一類非線性多智能體系統(tǒng)指定性能容錯(cuò)控制

王東陽,李永明

(遼寧工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院， 遼寧 錦州 121001)

近幾十年來，多智能系統(tǒng)的協(xié)同控制由于其在科學(xué)和工程領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用而受到越來越多的關(guān)注，已成為一個(gè)十分重要的研究方向。與傳統(tǒng)的單一非線性系統(tǒng)相比，多智能系統(tǒng)由于其在有向拓?fù)湎碌亩鄠€(gè)智能體之間可以通過互相協(xié)調(diào)合作來共同完成指定的控制目標(biāo)，使得多智能系統(tǒng)具有更強(qiáng)的魯棒性和更好的可調(diào)控性，并被應(yīng)用在例如航天器的編隊(duì)飛行，移動(dòng)機(jī)器人的協(xié)調(diào)控制以及船舶的編隊(duì)控制等領(lǐng)域。協(xié)同控制是多智能系統(tǒng)協(xié)調(diào)控制的基礎(chǔ)問題，目前已有很多研究成果。文獻(xiàn)[1-3]基于圖論和矩陣?yán)碚?，研究了線性系統(tǒng)的協(xié)同控制問題；文獻(xiàn)[4-6]中提出的協(xié)同控制算法要求系統(tǒng)的非線性函數(shù)滿足Lipschtiz條件。但在實(shí)際控制系統(tǒng)中，傳感器的精度和外部條件的變化都會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)存在不確定性。文獻(xiàn)[7-10]提出了基于模糊邏輯系統(tǒng)或神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)協(xié)同控制算法；文獻(xiàn)[9]針對(duì)帶有不確定擾動(dòng)的非線性多智能體系統(tǒng)，提出了基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)協(xié)同控制算法；文獻(xiàn)[10]針對(duì)帶有輸入飽和的非線性多智能體系統(tǒng)，提出了基于模糊邏輯系統(tǒng)的自適應(yīng)協(xié)同控制方案。

隨著科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，為了滿足人們?nèi)找嬖鲩L的研究需要以及現(xiàn)代化生產(chǎn)，控制系統(tǒng)變得日漸大型化、復(fù)雜化，系統(tǒng)中的傳感器、執(zhí)行器等部件的數(shù)量和復(fù)雜性也日益增加。那么，整個(gè)系統(tǒng)運(yùn)行的穩(wěn)定性和完整性變得更加重要，且更有難度，一旦系統(tǒng)內(nèi)的元部件哪怕出現(xiàn)一個(gè)小的故障，系統(tǒng)運(yùn)轉(zhuǎn)的安全性就可能得不到保證。因此，容錯(cuò)控制得到了廣泛的重視，與傳統(tǒng)的單一非線性故障系統(tǒng)不同的是，多智能系統(tǒng)的故障可以分為兩類：一類是智能體之間通信網(wǎng)絡(luò)的故障，另一類是自身的故障。目前，關(guān)于多故障系統(tǒng)協(xié)同控制問題的文獻(xiàn)研究很多[11-15]，文獻(xiàn)[13]研究了在嚴(yán)格反饋條件下的非線性多智能系統(tǒng)的自適應(yīng)模糊容錯(cuò)控制。在文獻(xiàn)[14]中，研究了具有時(shí)變執(zhí)行器故障的多智能系統(tǒng)的協(xié)同自適應(yīng)模糊跟蹤控制。

本文針對(duì)滿足指定性能的帶有執(zhí)行器故障以及控制方向未知的非線性多智能體系統(tǒng)，研究其容錯(cuò)協(xié)同控制問題。通過使用模糊邏輯系統(tǒng)逼近系統(tǒng)內(nèi)的未知非線性函數(shù)，引入特定的Nussbaum增益函數(shù)解決未知控制方向的問題。提出容錯(cuò)協(xié)同控制器的設(shè)計(jì)方案，用以保證所有“跟隨者”的輸出與“領(lǐng)導(dǎo)者”的輸出同步?；诶钛牌罩Z夫穩(wěn)定性理論，證明了當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生故障時(shí)，本文所設(shè)計(jì)的控制器可保證系統(tǒng)仍能保持穩(wěn)定，而且跟蹤誤差一致最終有界。

