抽象函數解題策略探研

陳曦陽

重慶市育仁中學 重慶 400000

前言

說它抽象也不抽象，抽象函數在高中數學中卻是一大重點學習內容，其對學生各方面思維能力都有較高要求，思維的轉換和解題變通尤為重要，要熟悉并掌握函數的基本知識，這是基本能力。本篇文章會根據在解決抽象函數所遇到的問題進行解析，著重分析目前高中數學中的各種抽象函數的學習技巧，同時研究出解決這些問題的策略。

一、高中數學抽象函數的常見題型及解決策略

正所謂抽象函數，它不會給出具體一些解析式給你，只是提示你式子有什么函數特征，難就是難在這里了，下面介紹幾種抽象的具體問題形式和一些解析題型的方法。

1.1 給出一函數定義域求另一函數定義域 一般一函數的定義域為A，求另一函數定義域，就是已經給出了我們所給函數取值的范圍了，我們就此便可以解出所求。

學生在學習態度上在很大程度上影響著學生學習知識的效果。因為抽象函數的學習會耗費大量腦力，不能中途懈怠。所以這部分知識的難度也是可想而知。高考數學中，抽象函數題型綜合題一般最后一題中進行考查。當然，各地考卷不同，安排題型順序也不一樣。但難度一致，這些都是學生在學習數學的過程中需要重點克服的短板問題。

學生在實際操練時看到的往往只是題目本身的含義，而沒有深入地考慮問題內在的邏輯和普遍規律。在解決問題時，學生的最終目的大都是解出最終答案的數值，而很少有人主動深入探究問題，從多個層次、多角度地分析得出最適方法。

1.2 給出函數定義域，同時也給出滿足的條件，求賦值函數的值 這題型的解決關鍵在于未知與已知之間的聯系，在腦海中對函數進行另一種賦值，便能知道未知已知之間的關系?？剂苛藗€人的抽象思維，所以解這樣的題目就要自己去多次賦值以達解決目的，很多學校對高中數學的抽象函數這一部分的內容有著很大重視，因為該部分將函數與實際數模結合得很緊密。通常作為壓軸放在最后一大題，但不代表學生要放棄這一題。

學生在高考中普遍存在放棄最后一題的現象，在此給出提議，抽象函數不是那么可怕，技巧性非常強，不能光看題目就覺得這很難，一定得抽出時間來完成這一種題型，平時也要養成這種習慣進行“題海式”實際操練。此外，部分學校在教抽象函數的方法上，常常會忽略學生課后思考和探究的重要作用，不能做到與學生進行知識掌握程度的溝通，忽略了學生發散性思維的培養和提升，這樣就不能更好得提高學生想象能力了。

1.3 給出條件，求出函數它的解析式 這是常見題型之一，看清楚變量之間有什么關系，有多少個變量，盡量通過轉化使變量減少，最后保留一個變量。通常也是要為函數賦予它值達到變量“變沒”。高中的數學講的就是人思維邏輯變通，靠著邏輯演繹推進和發展。這種抽象函數題型好比一個洋蔥，要不斷撥開外面的皮才看得到它在內的本質，最后還是要多練這種題目然后總結技巧。

1.4 利用函數對稱性求賦值函數的值 遇到這種題目，可以觀察到它要代入的量很大，很多多同學便感到棘手。在解決問題之前要掌握各類函數對稱的性質。下面給出一題，幫助大家更好的了解：

例8.已知函數y＝f(x)滿足f(x)+f(-x)＝2002，求f-1(x)+f-1(2002-x)的值。

解：已知式即在對稱關系式f(a+x)+f(a-x)＝2b中取a＝0，b＝2002，所以函數y＝f(x)的圖象關于點(0，2002)對稱。根據原函數與其反函數的關系，知函數y＝f-1(x)的圖象關于點(2002，0)對稱。

