一題多解“論”變式，化歸思想“談”解法

李慶林

不等式恒成立問題貫穿于整個高中階段，筆者以高一初始階段的不等式恒成立為例，與學生共同復習總結判別式法、分離參數法等方法，通過一題多解來展開教學，從中滲透化歸思想，厘清解決不等式恒成立問題的基本方法.

1 巧設情境初探問題

在課堂教學中，開始階段非常重要，能夠影響學生整節課學習狀態，因此，數學教師必須重視上課初始階段.成功的開端教學能夠引起學生的學習興趣，營造出民主、和諧的學習氛圍，激發他們的創新思維，提升自身的數學核心素養.在教學過程中，教師要重視吸引學生的注意力，發散他們的數學思維，使其快速進入學習狀態.

在本節課中，筆者首先引導學生回顧了以前學過的二次函數求最值的方法，要求他們完成當x∈[2，4]時，求函數y=X2-2x+1的最大值和最小

值，（引導學生用初中所學的二次函數知識求解，為下面引出二次函數求最值的方法做鋪墊）.學生畫出函數圖象，觀察圖象得到最高點和最低點，進而得到函數的最值及取得最值時自變量x的值，讓學生復習鞏固了當對稱軸在區間[2，4]左側時的二次函數最值的求法.接著筆者再利用自制的拋物線教具結合黑板上已畫的直角坐標系，引導學生思考：“當隨著拋物線的對稱軸落在給定區間[2，4]內或右側時，如何求二次函數的最大值和最小值？”隨著問題解決過程的逐步深入，充分調動學生回憶起已經學習過的知識，為本節課學習打下堅實的基礎.

2 變式訓練積淀經驗

在日常數學教學中，無論是講授新知識還是復習課都要用到變式訓練，因此，變式訓練在數學教學中起到了重要的作用.借助于變式訓練，教師能夠將問題進行不斷深化，學生也可以在熟悉的問題情境中不斷地訓練，深入研究和探討問題，這就大大節約了讀題所需要的時間.此外，變式訓練還能幫助學生深入理解問題，引導他們思考條件改變時結論如何變化，從而積淀對本類型題目的解題經驗，提高解題效率.在實際教學中，筆者一直強調傳授學生解題方法，變式訓練就是一種較好的授之以漁的訓練方法，這也是我們核心素養教學根本之所在.

在課堂探究階段，筆者先給出引例：若關于x的不等式2x2-8x+4-a>o在x∈R上恒成立，求實數a的取值范圍.

學生很快得到以下解法：

因此a的取值范圍為（一∞，-4）.

在教師進一步地引導下，學生想到了參數分離法，從而化歸到求函數的最值問題.解法如下：

依題意得a<2x2—8x+4在x∈R上恒成立，

設函數g（x）=2x2—8x+4，

易知，當x=2時，g（X）min=g（2）=-4，

故a的取值范圍為（一∞，-4）.

在正確解答問題的基礎上，筆者給出了上題的變式：

變式1 若關于x的不等式2x2-8x+4-a>o在X∈[I，4]上恒成立，求實數a的取值范圍.

變式2 若關于x的不等式2x2-（a+8）x+4>o在X∈[1，4]上恒成立，求實數a的取值范圍.

變式3 若關于x的不等式2x2-（a+8）x+4>o在x∈[-2，2]上恒成立，求實數a的取值范圍.

大部分學生能夠正確完成變式l，對于變式2，學生給出了兩種不同的解法.

解法1 由己知得ax<2x2-8x+4，

解法2設函數f（x）=2x2-（a+8）x+4，

函數f（x）在[1，4]上為減函數，

∴f（X）min=f（4）>0，

∴32-4a-32+4>0.

即a

在這基礎上再解答變式3，學生有了更廣闊的思維空間，在教師引導和學生自由選擇下，班上學生分成了兩組，分別按變式2的兩種方法完成了變式3的解答，然后通過生生討論和師生互動進行對比總結，發現不少學生用參數分離法的時候，或者沒有對x分類，或者把每一類的結果求并集導致錯誤，而用另一種解法的學生，除了計算上的錯誤，沒有邏輯上的錯誤.通過以上變式的教學，讓學生感受到因題目條件的變化，而引起解題策略的變化，進而提升了學生的化歸轉化水平.

3 對比研究開闊思路

在高中數學中，化歸思想的滲透要通過教學實例來達成，在對比研究過程中，學生可以開闊自己的思路，發展自己的數學思維，在潛移默化中感受到化歸思想的妙處.在問題逐步轉換和求解過程中，學生能夠體悟到數學學習的策略和化歸思想方法，總結出完整的解題思路，拓寬解題思維.在此，筆者采用了一題多解的形式，拓展學生的解題思路，滲透化歸思想.

圖象均不在函數J=-x圖象上方，求a的取值范圍.

分析上述三種解法，學生領略了解決恒成立問題的多種常見求解方法（化歸最值、分離參數、數形結合），但是這些方法并非獨立存在，在具體解題實踐中要綜合考慮、活學活用，才能順利解決數學問題.但是，不管應用哪一種解法，都需要通過化歸來得到函數求其最值進行處理，體現了化歸思想在數學解題中的重要性.

4 總結歸納鞏固方法

根據上述內容，在高一年初始階段，我們可以總結得到解決恒成立不等式問題的思路：（l）直接轉化為求函數最值;（2）分離參數法（轉化為求新函數法）;（3）數形結合.含參不等式恒成立問題涉及到非常多的知識點，解題方法也多種多樣，但是不管如何變化，核心思想還是等價轉化，只有抓住問題的本質才能在解題時以不變應萬變，這就要求教師要提升教學的質量和效益，引導學生不斷地去領悟、體會和總結.在課后，筆者也為班級學生布置了相應的練習題，幫助他們鞏固課堂學習內容.

在本節課教學過程中，筆者始終堅持“教師主導”與“學生主動”同時并重，認為“教師主導”與“學生主動”是相輔相成的，它們互相影響，相互促進，兩者的理想狀態是達到和諧.同時，筆者要求學生要積極完成課堂練習，幫助遇到困難的學生積極應對困難，引導他們親身體悟一題多解、化歸思想，確保每個人都能從中有所收益.筆者欣慰地看到，絕大多數學生能夠感受到化歸思想所帶來的解題樂趣，數學核心素養也得到了有效提升.

參考文獻

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[3]蔣瑭涵，化歸思想在高中數學函數學習中的應[J].求知導刊，2015（12）：116

（本文系福建省“十三五”第一批中學數學學科教學帶頭人培養對象科研課題《基于化歸思想的中學數學教學實踐研究》（課題編號：DTRSX2017021）的階段性成果之一）