NECP-X中基于改進(jìn)泄漏項(xiàng)分割技術(shù)的二維/一維耦合輸運(yùn)方法

趙 晨，劉宙宇，曹良志，吳宏春

(西安交通大學(xué) 核科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，陜西 西安 710049)

當(dāng)前計(jì)算機(jī)發(fā)展水平下，二維/一維耦合輸運(yùn)因兼顧計(jì)算精度和計(jì)算效率已被廣泛應(yīng)用于全堆芯一步法輸運(yùn)計(jì)算[1]。二維/一維耦合輸運(yùn)方法將一個(gè)三維問(wèn)題分為一系列徑向二維問(wèn)題和軸向一維問(wèn)題，并通過(guò)泄漏項(xiàng)進(jìn)行耦合。國(guó)際上，對(duì)于二維/一維耦合方法進(jìn)行了較為廣泛的研究，基于該方法開(kāi)發(fā)了一系列程序，包括CRX-3D[2]、DeCART[3]、nTRACER[4]、MPACT[5-6]等。

國(guó)內(nèi)外對(duì)于二維/一維耦合輸運(yùn)方法的研究主要集中在精度、穩(wěn)定性、效率、內(nèi)存幾方面。一維輸運(yùn)方法研究[7]和泄漏項(xiàng)重構(gòu)方法[8]提高了二維/一維耦合輸運(yùn)方法的計(jì)算精度；通過(guò)基于空間、角度、特征線的多重并行很好地解決了內(nèi)存及效率問(wèn)題[9]。由泄漏項(xiàng)造成的穩(wěn)定性問(wèn)題，成為二維/一維耦合輸運(yùn)方法中最重要的問(wèn)題之一。對(duì)于徑向二維特征線法(MOC)方程，方程右端的軸向泄漏項(xiàng)造成總源項(xiàng)可能出現(xiàn)負(fù)值，由此可能造成計(jì)算過(guò)程中產(chǎn)生負(fù)通量導(dǎo)致迭代發(fā)散。對(duì)于軸向采用擴(kuò)散方法、泄漏項(xiàng)采用各向同性近似的二維/一維耦合方法，密歇根大學(xué)通過(guò)引入松弛因子提高了穩(wěn)定性[5-6]，但該方法對(duì)于各向異性泄漏項(xiàng)并不完全適用，且松弛因子方法并未從本質(zhì)上解決負(fù)源項(xiàng)造成的收斂性問(wèn)題。針對(duì)基于各向同性泄漏的二維/一維耦合方法的不穩(wěn)定問(wèn)題，MPACT通過(guò)泄漏項(xiàng)分割方法，提高了穩(wěn)定性的同時(shí)保持了較好的精度。但對(duì)于各向異性泄漏項(xiàng)的二維/一維耦合方法，該方法會(huì)帶來(lái)十分嚴(yán)重的精度損失。針對(duì)各項(xiàng)異性泄漏項(xiàng)的二維/一維耦合輸運(yùn)方法，國(guó)際、國(guó)內(nèi)均未做相關(guān)研究。

本文基于西安交通大學(xué)開(kāi)發(fā)的數(shù)值反應(yīng)堆物理計(jì)算軟件NECP-X[10-14]，對(duì)原有的基于標(biāo)通量的泄漏項(xiàng)分割方法進(jìn)行分析，針對(duì)各向異性泄漏項(xiàng)的二維/一維耦合方法提出改進(jìn)的泄漏項(xiàng)分割方法，在內(nèi)存稍有增加的情況下，解決二維/一維耦合方法中存在的穩(wěn)定性問(wèn)題，同時(shí)克服原有泄漏項(xiàng)分割方法精度損失的問(wèn)題。

1 理論模型

1.1 二維/一維耦合輸運(yùn)方法及負(fù)源項(xiàng)問(wèn)題

角度能量離散后的三維中子輸運(yùn)方程可寫(xiě)為如下形式：

Qg(x,y,z)

(1)

其中：ε、η、μ分別為x、y、z方向的方向余弦；Σt,g(r)為總截面；ψg,m(x,y,z)為空間(x,y,z)上m方向的角通量，即中子輸運(yùn)方程中的未知量；Qg(x,y,z)為總源項(xiàng)，包括裂變?cè)醇吧⑸湓?，具體形式如下：

(2)

其中：χg為裂變譜；(νΣf)g′為第g′群的裂變截面；Σs0,g′→g為第g′群到第g群的散射截面；φg′(x,y,z)為標(biāo)通量。

將式(1)在軸向?qū)覮內(nèi)進(jìn)行積分，得到徑向二維方程：

(3)

