基于核心素養下的數學概念教學
——以《數列的概念與簡單表示法》為例

浙江省義烏市義亭中學 方書英

近幾年來，對于人的核心素養的培養日漸成為新一輪課程改革的深化方向。高中數學核心素養提出的具體要求有六條：數學抽象，邏輯推理，數學建模，直觀想象，數學運算和數據分析。在平時的教學中，要注意對這六種能力的培養。

本文以必修五中數列的起始課《數列的概念及簡單表示法》為例，淺談核心素養下的概念教學設計。

一、新課引入

師：多媒體投影出虎刺梅、紫竹梅、迎春花、木槿、百合、波斯菊、西番蓮花朵的圖片，請學生說出這些花朵花瓣的數目。

生：分別是2，3，4，5，6，8，10。

師：古希臘的畢達哥拉斯學派提出“萬物皆數”。據說他們發現了很多有意思的數，觀察下列圖形，找出這些數的規律。

生：第一行數是1，3，6，10，15，21……

第二行數是1，4，9，10，16，25……

師：根據形狀的特點，我們形象地稱它們是三角形數和正方形數。

師：一般而言，兔子在出生兩個月后就有繁殖能力，一對兔子每個月能生出一對小兔子來。如果所有兔子都不死，那么一年以后可以繁殖多少對兔子？可以列出下表：

經過月0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12數幼仔對1 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89數成兔對0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144數總體對1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233數

由此可知，從第一個月開始，以后每個月的兔子總對數是多少？

生：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233……

師：大家記不記得這周每天我們班的出勤人數？

生：48，48，48，48，48。

師：大家能不能說出正整數的倒數各是多少？

師：1，2，3，4，…，100 除以三的余數是多少？

生：1，2，0，1，2，0，1，2，0，…，2，0，1。

【設計意圖：本課開始引用生活中花瓣的數量，讓美麗的花朵引起學生的興趣，并讓他們明白，在自然生活中，只要細心觀察，數學無處不在。畢達哥拉斯學派的三角形和正方形數的引入，不僅是數學文化的熏陶，更是讓學生通過觀察三角形數和正方形數圖形的特點，歸納總結出每一項數值，培養學生的邏輯推理能力和直觀想象能力，也為后期引入遞推公式的概念埋好伏筆，鍛煉數學抽象思維能力。斐波拉契數列作為數列上的經典數列，有讓學生了解一下的必要，并且形成數據表格的過程也是數學建模的過程，根據實際的兔子繁殖問題，建立數據表格，推理出斐波拉契數列的本質特點：從第三項起，每一項是前兩項的和。鍛煉數學抽象，邏輯推理，數學建模，數學運算，數據分析的能力。之后的問題貼近學生的日常，在教學中拉近學生與數學的親近感。最后兩個問題的設計主要是學生對已有數學知識的應用，設置得較為簡單，學生基本都能解決】

二、概念生成

在投影儀上打出剛剛總結的幾列數：

師：請大家觀察上面這幾組數學的特點？

生1：都是數。

生2：數都排成一列。

生3：這些數有順序。

師：在黑板上板書出數列的定義：按照一定順序排列的一列數稱為數列。

師：數列1，2，3，…，40 改為3，2，1，…，40 還是不是同一個數列？

生：不是，順序不一樣，所以就不是同一組數列。

師：{1，2，3，…，40}和1，2，3，…，40 一樣嗎？

生：不一樣，前面是集合，后面是數列。

師：那么數列和集合的概念有何區別？

生1：數列是數組成的，集合的元素不一定是數。

生2：數列有順序，集合具有無序性。

生3：數列中數可以重復，集合中的數不能重復。

師：非常好，大家概括得很全面。

【設計意圖：在新課的引入過程中，學生對這些數據的生成過程已經很熟悉，當這些數擺在面前的時候，他們自然就會對比觀察出這幾組數的特點，從而歸納出數列的定義。概念是越辨越明，跟熟悉的集合比較起來，學生更能深入地理解數列的特點。從具體的幾組數中提煉出數列的概念，這個過程中就有對數學抽象能力、邏輯推理能力的培養】

