關聯圓錐曲線焦點、準線的一個性質的推廣

陳建海

1 問題的提出

《福建中學數學》2018年第6期文[l]對一道課本例題進行逆向探究，得到了關聯圓錐曲線焦點、準線的的一個性質，即下面的性質1-4（即文[l]的“一般性的結論”）.讀后頗受啟發，但覺意猶未盡，本文擬對上述性質進行推廣.先把文[l]的性質1-3及“一

般性的結論”抄錄如下：

性質1過拋物線焦點F的直線交拋物線于A，B兩點，點D在拋物線的準線上，若直線BD平行于拋物線的對稱軸，則直線AD經過拋物線的頂點O（如圖1）.

性質2過橢圓焦點F的直線交橢圓于A，B兩點，點D在焦點F對應的準線上，若直線BD平行于橢圓的對稱軸，則直線AD經過定點（該定點是準線與對稱軸的交點和焦點F的連線段的中點）（如圖2）.

性質3過雙曲線焦點F的直線交雙曲線于A，B兩點，點D在焦點F對應的準線上，若直線BD平行于雙曲線的對稱軸，則直線AD經過定點（該定點是準線與對稱軸的交點和焦點F的連線段的中點）.

性質4（即文[1]的“一般性的結論”）過圓錐曲線焦點F的直線交圓錐曲線于A，B兩點，點D在焦點F對應的準線上，若直線BD平行于圓錐曲線的對稱軸，則直線AD經過定點（該定點是準線與對稱軸的交點和焦點F的連線段的中點）.

以上性質揭示了關聯圓錐曲線焦點、準線的一個性質，那么，這個性質對圓錐曲線的“類焦點”、“類準線”能否成立？即能否把上述性質推廣到“類焦點”、“類準線”的情形？

2 性質的推廣

經探究發現，以上性質不僅對圓錐曲線的焦點、準線適用，而且對圓錐曲線的“類焦點”、“類準線“也適用.可以把上述性質推廣到“類焦點”、“類準線”的情形.

性質1-1過拋物線“類焦點”F的直線交拋物線于A，B兩點，點D在拋物線的“類準線”上，若直線BD平行于拋物線的對稱軸，則直線AD經過拋物線的頂點O.

證明 如圖l，以拋物線的頂點O為原點，拋物線的對稱軸為x軸，建立直角坐標系.設拋物線的方程為y2=2px（p>o），“類焦點”F（m，o）（m>o），“類準線”x=一m與x軸的交點坐標為（一m，o）.下面分兩種情況證明.

當直線AB的斜率存在時，

設直線AB的方程為y=k（x一m）（k≠o）.

得k2（X-m）2=2px，

整理得k2X2—2（k2m+p）x+k2m2=0.

設A（x1，Y1），B（X2，y2）（Xl≠X2），

據韋達定理得：

則直線AD經過定點（o，o），

即拋物線的頂點O. 當直線AB的斜率不存在時，

則直線AD經過定點（o，o），

即拋物線的頂點O.

性質2-1過橢圓“類焦點”F的直線交橢圓于A，B兩點，點D在“類焦點”F對應的“類準線”上，若直線BD平行于橢圓的對稱軸，則直線AD經過定點（該定點是“類準線”與對稱軸的交點和“類焦點”F的連線段的中點）.

證明如圖2，以橢圓的中心O為原點，橢圓實

軸所在的直線為x軸，建立直角坐標系.

下面分兩種情況證明.

當直線AB的斜率存在時，設直線AB的方程為y= k（x-m）（k≠0）.（注：若K=o，則結論顯然成立）.得b2X2+ a2k2 （X- m）2 _a2b2=o，∴（a2k2+b2）X2—2a2k2mx+a2k2m2一a2b2=0.設A（x，Yi），B（X2，y2 ）（Xl≠X2），據韋達定理得X1十X2：2a2k2m

該定點是“類準線”與對稱軸的交點和“類焦點”F的連線段的中點.

當直線AB的斜率不存在時，

該定點是“類準線”與對稱軸的交點和“類焦點”F的連線段的中點.

類似地，可以把性質3推廣為：

性質3-1過雙曲線“類焦點”F的直線交雙曲線于A，B兩點，點D在“類焦點”F對應的“類準線”上，若直線BD平行于雙曲線的對稱軸，則直線AD經過定點（該定點是“類準線”與對稱軸的交點和“類焦點”F的連線段的中點）. 一c時，性質2-1、3-1分別為性質2、3.

