“對應”的觀點來看動點的軌跡問題

湖北省武漢市梅苑中學 趙 耀

初中階段經常會探究一些動點的軌跡問題，很多學生不會思考，覺得找不到方法，其實，如果引導得當，學生學的得法，軌跡問題能很好地激發學生的興趣。下面通過幾個例題具體講解。

一、直線型軌跡問題

例：如圖1，已知點A 坐標為（0，2），點M（m，0）為x 軸上一動點。

（1）將點M繞點A逆時針旋轉90°，得到點N，求點N 的軌跡。

（2）將點A繞點M順時針旋轉90°，得到點D，求點D 的軌跡。

兩問都是軌跡問題，在函數中，自變量x 和因變量y 之間有一個固定的對應法則f，滿足一一對應的關系。本題中，M 點位置如果確定，則N 點的位置也隨之確定，M 和N 之間的位置也滿足一一對應的關系，所以不妨用映射的觀點來看本題，M 點在一條直線上運動，而對應法則f 就是M 到N 的變換關系（如圖2）：繞點A 逆時針旋轉90°。所以把M 看成主動點，N 點隨著M 運動而運動，N 點看成從動點，主動點M 所在直線，即x 軸繞點A 逆時針轉90°的直線，就是從動點N 所在的直線的軌跡。那只需要找到M 點所在直線上的一個特殊點，如原點O，繞點A 順時針旋轉90°，得到B（2，2），所以N點在經過B 點，與x 軸垂直的直線x=2 上。證明如下：如圖3，作AB ⊥AO，且AB=AO，連接BN，AN，可證△AOM ≌△ABN，得∠ABN=∠AOM=90°。因為B 為定點，BN ⊥AB，所以N 點在經過點B，又與AB 垂直的直線x=2 上移動。

圖3

第1 問中構造了旋轉中的全等，第2 問中，由映射的觀點（如圖4），M 點位置確定，D 點位置也唯一確定，主動點為M 在x 軸上運動，要找從動點D 的運動軌跡，此時對應法則f 為繞點M 順時針旋轉90°，但M 點為動點，不易得出，由∠MAD=45°，，可以把對應法則f 轉化為M 點繞定點A 點逆時針旋轉45°，再把MA 擴大倍，到AD，就可以找到從動點D 點的位置，主動點M 所在直線，即x 軸繞點A 逆時針轉45°，再以A 為位似中心，以1 ∶的比例進行位似變換的直線，就是從動點D 所在的直線的軌跡。那么可以找M 點所在直線上的一個特殊點，不妨找原點O，繞A 點逆時針旋轉45°，并以A 為位似中心，位似變換得到的點C，就是從動點D 所在直線所經過的點。證明如下：如圖5，在x 軸上取OC=OA，連接AC，則△OAC 為等腰直角三角形，∠OAC=45°，此時△AMD ∽△AOC，可證△AMO ∽△ADC，得到∠ACD=90°，∠OCD=45°。因為C 為定點，∠OCD=45°，所以D 點在經過點C（2，0），并與x 軸夾角為45 度的直線y=x-2 上運動。

圖4

圖5

二、弧形軌跡問題

例2：如圖6，⊙O 中，以AB 為直徑，點C 為⊙O 上一動點，以OA，AC 為邊構造平行四邊形ACDO，求點D 的軌跡。

圖6

圖7

圖8

例3：如圖7，AB 為 圓O 的弦，∠AOB=120°，AB=點C 為圓O 上一動點，D 為AC 中點，當C 在圓O 上運動時，求D點軌跡。

例4：如圖8，點C 是半圓AB 上一動點，以BC 為邊作正方形BCDE。（1）求E 點軌跡；（2）求D 點軌跡。

圖9

圖10

例2 從映射的觀點來看（如圖9，圖10），主動點C 到從動點D 的映射f 是向右平移AO 個單位，則主動點所在的圓也向右平移AO個單位就是從動點D 所在的圓的軌跡。例3 從映射的觀點來看（如圖11，圖12），主動點C 到從動點D 的映射f 是以A 為位似中心的位似變換，位似比為2 ∶1，則主動點C 所在的圓的圓心O 也是以A為位似中心，位似比為2 ∶1 的位似變換，圓心為AO 的中點E，即從動點D 在以E 為圓心，DE 為半徑的圓上運動。例4 第（1）問，從映射的觀點來看（如圖13），主動點C 到從動點E 的映射f 是繞B 點順時針旋轉90°，則主動點C 所在的半圓也繞B 點順時針旋轉90°就是從動點E 所在的圓的軌跡；第（2）問中，主動點C 到從動點D的映射f 是繞定點B 順時針旋轉45°，再擴大倍，則主動點C 所在的半圓圓心O也繞B點順時針旋轉45°，同時BO 擴大倍所到的點N，就是從動點D 所在的圓的圓心，如圖14，15。

圖11

圖12

圖13

圖14

圖15

三題都是弧形軌跡問題，結合平移、旋轉、位似的知識，找到從動點的軌跡。

上面幾題有不同的背景，不管是直線型還是弧線型，通過找到主動點和從動點之間的變換關系，引用映射的觀點，主動點的位置與從動點的位置也滿足一一對應的關系，點動成線，從而找到從動點的軌跡，看似簡單的問題中隱含著平移、旋轉、位似等多種圖形變換，小小動點，其樂無窮！