題條件中函數式的結構特征，我們不難想到三角換元，但巧用函數的奇偶性及導數的手段來求最大值，是很有創意的，且讓人耳目一新.

3 妙解有關絕對值問題

例7 （2012年全國高中數學聯賽湖南省預賽試

評注 本題進行了兩次換元，我們不難發現，借用三角換元的關鍵在于通過對題中條件或結構的有規律的“模式識別”，充分利用題目中的有效信息，積極思考，巧用化歸與轉化思想，構建合適合理的解題方法. 例8 （2017年全國高中數學聯賽河北省預賽試題）已知x，y∈R，2x2+3y2≤12，則|x+2y|的最大值為________.

評注本題除了借用三角換元求解以外，題目結構特征也容易讓我們油然而生地想到用柯西不等式然流暢，豐富了學生的解題思想.

4 妙解有關解幾問題

例9 （2012年全國高中數學聯賽山西省預賽試

對稱軸分別交于點A，B，則線段AB長度的最小值是____.

解設切點為P（5cosθ，3 sinθ），

則橢圓在點P處的切線方程為：

故線段AB長度的最小值是8.

評注 借用橢圓的參數方程，設切點P（5cosθ，3 sinθ），從而得出橢圓的切線方程，弦長|AB|即可用三角函數表示，再巧用柯西不等式，問題的瓶頸得了實質性的突破！

綜上，一些數學競賽試題看似新奇，構思精巧，意境深遠，通過聯想、類比、變形，便可發現這些考題植根于三角函數，巧妙運用三角換元，將問題進行有效的轉化和化歸，不僅降低了解題難度，而且提高了解題效率，從而達到事半功倍的效果.