由性質I-I、2-1、3-1，可把性質4推廣為：

性質4-1過圓錐曲線“類焦點”F的直線交圓錐曲線于A，B兩點，點D在“類焦點”F對應的“類準線”上，若直線BD平行于圓錐曲線的對稱軸，則直線AD經過定點（該定點是“類準線”與對稱軸的交點和“類焦點”F的連線段的中點）.

3 推廣性質的逆命題

上述推廣性質的逆命題成立嗎？只要對性質4-1進行討論即可.設過圓錐曲線“類焦點”F的直線交圓錐曲線于A，B兩點，點D在“類焦點”F對應的“類準線”上，若直線AD經過“類準線”與對稱軸的交點和“類焦點”F的連線段的中點M，那么直線BD是否平行于圓錐曲線的對稱軸？

設點D1在類焦點“F對應的“類準線”上，且直線BD，平行于圓錐曲線的對稱軸，據性質4-1，得直線AD經過定點（該定點是“類準線”與對稱軸的交點和“類焦點”F的連線段的中點M）.這表明直線AM經過點D1.又直線AD經過“類準線”與對稱軸的交點和“類焦點”F連線段的中點M，知直線AM經過點D，則點D，D1同為直線AM與“類準線”的交點，故點D，D1重合，從而直線B平行于圓錐曲線的對稱軸，

可見，性質4-1的逆命題成立，其逆命題是：

性質4-2過圓錐曲線“類焦點”F的直線交圓錐曲線于A，B兩點，點D在“類焦點”F對應的“類準線”上，若直線AD經過定點（該定點是“類準線”與對稱軸的交點和“類焦點”F的連線段的的中點），則直線BD平行于圓錐曲線的對稱軸，

據此，可得性質I-I、2-1、3-1的逆命題：

性質1-2過拋物線“類焦點”F的直線交拋物線于A，B兩點，點D在拋物線的“類準線”上，若直線AD經過拋物線的頂點O，則直線BD平行于拋物線的對稱軸.

性質2-2過橢圓“類焦點”F的直線交橢圓于A，B兩點，點D在“類焦點”F對應的“類準線”上，若直線AD經過定點（該定點是“類準線”與對稱軸的交點和“類焦點”F的連線段的中點）.則直線BD平行于橢圓的對稱軸.

性質3-2過雙曲線“類焦點”F的直線交雙曲線于A，B兩點，點D在“類焦點”F對應的“類準線”上，若直線AD經過定點（該定點是“類準線”與對稱軸的交點和“類焦點”F的連線段的中點），則直線BD平行于雙曲線的對稱軸.

特別地，當“類焦點”F為焦點時，性質1-2、2-2、3-2、4-2分別為性質1、2、3、4的逆命題.

4 所得結論的完善

分別綜合性質l-I、1-2，2-1、2-2，3-1、3-2，4一、4-2，可得：

性質1-3過拋物線“類焦點”F的直線交拋物線于A，B兩點，點D在拋物線的“類準線”上，則直線AD經過拋物線的頂點O的充要條件是直線BD平行于拋物線的對稱軸.

性質2-3過橢圓“類焦點”F的直線交橢圓于A，B兩點，點D在“類焦點”F對應的“類準線”上，則直線AD經過定點（該定點是“類準線”與對稱軸的交點和“類焦點”F的連線段的中點）的充要條件是直線BD平行于橢圓的對稱軸.

性質3-3過雙曲線“類焦點”F的直線交雙曲線于A，B兩點，點D在“類焦點”F對應的“類準線”上，則直線AD經過定點（該定點是“類準線”與對稱軸的交點和“類焦點”F的連線段的中點）的充要條件是直線BD平行于雙曲線的對稱軸.

性質4-3過圓錐曲線“類焦點”F的直線交圓錐曲線于AB兩點，點D在“類焦點”F對應的“類準線”上，則直線AD經過定點（該定點是“類準線”與對稱軸的交點和“類焦點”F的連線段的中點）的充要條件是直線BD平行于圓錐曲線的對稱軸.

參考文獻

[1]孫承雄，對一道課本例題的逆向探究[J].福建中學數學，2018 （6）：7—8