(4)

將式(1)在徑向棒p內(nèi)進(jìn)行積分，得到軸向一維方程：

(5)

(6)

NECP-X程序軸向計(jì)算采用SN差分方法，基于不作近似的各向異性泄漏項(xiàng)進(jìn)行耦合，二維/一維迭代直至特征值和裂變率收斂。迭代過(guò)程中，由于軸向泄漏項(xiàng)的存在造成式(3)右端源項(xiàng)可能出現(xiàn)負(fù)值，在MOC計(jì)算過(guò)程中，負(fù)源項(xiàng)有可能造成沿特征線的出射角通量、平均角通量為負(fù)，從而在二維計(jì)算中產(chǎn)生負(fù)通量，導(dǎo)致迭代發(fā)散。

1.2 泄漏項(xiàng)分割方法

泄漏項(xiàng)分割方法的基本公式如下：

Σt,g(x,y)ψg,m(x,y)+ΣL,g(x,y)ψg,m(x,y)=

(7)

其中，

各向同性泄漏項(xiàng)和基于標(biāo)通量的泄漏項(xiàng)分割方法被應(yīng)用于MPACT程序中，并取得了較好的效果。但對(duì)于各向異性泄漏項(xiàng)，基于標(biāo)通量的泄漏項(xiàng)分割方法會(huì)造成不可接受的精度損失，因此需要一種適用于各向異性泄漏項(xiàng)的改進(jìn)的泄漏項(xiàng)分割方法。

1.3 改進(jìn)的泄漏項(xiàng)分割方法

式(7)中最精確的選擇是選擇各平源區(qū)各角度的角通量進(jìn)行泄漏項(xiàng)分割，如式(8)～(10)所示。這樣處理后的式(7)與式(3)完全等效，未作任何近似。然而這種方法需存儲(chǔ)每個(gè)平源區(qū)每個(gè)角度每個(gè)能群的角通量，對(duì)于大規(guī)模問(wèn)題這種方法帶來(lái)的內(nèi)存負(fù)擔(dān)是無(wú)法接受的，因此不具備實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

(8)

Qg(x,y),0)

(9)

(10)

對(duì)此，本文提出了改進(jìn)的泄漏項(xiàng)分割方法消除二維/一維耦合方法中的負(fù)源項(xiàng)問(wèn)題，并在內(nèi)存可接受的情況下保持二維/一維耦合計(jì)算的精度。因此應(yīng)基于角通量的泄漏項(xiàng)分割技術(shù)，并且不保存平源區(qū)的角通量從而降低內(nèi)存需求。

為數(shù)值上顯示棒內(nèi)平均角通量和平源區(qū)角通量的分布特點(diǎn)，設(shè)計(jì)了1個(gè)強(qiáng)泄漏算例，如圖1所示。燃料棒在徑向?yàn)?×3布置，沿軸向布置2層燃料和1層水，分析的3個(gè)平源區(qū)分布也如圖1所示。計(jì)算條件為：1個(gè)卦限內(nèi)采用8個(gè)幅角3個(gè)極角，第1群的棒內(nèi)平均角通量分布如圖2所示，第1群的3個(gè)平源區(qū)內(nèi)角通量分布如圖3所示。

圖1 強(qiáng)泄漏算例幾何及棒內(nèi)平源區(qū)分布

圖2 第1群棒內(nèi)平均角通量分布

如圖2、3所示，每條線表示特定極角方向上角通量沿幅角的分布，棒內(nèi)均勻化的角通量分布與3個(gè)平源區(qū)的形狀類似，因此棒內(nèi)均勻化的角通量分布可近似表示棒內(nèi)各平源區(qū)的各向異性效應(yīng)?；谝陨辖?，各平源區(qū)內(nèi)的角通量分布可采用標(biāo)通量和棒內(nèi)均勻化的角通量分布重構(gòu)得到，即：

(11)

其中：m為角度序號(hào)；i為平源區(qū)序號(hào)；pin代表棒內(nèi)均勻化通量。

圖3 第1群各平源區(qū)角通量分布

基于這種重構(gòu)方法，僅需存儲(chǔ)棒內(nèi)均勻化的角通量，存儲(chǔ)量與泄漏項(xiàng)相同，在可接受范圍內(nèi)。與原有泄漏項(xiàng)分割方法相比，在較小內(nèi)存需求下獲得平源區(qū)的角通量分布，實(shí)現(xiàn)基于角度各向異性的泄漏項(xiàng)分割技術(shù)，提高二維/一維耦合方法計(jì)算精度。

