不等溫分布下燃料棒徑向溫度相關238U共振吸收截面計算

張 乾，王 超，姜 榮,3，趙 強，吳宏春，婁 磊

(1.哈爾濱工程大學 核安全與仿真技術國防重點學科實驗室，黑龍江 哈爾濱 150001；2.中廣核研究院有限公司，廣東 深圳 518031；3.中國科學技術大學 工程與應用物理系，安徽 合肥 230026；4.西安交通大學 核科學與技術學院，陜西 西安 710049；5.中國核動力研究設計院 核反應堆系統設計技術重點實驗室，四川 成都 610213)

在燃料棒性能和數值分析中，需精確計算燃料棒的徑向功率分布。由于238U強烈的共振自屏效應，其燃料棒徑向上的共振中子吸收截面(簡稱吸收截面)存在空間分布，并受到不等溫分布的影響，功率分布的計算需精確計算這種情況下燃料棒徑向共振吸收截面。

處理上述問題的傳統方法是基于空間相關的丹科夫方法(SDDM, spatially dependent Dancoff method)[1]，該方法采用了不同溫度下的共振積分進行插值，是Stamm’ler方法的擴展[2]。研究表明[3-5]，SDDM在進行以能群為單位的截面預測時存在顯著誤差。為提高計算精度又發展了子群方法，該方法采用關系模型、子群參數調整法和核子數密度調整法[6-8]處理該問題，但關系模型需對子群結構進行特殊處理，而子群水平調整法和核子數密度調整法均采用半經驗公式，適用性有限。

精度較高的方法是求解基于超細群(UFG, ultra-fine-group)能群結構的中子慢化方程，又稱超細群方法。該方法可用于傳統等價理論的誤差修正以及共振干涉效應的精確處理[9-11]，但在燃料棒內部不等溫分布下，計算燃料分區間的中子首次飛行碰撞概率(簡稱碰撞概率)引入的計算量較大。針對該問題，相關研究者[12]提出了基于等溫假設的碰撞概率模型。該模型近似認為不等溫系統的碰撞概率等同于等溫系統，可減少計算時間。但數值驗證發現[13]，該模型在進行238U共振吸收截面計算時，會造成燃料內部的共振吸收截面被低估，將導致無限增殖因數的計算出現偏差。

本文提出一種基于溫度擾動的超細群慢化方程對238U的徑向共振吸收截面進行計算，并與MCNP5[14]的統計結果進行比較。

1 理論模型

1.1 超細群慢化方程和基于等溫假設的碰撞概率模型

超細群慢化方程是在中子輸運方程的基礎上忽略裂變源項，基于非均勻系統中各分區之間的中子首次飛行碰撞概率建立的中子平衡方程，其形式如下：

(1)

其中：i、j為區域編號；Vi為區域體積；Σt,i(E)為與能量E相關的宏觀總截面；φi(E)和Qj(E)分別為中子標通量密度和源項；Pji為區域j至i的碰撞概率。

在精細能群結構(4～9 118 eV之間按等勒寬劃分39 000群)的基礎上，從最高能群遞歸求解式(1)，即可獲得φ(E)在超細群能群結構上的精細能譜。有效共振自屏截面的定義為：

(2)

其中：g為能群；Σ(E)為與能量相關的宏觀截面；Σg為g群的有效共振自屏截面。

將能譜φ(E)代入式(2)即可計算得到有效共振自屏截面。由式(1)可知，求解慢化方程的關鍵在于碰撞概率Pji的計算，而Pji與宏觀總截面Σt,i(E)相關。在超細群慢化方程求解的能量范圍內，Σt,i(E)會呈現共振現象，直接由Σt,i(E)在線計算碰撞概率非常耗時，故在基于碰撞概率方法(CPM, collision probability method)的組件計算程序(如SRAC程序[15])中，常采用預設Pji與Σt,i(E)插值表的形式，對Pji進行快速插值計算。對于1個壓水堆燃料柵元，如圖1a所示，將燃料棒在徑向按等體積劃分10環。在等溫分布的前提下，各環的連續能量宏觀總截面Σt,i(E)在多普勒展寬后可視為相同，故可預先計算若干Σt,i(E)下的Pji，形成插值表，在實際求解式(1)時進行快速插值計算。如圖1b所示，如果在徑向存在不等溫分布，則Pji的計算與10環的燃料溫度相關，如果建立Pji與10個燃料區域的Σt,i(E)的10維插值表，計算量太大。另一方面，如果對Pji進行在線計算，由于式(1)需在超細群結構上求解39 000次，Pji的計算量也很大。

圖1 燃料棒徑向分區(a)與不等溫分布(b)示意圖

為解決碰撞概率計算量的問題，MPACT程序[12]提出了一種基于等溫假設的碰撞概率模型：

(3)