本文共分為4部分：第1部分主要介紹預(yù)備知識(shí)，并對(duì)所研究的多智能系統(tǒng)控制問題進(jìn)行描述；第2部分給出容錯(cuò)控制器的設(shè)計(jì)方案，并進(jìn)行穩(wěn)定性分析；第3部分給出仿真結(jié)果，從而進(jìn)一步證明所提出的控制方案的有效性；第4部分給出本文結(jié)論。

1 預(yù)備知識(shí)和問題描述

1.1 圖論

通常用有向圖描述多智能系統(tǒng)的信息通信?？紤]由N個(gè)“跟隨者”和1個(gè)“領(lǐng)導(dǎo)者”組成的多智能體系統(tǒng)，“跟隨者”之間的信息通信可以由有向圖ζ=(ν,μ,Λ)表示。其中ν={n1,…,ni}是節(jié)點(diǎn)集合，ni表示“跟隨者”i;μ={ni×nj∈ν×ν}是邊集合，Λ=[aij]∈RN×N是鄰接矩陣；(ni,nj)∈μ表示“跟隨者”j能夠直接獲得“跟隨者”i的信息；aij定義如下：

節(jié)點(diǎn)i的鄰接集合定義為Ni={j|(ni,nj)∈μ}。

有向圖ζ的拉普拉斯矩陣L=[Lij]∈RN×N定義如下：

拉普拉斯矩陣L=D-Λ，其中D=diag{d1,…,dN}。

如果有向圖ζ的每一個(gè)節(jié)點(diǎn)到其他任意節(jié)點(diǎn)都存在有向路徑，則稱圖ζ是強(qiáng)連通的。如果有向圖ζ至少存在一個(gè)根節(jié)點(diǎn)(根節(jié)點(diǎn)到其他任意節(jié)點(diǎn)都存在有向路徑)，則稱圖ζ包含有向生成樹。如果任意的(ni,nj)∈μ且(nj,ni)∈μ，則稱有向圖ζ是雙向圖或無向圖。顯然，無向圖是一類特殊的有向圖，無向圖中強(qiáng)連通和包含有向生成樹是等價(jià)的，此時(shí)無向圖是連通的。

定義“領(lǐng)導(dǎo)者”鄰接矩陣Λ0=diag(a10,…,aN0)，其中ai0=1當(dāng)且僅當(dāng)“跟隨者”i能夠獲得“領(lǐng)導(dǎo)者”的信息；否則ai0=0，通常為了分析方便，定義H=L+Λ0。

假設(shè)1[7]：有向圖ζ中包含有向生成樹，并且根節(jié)點(diǎn)能夠獲得“領(lǐng)導(dǎo)者”的信息。

引理1[7]：若有向圖ζ中包含有向生成樹，并且根節(jié)點(diǎn)能夠獲得“領(lǐng)導(dǎo)者”的信息，則矩陣H的所有特征值具有正實(shí)部。

1.2 指定性能

通過確保每個(gè)誤差面si,1(i=1,…,N)嚴(yán)格地在規(guī)定區(qū)間內(nèi)來保證其有指定的性能：

-κ1iηi(t)

(1)

ηi(t)=(ηi0(t)-ηi∞(t))e-qit+ηi∞(t), ?t≥0

其中qi>0，ηi0(t)>0，ηi∞(t)>0是常數(shù)，ηi0(t)>ηi(t)，q∞·ηi0被選擇為-κ1iηi(0)

引理2[12]：ηi∞(t)表示si,1在區(qū)間內(nèi)所規(guī)定的最大值。qi表示si,1的收斂速度。si,1的最大變化區(qū)間小于[-κ1iηi(0),κ2iηi(0)]。因此，選擇適當(dāng)?shù)男阅芎瘮?shù)ηi(t)以及常數(shù)κ1i，κ2i，當(dāng)初始條件滿足規(guī)定的性能邊界時(shí)，誤差變換函數(shù)的表達(dá)式為：

(2)

1.3 問題描述

考慮由N個(gè)“跟隨者”和1個(gè)“領(lǐng)導(dǎo)者”組成的不確定非線性多智能體系統(tǒng)。第i個(gè)“跟隨者”的動(dòng)態(tài)模型如下：

(3)

本文所考慮的執(zhí)行器故障為增益和偏差故障，分別定義故障模型如下：

偏差故障模型：

(4)

其中ωi(t)是有界信號(hào)(有界函數(shù))。

增益故障模型：

(5)

其中hi是未知的失效率并且0≤hi≤1。

將式(4)(5)聯(lián)立，系統(tǒng)的輸入向量可表示為：

(6)