師：集合中每一個對象，我們稱為元素，那么在數列中，每一個數我們是不是也有相應的稱呼呢？

生：應該也有。

師：黑板上板書：數列中的每一個數都叫這個數列的項，各項依次為第1 項（首項），第2 項，第3 項，……排在第n 位的數稱為第n 項。數列中項的總數稱為項數。

師：我們現在了解了數列的概念和項的概念，那么能不能用數學符號表示出來呢？

生：不知道怎么表示。

師：那大家嘗試按照自己的想象來表示數列吧！在稿紙上寫出來。

投影出學生的寫法，方式特別多，比如：a，b，c，d，…，或A，B，C，…，或a1，a2，a3……

師：大家寫得很好，都選擇了用各種字母來表示數列，但如果用26 個字母表示的話，那么第27 項，28 項該怎么辦呢？

生：用a1，a2，a3……可能表示無數個項。

師：非常好，大家跟數學家們想得很接近了。只是我們項數寫在a 的右下方。

板書數列表示法：數列一般形式可以寫成a1，a2，a3，…，an，簡記{an}。

師：an和{an}有什么區別？

生：an是數學的第n 項，{an}表示整個數列。

【設計意圖：對比集合中元素的定義，讓學生聯想到數列中的數應該也是有名稱的，就很自然地給出了項的定義。其次，對于數列的數學符號表示，數學符號語言是數學抽象化的重要表征。學生自己想象出各種各樣的符號，實際上就是培養了數學抽象能力，符號語言的生成更有助于學生理解數列的概念和特點】

師：我們再次觀察這幾組數，剛剛是找出了它們的共同特點，現在看看它們有什么區別？

2，3，4，5，6，8，10。

1，3，6，10，15，21……

1，4，9，16，25……

1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233……

48，48，48，48，48。

1，2，0，1，2，0，1，2，0，…，2，0，1。

生1：有的數列項的數目有限，有的無限。

生2，項的大小有的有規律，有的沒有規律。

師：大小上什么規律？

生：第1，2，3 組是增大的，第4 組除了第1 項也表現出增大的，第5 組不變，第6 組減小，第七組忽大忽小。

師：非常好，我們發現從項的個數上區分，有兩種，那么項數有限的我們就稱為有窮數列，項數無限的我們稱為無窮數列。那么從大小上區別，大家覺得怎么命名比較好？

生：越來越大的是增數列，越來越小的是減數列，不變的是常數列。師：那第7 組是什么數列？

生：不知道。

師：稱為擺動數列。因此，按著數列的大小關系，我們可以分為四類：遞增數列，遞減數列，常數列，擺動數列。

師：觀察下列幾組數列：

1，2，3，4，5……

1，4，9，16，25……

這三個數列的第10 項是什么？

師：第100 項呢？

師：那么第n 項呢？

師：我們會發現這三個數列的第n 項都可以用n 表示出來。如果數列{an}的第n 項與項數之間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式。那么這三個數列的通項公式怎么表示？（請同學上黑板板書）

【設計意圖：數列的分類標準不一樣，那么所得分類也不一樣，讓學生自己觀察，歸納，從具體問題中抽象出數列的單調性和項數特點，觀察有些數列的特征，概括出每個數列的通項公式，需要學生較好的邏輯推理及數據分析能力】

師：數列1，4，9，16，……其通項公式是：an=n2，這是用通項公式表示出來，有點像函數的解析式，大家思考一下能不能夠用其他的方法把這個數列表示出來？

生：可以試試表格。

師：很好，要不要上黑板試試？（學生板書）

n 1 2 3 … k …an 1 4 9 k2

師：還有嗎？

生：畫圖。

師：好的，請問同學上黑板畫畫。

學生畫出了一個二次函數的圖像：

師：大家覺得這個圖像有沒有問題？

生：不能是連續的，應該是點。

師：重新修改學生圖像如右圖。

師：所以數列有三種表示方法：通項公式法，表格法，圖像法。大家就會發現數列和之前學過的函數有些像，大家仔細觀察下圖，發現了什么？

生：數列也是函數，符合函數的定義。

師：那么得到結論，數列是特殊的函數，特別之處在于定義域是正整數集（或有限子集）。

三、投影習題，并講評習題

例1 根據下面數列的通項公式，寫出它的前5 項：

例2 寫出數列的一個通項公式，使它的前4 項分別是下列各數：

師：那么我們總結一下這節課的內容，用思維導圖的形式表達出來？

【設計意圖：由數列的通項公式聯想到函數的解析式，進而推出數列的三種表示法，得出數列是特殊的函數。習題的設置，讓學生觀察數據抽象出數列的通項公式。小結用思維導圖的形式總結出來，清晰簡潔，體現出數學的簡潔美，也更流暢地回顧了本節課的重點內容，加深了學生對本節課的理解和掌握】