1.2 基于溫度擾動模型的超細群方法

在SRAC程序中，針對系統中出現兩種不同的共振吸收體，式(1)的碰撞概率的求解需建立1個二維的插值表P(Σ1(E)，Σ2(E))，預先制作1個二維碰撞概率插值表的計算量是可接受的。對圖1b所示的燃料分區中，存在10個不同的溫度分區，可認為共有10種共振吸收體，SRAC程序中的二維碰撞概率插值表是無法直接使用的。

如果能將燃料區中10種不同溫度的分區問題分解為只存在兩種溫度的情況，則SRAC程序的二維碰撞概率插值表就可使用。根據這種思路，提出了溫度擾動模型，并定義如下影響因子：

(4)

類似地，假設在該等溫系統中，單獨對k區的溫度Tk產生了擾動ΔTk，則其影響因子為：

(5)

假設對j區和k區的溫度同時進行擾動，兩個燃料區的溫度變化對燃料棒整體的能譜有共同的影響，則該影響因子為：

(6)

觀察式(4)～(6)，近似假設對j區和k區的溫度同時擾動產生的影響因子等于對j區和k區的溫度單獨進行擾動的影響因子之乘積，則有：

(7)

式(7)的物理含義為，對于等溫分布的燃料棒，同時擾動多個燃料區的溫度對共振截面的影響，可分解為單獨擾動各燃料區的溫度對共振截面影響的乘積。基于該假設，對于圖1b中的不等溫分布問題，可認為是在等溫分布下對10個區域的溫度進行擾動的結果，則任意區域、任意核素的各能群的反應截面可近似表示為：

(8)

根據式(8)，基于溫度擾動模型的超細群方法計算不等溫問題的步驟如下：1) 首先基于超細群方法，計算等溫條件下各分區、核素、能群的各種反應截面，等溫溫度可選取各區溫度的平均值；2) 分別擾動第1～10區的溫度進行超細群計算，獲得新的截面并記錄每種擾動引起的η；3) 將10次擾動引起的η相乘，通過式(8)計算最終的共振截面。

由上述步驟，超細群程序共執行11次，其中等溫分布問題中只包含1個共振吸收體，而其他問題的計算中只包含兩個共振吸收體。因此，基于二維碰撞概率插值表的超細群程序就可應用于這套計算流程。

2 數值驗證

2.1 截面的計算精度

選取如圖1所示的壓水堆柵元問題，其幾何與材料分別來自于日本原子能院發布的下一代輕水堆UO2單柵元基準題[16]。燃料棒沿徑向等體積劃分為10環，由內至外分別為1～10區。基于SRAC程序的PEACO模塊[15]，開發了1套基于二維碰撞概率插值表的超細群慢化方程求解程序UFP。利用NJOY程序[17]對ENDF-B/Ⅶ進行處理得到特定溫度點下的點截面文件，作為UFP的數據庫。UFP程序的能群結構為從4～9 118 eV間均等的對數能降劃分。計算出超細群通量后，基于WIMS的69群能群結構[18]的15～27共振能群進行多群截面的歸并。

問題的基準來自于MCNP5的統計結果。各溫度點的ACE格式數據庫由NJOY程序生成，每代100 000個粒子，計算500代，舍棄100代，統計問題中各燃料區、各核素的微觀吸收反應率和中子通量密度，通過反應率除以通量獲得截面。由于燃料中共振自屏效應的主要來源是238U對中子的共振吸收截面，所以需重點對該截面進行分析。

利用UFP程序分別采用溫度擾動模型和等溫碰撞概率模型對壓水堆柵元問題進行了計算，并以MCNP5統計結果為基準進行了比較。圖2示出兩種模型在第1、4區的238U微觀吸收截面相對于MCNP5結果的偏差。圖3示出兩種模型在第23能群(48.052～75.5 eV)和第27能群(4～9.877 eV)的微觀吸收截面的相對偏差在徑向的分布。

由圖2可看出，燃料的內部區域，等溫碰撞概率模型所預測的238U微觀吸收截面明顯偏低，且靠近中心的第1區的相對偏差更大。這些偏差中，較大的相對偏差主要出現在較低的能量范圍內(<150 eV)。可以推測，由于238U的微觀吸收截面在較低能量范圍的共振峰較寬，共振峰截面較高，所以共振效應更強，而等溫碰撞概率模型引入的近似會造成更大的偏差。由圖3可看出，等溫碰撞概率模型的計算偏差在燃料棒靠近表面的分區較低，而在靠近中心的分區偏差增大，這與圖2的結論匹配。由圖2、3可見，溫度擾動模型均取得了相對精確的微觀截面計算結果，相對偏差小于2%。

a——第1區；b——第4區圖2 238U微觀吸收截面的相對偏差

a——第23群；b——第27群圖3 238U微觀吸收截面相對偏差在徑向的分布

2.2 反應率與無限增殖因數精度

為進一步分析溫度擾動模型和等溫碰撞概率模型的共振計算精度對輸運計算的影響，針對圖1所示的壓水堆單柵元問題，以兩種模型所計算的微觀吸收截面作為輸入數據，分別進行中子輸運計算，獲得反應率和無限增殖因數，用于評估兩種模型對最終中子學計算的影響。中子輸運計算采用了模塊化特征線計算程序MOCHA[19]。

