不同壽險精算模型下均衡純保費的責任準備金的探究

宋鵬飛 高符嚴山東大學數學學院

由于自然保費與均衡純保費的差異，在壽險精算模型下形成了均衡純保費責任準備金。

雖然從整個保單的期限來說，保險金的支出和保費的收入應當是平衡關系，但是根據現有的生命表的規律顯示，隨著被保險人年齡的增加，自然保費也是相應增加的，所以雖然前期的均衡純保費往往大于自然保費，但是到了后期均衡純保費是不足以支付自然保費的。為了彌補自然保費后期的不足，保險人必須將均衡純保費在前期超過自然保費的部分積累起來，以此來為后期提供充足的保費，這部分資金也就被稱為保險人的責任準備金。同時也正是因為存在責任保證金，壽險保單才能被稱為具有價值，此價值被稱為保單價值。

以下，我們對各類由不同躉繳純保費與繳納保費的方式產生的均衡純保費責任準備金進行探究。以年齡為x歲的終身壽險舉例，以與分別表示保險受益金在死亡所在年度末支付與立即支付的躉繳純保費；以與分別表示年初付終身生存年金精算現值與連續型終身生存年金精算現值；以P表示均衡純保費的主體字母。

一、全離散型終身壽險模型的責任準備金

全離散型壽險模型指保費按期初付生存年金方式繳付,死亡給付在死亡所在的保單有效年度末支付的離散型保險模型，這種方式導出的均衡純保費的責任準備金我們稱作全離散式壽險模型的責任準備金。

以1單位普通終身壽險為例，導出責任準備金公式：設年齡為x歲的被保險人的年繳純保費為，在x+k歲時的剩余壽命周年數用隨機變量表示，保險人在時刻k的損失為,是每年年初付1單位終身生存年金的現值，且我們有,所以我們可得到k時刻期末責任準備金的未來法公式為，其余類型的責任準備金可由其定義做類似推導。

二、全連續型終身壽險模型責任準備金

全連續型壽險模型指保費按期初付連續生存年金方式繳付，死亡給付在死亡發生時刻立即支付的連續型保險模型，這種方式導出的均衡純保費的責任準備金我們稱作全連續型壽險模型的責任準備金。

我們以年齡為x歲的保額為1單位全連續式終身壽險的責任準備金為例，保險金在被保險人死亡時立即給付，年繳純保費用符號表示。設該保單在t年的純保費責任準備金為，隨機變量U表示年齡為x+t歲者的未來壽命，則該壽險的保險損失為，則有。其余類型的責任準備金也可按照其具體定義類推。

三、半連續型終身壽險模型的年繳均衡純保費

半連續型終身壽險模型分為兩種，它們之間的區別主要在于保費繳費方式與死亡賠償金的支付方式。其中一種為保費按起初付連續生存年金方式繳付，死亡給付在死亡發生時刻立即支付的保險模型，但是在實務中更為常見的是保費按期初付生存年金方式繳付，死亡給付在死亡所在的保單有效年度末支付的保險模型，這種方式導出的均衡純保費的責任準備金我們稱作半連續型壽險模型的責任準備金。

我們同樣以年齡為x歲的保額為1單位半連續式終身壽險的責任準備金為例，保險金在被保險人死亡時立即給付，年繳純保費用符號表示。我們可設被保險人在x+k歲時的剩余壽命周年數用隨機變量表示，被保險人在x+k歲時的未來壽命用隨機變量U表示，則保險人在時刻k的損失為是每年年初付1單位終身生存年金的現值，且我們有,所以我們可得到k時刻期末責任準備金的未來法公式為，其余類型的責任準備金可由其定義做類似推導。

根據幾種計算公式的推導，可以看出責任準備金的計算原理為保險人損失的預期期望，即E[L]。依此來平衡自然保費與均衡純保費的差異，使得壽險保單才能被稱為具有價值。

顯然，我們推導的全連續模型與半連續模型中保險費按連續型生存年金繳付這兩種類型在現實生活中是不可操作的，但我們仍可從理論上對它們進行同等程度的討論，因為這有助于我們完善整個壽險精算理論體系。