控制目標(biāo)：對(duì)于帶有執(zhí)行器故障和未知控制方向的非線性多智能系統(tǒng)，設(shè)計(jì)一個(gè)自適應(yīng)模糊容錯(cuò)控制方案，保證“跟隨者”的輸出最終能夠跟蹤“領(lǐng)導(dǎo)者”的輸出，且同步誤差始終在指定界內(nèi)。

為了設(shè)計(jì)出所需的模糊控制方案，需要以下的引理和假設(shè)。

通過使用萬能逼近定理，未知非線性函數(shù)fi,k(·)(k=2,…,ni)可以通過FLS近似為：

(7)

(8)

為了解決控制方向未知的問題，引入了Nussbaum增益技術(shù)。定義Nussbaum函數(shù)N(?)具有以下屬性：

常用的Nussbaum增益函數(shù)包括：

?2cos(?),?2sin(?)和exp(?)2cos(?)2

在本文中，選取exp(?)2cos(?)2。

引理3[15]：對(duì)于非線性多智能體系統(tǒng)(1)，定義N(?)=exp(?)2cos(?)2以及在 [0,tf)上是平滑函數(shù)的?i(t)。如果存在正定徑向無界函數(shù)v(t,x)以及正常數(shù)C和D，則滿足以下不等式：

(9)

令

χi=xi/βi=[xi,1/βi,xi,2/βi,…,xi,ni/βi]T=

[χi,1,…,χi,ni]

這樣改寫為與原系統(tǒng)相等的如下系統(tǒng)：

(10)

2 容錯(cuò)控制器設(shè)計(jì)和穩(wěn)定性分析

2.1 容錯(cuò)控制器的設(shè)計(jì)

在本節(jié)中，通過將返步遞推方法和動(dòng)態(tài)面技術(shù)結(jié)合，設(shè)計(jì)出所需的容錯(cuò)控制器。

控制器的設(shè)計(jì)過程共有ni步，并且每一步的設(shè)計(jì)都基于誤差面，從第1步到第ni-1步，設(shè)計(jì)虛擬控制器αi,k+1(k=1,…,ni-1)保證系統(tǒng)每一步的穩(wěn)定性，并且在最后一步中設(shè)計(jì)所需的實(shí)際控制器ui。定義誤差面si,k和濾波誤差zi,k如下：

(11)

第1步： 根據(jù)式(11)可將誤差面改寫如下：

(12)

根據(jù)式(12)和χi,k=si,k+zi,k+αi,k，同步誤差i,1對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)如下：

(13)

其中fi,k(·),k=(1,…,ni)是一個(gè)未知函數(shù)。

通過使用模糊邏輯系統(tǒng)對(duì)未知函數(shù)逼近可得：

(14)

將式(14)代入式(13)得到：

(15)

考慮李雅普諾夫函數(shù)如下：

(16)

其中：γ1i,1>0；γ2i,1>0是設(shè)計(jì)參數(shù)。

結(jié)合式(15)和(16)，對(duì)v1求導(dǎo)，得到：

(17)

定義：

利用Young不等式，可得：

(18)

將式(18)代入式(17)，得到：

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

其中ci,1>0；σi,1>0；δj,1>0是設(shè)計(jì)參數(shù)。

將式(20)～(23)代入式(19)得到：

(di+ai0)ρiβii,1(si,2+zi,2)}+

(24)

(25)

第1個(gè)虛擬控制器(20)包含了與他相鄰的智能體的狀態(tài)信息模糊邏輯系統(tǒng)的信息。如果使用返步遞推設(shè)計(jì)方法，隨著系統(tǒng)階數(shù)和多智能體個(gè)數(shù)的增加，“復(fù)雜性爆炸”這一問題將變得更加嚴(yán)重。因此，采用動(dòng)態(tài)面的設(shè)計(jì)方法，讓虛擬控制函數(shù)(20)通過一階濾波器(25)，避免對(duì)其求導(dǎo)，簡化設(shè)計(jì)方案。

第k步(2≤k≤ni-1)：根據(jù)式(10)得到：

(26)

將式(26)代入si,k的導(dǎo)數(shù)，并且聯(lián)立χi,k+1=si,k+1+zi,k+1+αi,k+1，得到：

(27)

考慮李雅普諾夫函數(shù)如下：

(28)

對(duì)式(28)求時(shí)間導(dǎo)數(shù)并聯(lián)立式(25)和(27)，可得：

si,k[βi(si,k+1+zi,k+1+αi,k+1)+

(29)