為分析兩種模型在多種問題下的精度，設計了10組單柵元問題，10組單柵元問題的參數列于表1，采用的3種不等溫分布數據列于表2。表1中：問題1為2.1節壓水堆柵元問題，對比問題1、2可評估兩種共振計算模型在不同燃料成分下的精度；對比問題1、3、4、5可評估兩種模型在不同富集度問題下的精度；對比問題1、6、7、8可評估兩種模型在不同水鈾比下的精度；對比問題1、9、10可評估兩種模型在不同溫度梯度下的精度。

采用MOCHA程序進行輸運計算得到的238U微觀吸收反應率偏差可通過下式計算：

(9)

表3、4分別列出等溫碰撞概率模型和溫度擾動模型的238U微觀吸收反應率的偏差。

表1 10組壓水堆單柵元問題描述

注：1) 徑向不等溫分布的具體數據見表2

2) MOX燃料的成分取自日本原子能院發布的新一代輕水堆基準題[16]

表2 燃料棒徑向不等溫分布

表3 等溫碰撞概率模型的238U微觀吸收反應率偏差

表4 溫度擾動模型的238U微觀吸收反應率偏差

由表3中問題1、3、4和5的結果可見，等溫碰撞概率模型的238U微觀吸收反應率偏差隨燃料富集度的減小而增大；由問題1、6、7和8的結果可見，等溫碰撞概率模型的偏差隨水鈾比的增大而減小；從問題1、9和10可見，等溫碰撞概率模型的偏差隨徑向溫度梯度增大而增大。由表3、4可知，等溫碰撞概率模型在燃料棒靠近中心處的微觀吸收反應率偏差較大，且越靠近中心偏差越大，而溫度擾動模型在大多數問題和分區中精度較高。

由2.1節可知，等溫碰撞概率模型低估了238U在燃料內部區域的共振吸收現象。計算內部分區時，如第1區，其溫度為1 190 K，此時等溫碰撞概率模型在外圍的溫度也達到了1 190 K，而實際的最外區溫度只有820 K。根據多普勒展寬原理，溫度越高時共振吸收越強，那么等溫碰撞概率模型高估了中子在燃料外區的吸收，導致中子在燃料棒中的逃逸概率比實際偏低。根據等價理論[3]，偏低的中子逃脫概率會降低中子在238U核素的共振吸收，導致偏低的微觀吸收截面。本文提出的基于式(8)的溫度擾動模型考慮了各區的溫度對燃料棒內部徑向中子能譜的綜合影響，其截面和反應率的計算精度更高，更接近MCNP5的統計結果。

表5列出兩種模型計算的無限增殖因數的偏差。基準解來自于由MCNP5統計的微觀吸收截面作為輸入、以MOCHA程序進行計算的結果。由表5可看出，等溫碰撞概率模型所計算的無限增殖因數偏大，偏差約在100～200 pcm之間，主要原因是燃料棒內部分區的238U共振吸收截面被低估。溫度擾動模型的精度較高，偏差在10～50 pcm范圍內。可見，本文提出的溫度擾動模型提升了共振計算精度。

從計算流程看，等溫碰撞概率模型需計算10個溫度點下的碰撞概率，相當于10次超細群計算。溫度擾動模型需計算等溫分布問題和兩區溫度問題共11次，加之二維碰撞概率插值表的使用，計算消耗略高于等溫碰撞概率模型，但遠小于碰撞概率的在線計算和MCNP5的統計過程。因此，本文提出的溫度擾動模型在略高于等溫碰撞概率模型的計算消耗下，達到了更高的共振計算精度。

表5 單柵元問題的無限增殖因數偏差

3 結論

針對不等溫分布下與燃料棒徑向溫度相關的共振計算問題，提出了一種基于溫度擾動模型的超細群方法。溫度擾動模型將不等溫分布對燃料棒分區共振截面的影響，分解為單獨分區的溫度擾動帶來的影響，并通過乘積的方式，達到對最終結果的修正。采用了基于兩維碰撞概率插值的超細群方法進行計算，避免了碰撞概率的在線求解，節省了計算時間。結果表明，對于壓水堆單柵元基準問題，溫度擾動模型可將截面計算相對偏差控制在2%以下。通過改變基準問題設計了10組不同的壓水堆柵元問題并進行了計算，結果表明溫度擾動模型具有較高的反應率計算精度，其無限增殖因數偏差在50 pcm以下。此外，溫度擾動模型的計算消耗小于碰撞概率的在線計算和MCNP5的統計過程，在保證精度的同時具備較高的計算效率。