2 數(shù)值結(jié)果

2.1 計(jì)算精度分析

1) 強(qiáng)泄漏算例

該算例中，強(qiáng)泄漏和強(qiáng)各向異性效應(yīng)通過(guò)設(shè)置徑向真空邊界條件引入，幾何如圖1所示。燃料棒在徑向3×3布置，沿軸向布置2層燃料和1層水?；谶@個(gè)3×3算例，可將問(wèn)題拓展至7×7、17×17等更大規(guī)模，建立不同的各向異性問(wèn)題，從而研究各向異性對(duì)計(jì)算精度的影響。

該算例中，二維/一維耦合方法未出現(xiàn)負(fù)源項(xiàng)引起的迭代發(fā)散問(wèn)題，因此可采用不帶泄漏項(xiàng)分割方法的二維/一維耦合方法的結(jié)果作為基準(zhǔn)解，比較傳統(tǒng)基于標(biāo)通量的泄漏項(xiàng)分割方法、改進(jìn)的泄漏項(xiàng)分割方法、基于平源區(qū)角通量的泄漏項(xiàng)分割方法的計(jì)算結(jié)果。特征值計(jì)算結(jié)果列于表1。傳統(tǒng)基于標(biāo)通量的泄漏項(xiàng)分割方法嚴(yán)重影響計(jì)算精度，泄漏越強(qiáng)各向異性越強(qiáng)，計(jì)算精度越差。采用改進(jìn)的泄漏項(xiàng)分割方法可顯著地提高計(jì)算精度，最精確的是基于平源區(qū)角通量的泄漏項(xiàng)分割方法。

表1 強(qiáng)泄漏算例的特征值計(jì)算結(jié)果

2) C5G7基準(zhǔn)題全插棒算例

C5G7 OECD/NEA是知名輸運(yùn)計(jì)算基準(zhǔn)題，包括不帶棒(unrodded)、半插棒(rodA)、全插棒(rodB)3個(gè)算例，表2列出了全插棒算例的計(jì)算結(jié)果。計(jì)算過(guò)程中，燃料棒采用48個(gè)平源區(qū)、反射層棒采用64個(gè)平源區(qū)，1個(gè)卦限內(nèi)采用8個(gè)幅角3個(gè)極角，特征線寬度為0.03 cm。軸向上，燃料區(qū)分12層，反射層區(qū)分6層，每層3.57 cm。軸向細(xì)網(wǎng)為1 cm。

從表2可看出，改進(jìn)的泄漏項(xiàng)分割方法特征值與基準(zhǔn)解相比相差45 pcm，全局最大棒功率偏差為1.94%，計(jì)算精度較好，與不用泄漏項(xiàng)分割方法的計(jì)算精度相當(dāng)。然而基于傳統(tǒng)標(biāo)通量的泄漏項(xiàng)分割方法，特征值偏差達(dá)到300 pcm，最大棒功率偏差為15%。結(jié)果表明，傳統(tǒng)泄漏項(xiàng)分割方法對(duì)于C5G7這類具有較強(qiáng)各向異性的算例會(huì)帶來(lái)較為嚴(yán)重的精度損失，而改進(jìn)的泄漏項(xiàng)分割方法可獲得較高的計(jì)算精度。

表2 C5G7 rodB算例計(jì)算結(jié)果

3) VERA-3A基準(zhǔn)題算例

VERA基準(zhǔn)題發(fā)布于2014年，提供了從柵元到堆芯、從二維到三維的一系列基準(zhǔn)題，數(shù)據(jù)多來(lái)自Batts Bar壓水堆核電站，因此該基準(zhǔn)題是具有真實(shí)參數(shù)的實(shí)際問(wèn)題。VERA-3A是一個(gè)三維組件問(wèn)題，在NECP-X程序中，對(duì)復(fù)雜幾何進(jìn)行了詳盡描述，包括格架、上下管座、下端塞等。燃料棒劃分40個(gè)平源區(qū)、反射層劃分64個(gè)平源區(qū)，1個(gè)卦限包括8個(gè)幅角3個(gè)極角，特征線線寬為0.03 cm，軸向劃分66層，采用66個(gè)核并行。表3列出了特征值和棒功率計(jì)算結(jié)果，圖4～6示出了軸向、徑向棒功率分布結(jié)果。與KENO計(jì)算結(jié)果相比，特征值偏差小于20 pcm，最大棒功率偏差約1%，表明改進(jìn)的泄漏項(xiàng)分割方法具有較高的計(jì)算精度。