(30)

(31)

(32)

第ni步：由式(10)可得：

(33)

考慮李雅普諾夫函數(shù)如下：

(34)

對(duì)式(34)求時(shí)間導(dǎo)數(shù)并聯(lián)立式(32)和(33)，可得：

(35)

(36)

(37)

其中γ1i,ni，σi,ni是設(shè)計(jì)參數(shù)。

標(biāo)注1值得注意的是：上述設(shè)計(jì)參數(shù)只是保證控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的充分條件，通過增大設(shè)計(jì)參數(shù)γ1i,ni和ci,ni，或者減小設(shè)計(jì)參數(shù)σi,ni，可以使跟蹤誤差盡可能小。

將式(36)(37)代入式(35)，可得：

(38)

2.2 容錯(cuò)控制器的穩(wěn)定性分析

主要結(jié)果由以下定理說明：

定理1：對(duì)于多智能體系統(tǒng)(3)在考慮其存在執(zhí)行器故障，控制方向未知等問題的情況下，設(shè)計(jì)虛擬控制函數(shù)(20)(30)，參數(shù)自適應(yīng)律(22)(23)(31)(37)，一階濾波器(25)(32)。在滿足假設(shè)1和引理3的條件下，所有“跟隨者”的輸出能夠跟蹤“領(lǐng)導(dǎo)者”的輸出，且同步誤差始終在指定界內(nèi)。

證明：為了對(duì)多智能體系統(tǒng)(3)進(jìn)行穩(wěn)定性分析，選取李雅普諾夫函數(shù)如下：

(39)

其中zi,k+1的導(dǎo)數(shù)可以表示為：

(40)

其中：

(41)

Bi,k+1(·)=Bi,k+1(si,1,…,si,k+1,zi,2,…,zi,k+1,

(42)

將式(41)和式(42)代入Vk的時(shí)間導(dǎo)數(shù)，利用Young不等式：

可得：

(43)

定義：

其中：B0>0；P>0；∏和∏i,k是在R3和Rdim∏i,k上的緊集，dim(∏i,k)是∏i,k的維數(shù)且∏×∏i,k也是緊集。這樣可以得到|Bi,k+1|在∏×∏i,k上有一個(gè)最大值Bi,k+1M。

選擇設(shè)計(jì)參數(shù)如下：

定義

(44)

(45)

其中，i=1,…,N,k=1,…,ni,h=2,…,ni,j∈Ni。則由式(40)得到：

(46)

因此，可將上式改寫為：

(47)

3 仿真結(jié)果

在此部分，給出數(shù)值仿真算例驗(yàn)證所提方法的有效性。

考慮下面的二階非線性多智能體系統(tǒng)：

(48)

ηi(t)=2.75exp(-0.5t)+0.05。

選擇模糊隸屬函數(shù)為：

智能體之間的通信由圖1描述：

圖1 通信網(wǎng)絡(luò)圖

仿真如圖2～5所示。其中，圖 2表示“跟隨者”的輸出yi和“領(lǐng)導(dǎo)者”的輸出yr(i=1,2,3)的軌跡；圖 3表示控制輸入ui(i=1,2,3)的軌跡；圖 4表示同步誤差i,1(i=1,2,3)在指定性能下的軌跡；圖5表示誤差面si,2(i=1,2,3)的軌跡。由仿真結(jié)果可以看出，在系統(tǒng)存在未知控制方向且執(zhí)行器發(fā)生故障的情況下，文中提出的控制算法仍能實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的一致性控制。

圖2 “跟隨者”的輸出yi和“領(lǐng)導(dǎo)者”的輸出yr的軌跡

圖3 控制輸入ui的軌跡

圖4 同步誤差i,1的軌跡

圖5 誤差si,2的軌跡

4 結(jié)束語

本文針對(duì)有向圖下的具有未知控制方向和執(zhí)行器故障的多智能體系統(tǒng)，提出了一種容錯(cuò)控制方案。引入特定的Nussbaum增益函數(shù)解決未知控制方向的問題。結(jié)合模糊逼近和動(dòng)態(tài)面控制技術(shù)，開發(fā)分布式容錯(cuò)控制方案用以保證所有跟隨者的輸出與具有指定性能的領(lǐng)導(dǎo)者的輸出同步。最后，通過仿真結(jié)果驗(yàn)證了所提出的控制方法的有效性。