所以f-1(x+1001)+f-1(1001-x)＝0

將上式中的x用x-1001代換，得f-1(x)+f-1(2002-x)＝0

關于點或者中心對稱的問題不少見，關鍵還是要清楚函數的性質結合賦值迭代求出最終結果。

5 綜合性抽象函數

此題型的抽象函數在以上題型加大了難度，需結合各個性質并貫通它們。

例9.定義在R上的函數f(x)滿足：對任意實數m，n，總有f(m+n)＝f(m)·f(n)，

且當x＞0時，0＜f(x)＜1。

(1)判斷f(x)的單調性；

(2)設A＝{(x，y)|f(x2)·f(y2)＞f(1)}，

解：(1)在f(m+n)＝f(m)·f(n)中，令m＝1，n＝0，得f(1)＝f(0)，因為f(1)≠0，所以f(0)＝1。

在f(m+m)＝f(m)·f(n)中，令m＝x，n＝-x

因為當x＞0時，0＜f(x)＜1

所當x＜0時-x＞0，0＜f(-x)＜1

而f(x)·f(-x)＝f(0)＝1

又當x＝0吋，f(0)＝1＞0，所以，綜上可知，對于任意x∈R，均有f(x)＞0。

設-∞＜x1＜x2＜+∞，則x2-x1＞0，0＜f(x2-x1)＜1

所以f(x2)＝f[x1+(x2-x1)]＝f(x)·f(x2-x1)＜f(x1)

所以y＝f(x)在R上為減函數。

(2)由于函數y＝f(x)在R上為減函數，所以f(x2)·f(y2)＝f(x2+y2)＞f(1)

即有x2+y2＜1

這一題涉及到單調性那就一定要考慮兩個問題，第一f＜0＞的取值問題，二是f(x)＞0的結論。綜合題就是會考量多個方面的運用，從特殊到一般，遵循這個原則就能循序漸進了。

二、抽象函數填空題應試技巧

如果臨近高考，大家都應該認識到，就數學知識和數學能力而言，經過一年的復習，到了這個時候，大家的能力基本已經定型了，已經是定在了那個級別，那么基本上臨近高考的這些天這個級別不會產生太大的變化。因此，我們的復習的關鍵是要把你這一年來復習工作的收獲盡量地歸納總結，然后總結出屬于自己的應試技巧，這個技巧也會決定你的考場應付能力，所以也應著重培養一下。以下有幾個填空題的應試技巧：

2.1 直接法 直接法也可理解成直接代入法，結合它的函數性質，定理等所有知識進行代入，直接出結果。

2.2 特殊化法 當填空題的結論唯一或題設條件中提供的信息暗示答案是一個定值時，可以把題中變化的不定量用特殊值代替，即可以得到正確結果。

2.3 數形結合法 對于一些含有幾何背景的填空題，若能數中思形，以形助數，則往往可以簡捷地解決問題，得出正確的結果。

2.4 等價轉化法 將問題等價地轉化成便于解決的問題，從而得出正確的結果。解決恒成立問題通常可以利用分離變量轉化為最值的方法求解。

解答這些題型的時候，先做有依據去解決的題，該拿的分一定要拿到。應試技巧要在各種模擬考試中去自己摸索出來，如果程度較好的同學可以兩天做一次選擇和填空題的訓練，這個就是所謂經常熱身。另外在熱身中，尋求解題的成功率和提高解題速度。

另外通過圖象，學生也可以在腦海中更加直觀地建立問題模型，更加清晰又充分地解讀題意。運用數形結合的數學思想解決函數問題、能夠大大提高學生的學習效率以及學生的理解效率。圖象的運用既能夠將抽象問題變得直觀化、形象化，也能夠幫助學生更加容易地理解題意。

三、總結

高中數學教學要求教師準確把握各章節知識點的重點和難點，在抽象函數知識的講解中，不可過偏地抓重點和難點，而是要在把據基礎知識的前提下，做一些拓展知識的介紹。考慮到抽象函數部分的內容難度較大，教師在講解過程中應當把據好沒一個章節的節奏，給予學生適當的鼓勵，讓學生能夠充滿自信的去學習和解題。