表3 VERA-3A基準(zhǔn)題計(jì)算結(jié)果

圖4 VERA-3A基準(zhǔn)題軸向積分功率偏差

圖5 VERA-3A基準(zhǔn)題不用泄漏項(xiàng)分割方法徑向積分功率偏差

圖6 VERA-3A基準(zhǔn)題改進(jìn)的泄漏項(xiàng)分割方法徑向積分功率偏差

2.2 內(nèi)存分析

本文針對(duì)2個(gè)7群算例分析了改進(jìn)的泄漏項(xiàng)分割方法的內(nèi)存要求，1個(gè)是7群軸向6層單組件算例，另1個(gè)是C5G7基準(zhǔn)題全插棒算例。計(jì)算條件與C5G7基準(zhǔn)題完全一致，內(nèi)存使用量列于表4。計(jì)算結(jié)果表明基于平源區(qū)角通量的泄漏項(xiàng)分割方法占用的內(nèi)存是不用泄漏項(xiàng)分割方法的8倍，對(duì)于C5G7基準(zhǔn)題，該方法已無(wú)法在64G單節(jié)點(diǎn)上進(jìn)行計(jì)算，因此對(duì)于更大規(guī)模問(wèn)題，這種基于平源區(qū)角通量的泄漏項(xiàng)分割方法是不實(shí)用的。另一方面，改進(jìn)的泄漏項(xiàng)分割方法雖然內(nèi)存占用有所增加，但增加量較小，對(duì)于C5G7基準(zhǔn)題僅增加9.5%，該方法在更大規(guī)模問(wèn)題上仍是可接受的。

表4 基于7群算例的內(nèi)存分析結(jié)果

2.3 穩(wěn)定性分析

在1.1節(jié)介紹了二維/一維方法中潛在的負(fù)源項(xiàng)造成迭代發(fā)散的問(wèn)題。對(duì)于VERA-3A基準(zhǔn)題算例，計(jì)算條件與VERA-3A基準(zhǔn)題完全相同，使用outflow輸運(yùn)修正，分別利用24個(gè)核和66個(gè)核進(jìn)行并行計(jì)算。因?yàn)樵诘^(guò)程中，反射層區(qū)域出現(xiàn)了很負(fù)的源項(xiàng)，導(dǎo)致了迭代發(fā)散的問(wèn)題。而改進(jìn)的泄漏項(xiàng)分割方法可解決負(fù)源項(xiàng)造成的迭代發(fā)散問(wèn)題，計(jì)算結(jié)果列于表5。

表5 對(duì)于VERA-3A基準(zhǔn)題的穩(wěn)定性分析結(jié)果

3 總結(jié)

二維/一維耦合輸運(yùn)方法中由于泄漏項(xiàng)的存在，導(dǎo)致潛在不穩(wěn)定的問(wèn)題。針對(duì)各向異性泄漏項(xiàng)，傳統(tǒng)的基于標(biāo)通量的泄漏項(xiàng)分割方法在計(jì)算強(qiáng)各向異性問(wèn)題時(shí)，會(huì)造成較大的精度損失。本文提出了一種改進(jìn)的泄漏項(xiàng)分割方法，在不造成精度損失的情況下解決了二維/一維耦合輸運(yùn)方法中的穩(wěn)定性問(wèn)題。

改進(jìn)的泄漏項(xiàng)分割方法中，通過(guò)棒內(nèi)均勻化角通量分布和平源區(qū)標(biāo)通量在線重構(gòu)平源區(qū)角通量分布。數(shù)值結(jié)果表明棒內(nèi)均勻化的角通量分布可近似模擬平源區(qū)的角度各向異性，從而在不保存平源區(qū)角通量的情況下保持二維/一維耦合輸運(yùn)方法的計(jì)算精度。

通過(guò)強(qiáng)泄漏算例、C5G7基準(zhǔn)題、VERA-3A基準(zhǔn)題分析了改進(jìn)的泄漏項(xiàng)分割方法的計(jì)算精度、內(nèi)存要求和穩(wěn)定性。數(shù)值結(jié)果表明，改進(jìn)的泄漏項(xiàng)分割方法可在增加有限內(nèi)存的條件下，保持二維/一維耦合方法的計(jì)算精度，并顯著提高其穩(wěn)定性。