有理數的運算技巧和方法

江蘇省揚州市田家炳實驗中學 宋 揚

有理數及其運算是整個數與代數的基礎，掌握一定的有理數運算技能很有必要。運算能力是運算技能與分析、推理能力的結合，要求我們既能正確地算出結果，又善于觀察問題的結構特征，選擇合理、簡捷的運算路徑，拓展解決問題的創造性思維空間。

有理數運算的常見技巧和方法有：利用運算律；恰當分組；以符（字母）代數；倒序相加；裂項相消；錯位相減；分解相約；添置輔助數；巧用乘法公式；借助因式分解等等。運算技巧和特殊方法的精準使用，不僅能簡化運算，減少計算量，減少出錯，較快得到正確的結果，處理一些用常規方法不能解決的問題，還能擴大知識面，靈活運用所掌握的知識，開闊視野，增強能力。研究和把握較多的運算技巧和方法，有利于因材施教、分層教學和分步遞進，對于開發智力、培養更多的創新型人才將會起到積極的作用。

一、整體設元，倒序相加

例1 求：1+2+3+…+n 的值。

解：設S=原式，從而有 S=n+(n-1)+(n-2)+…+1，

解：設S=原式，將每個括號內各項分別按倒序改寫，

二、運用算律，合理分組

此即為例2 的模式，以下過程略去，運算結果為原式=1580。

例4 計算：1-2+4-6+8-10+…-998+1000。

解：原式=1+（-2+4）+（-6+8）+…（-998+1000）=1+2×（1000÷2÷2）=501。

例5 計算：1+2-3-4+5+6-7-8+…+2017+2018-2019-2020。

解：原式=（1+2-3-4）+（5+6-7-8）+…+（2017+2018-2019-2020）=（-4）×（2020÷4）=-2020。

三、剖析通項，裂項相消

此處對照一下例6與例7的通項公式，可以發現這兩種模式(題型)之間的內在聯系。另外，裂項相消技巧常用的通項公式還有：

解：設S=原式 ①

四、整體設元，錯位相減

此題解法較多，如可以利用一維圖形或二維圖形幫助求解；也可以在算式的末尾添加兩項：，從倒數第二項起，運用結合律，逐次向前演算。

例9 求1+3+32+33+…+32018的值。

解：設S=原式 ①

則3S=3+32+33+…+32018+32019②

②-①得2S=32019-1， ∴原式=。

五、部分設元，代數演算

六、巧添輔助數，激活乘法公式

例11 計算：(1+2)(1+22)(1+24)(1+28)×…×(1+22n)。

解：原 式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)…(22n+1)=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)…(22n+1)=(24-1)(24+1)(28+1)…(22n+1)=……=(22n-1)(22n+1)=(22n+1-1)。

七、借助因式分解，實現連貫約分

解：原式