數(shù)形結(jié)合明晰算理

黃趙勇

【教材分析】

“小數(shù)乘小數(shù)”一課是人教版教材五年級上冊“小數(shù)單元”的例3，安排在“小數(shù)乘整數(shù)”之后學(xué)習(xí)，為后續(xù)的“小數(shù)除法”的學(xué)習(xí)鋪墊。教材編排意在從問題情境中引出小數(shù)乘小數(shù)的生活需求，在計(jì)算方法上只展示出列豎式這一種計(jì)算方法，包含著轉(zhuǎn)化成整數(shù)乘法計(jì)算的思想，用“積的變化規(guī)律”作為計(jì)算的算理解釋。（如下圖）

【學(xué)情分析】

學(xué)生在前期的學(xué)習(xí)中已經(jīng)掌握了“整數(shù)乘整數(shù)”“小數(shù)乘整數(shù)”的計(jì)算方法和算理，也有了算法多樣的經(jīng)驗(yàn)積累，如通過單位換算來將小數(shù)轉(zhuǎn)化為整數(shù)計(jì)算和列豎式計(jì)算等。同時，學(xué)生也有一定的知識遷移經(jīng)驗(yàn)積累，能密切感受到小數(shù)與整數(shù)之間的聯(lián)系與區(qū)別。但是，學(xué)生較難從數(shù)的意義角度去思考數(shù)的運(yùn)算，對數(shù)的運(yùn)算算理的理解是淺薄的。

【設(shè)計(jì)理念】

1.從數(shù)的本質(zhì)上明晰算理

為什么積的小數(shù)位數(shù)和所有乘數(shù)的小數(shù)位數(shù)之和是一樣的呢？教材給出的解釋是應(yīng)用“積的變化規(guī)律”，但是這并不是算理的本質(zhì)。積的變化規(guī)律應(yīng)該只能作為小數(shù)乘小數(shù)的計(jì)算方法的演繹推理或驗(yàn)證方法。華羅庚說：“數(shù)（shù）起源于數(shù)（shǔ），量（liàng）起源于量（liáng）。”每個數(shù)都是計(jì)數(shù)單位度量的結(jié)果，是計(jì)數(shù)單位的積累。小數(shù)是數(shù)，小數(shù)的運(yùn)算就應(yīng)該緊扣數(shù)的意義和計(jì)數(shù)單位，其本質(zhì)是算理，這節(jié)課重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)的意義和乘法的意義角度去明晰小數(shù)乘法的算理，小數(shù)乘小數(shù)的本質(zhì)是計(jì)算單位的運(yùn)算，那么0.1×0.1的算理就是基礎(chǔ)，它表示十分之一的十分之一，0.1×0.1得到了一個新的統(tǒng)一的計(jì)數(shù)單位0.01。在這個基礎(chǔ)上再理解一位小數(shù)乘一位小數(shù)的算法。

2.數(shù)形結(jié)合理解算理

對于小數(shù)乘小數(shù)的算理和算法的建構(gòu)，采用數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)行探究。對于0.1×0.1的理解，利用百格圖直觀幫助學(xué)生理解十分之一的十分之一是百分之一，在此基礎(chǔ)上，再用正方體代表“1”，理解0.01×0.1=0.001。這樣能溝通知識之間的聯(lián)系，把握知識的本質(zhì)，凸顯轉(zhuǎn)化思想。將一個數(shù)與小乘相乘的積與原數(shù)的大小進(jìn)行比較，也能通過條形圖直觀地顯示出來。

3.注重知識網(wǎng)絡(luò)建構(gòu)，促進(jìn)算法遷移

在小數(shù)乘小數(shù)計(jì)算方法這一基本技能的教學(xué)中，注重算法多樣化，讓學(xué)生根據(jù)已有的關(guān)于小數(shù)乘整數(shù)的計(jì)算方法、積的變化規(guī)律等知識和經(jīng)驗(yàn)來自主探究小數(shù)乘小數(shù)的計(jì)算方法，利用已有知識解決新問題。整數(shù)乘法和小數(shù)乘法在算理本質(zhì)上是相同的，幫助學(xué)生理解算理之間的聯(lián)系：都是若干個計(jì)數(shù)單位的運(yùn)算，整數(shù)是幾個一乘幾個一，小數(shù)乘法是幾個十分之一乘幾個十分之一，得到幾個百分之一……從數(shù)的本質(zhì)上理解了算理后，學(xué)生在構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)的基礎(chǔ)上，自然能進(jìn)行算法遷移，對于更多位小數(shù)的運(yùn)算迎刃而解，學(xué)習(xí)能力不斷提升。

【教學(xué)目標(biāo)】

1.知識技能：通過舊知遷移，引導(dǎo)學(xué)生自主探究小數(shù)乘小數(shù)的多種計(jì)算方法，并從數(shù)的意義角度理解小數(shù)乘小數(shù)的算理。引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)基本算法，并掌握確定積的小數(shù)點(diǎn)位置時特殊情況處理方法。引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)一個因數(shù)比1大（或小）時，積和另一個因數(shù)的大小關(guān)系。

2.過程方法：通過數(shù)形結(jié)合理解算理，把握數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，在自主探究、合作交流匯報(bào)中發(fā)展學(xué)生的思維，在對比溝通中構(gòu)建知識體系，發(fā)展知識遷移能力。

3.情感態(tài)度價值觀：讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，感受數(shù)學(xué)知識之間的緊密聯(lián)系，感受數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)性。

【教學(xué)重點(diǎn)】小數(shù)乘小數(shù)的多種計(jì)算方法，并從數(shù)的意義角度理解小數(shù)乘小數(shù)的算理。

【教學(xué)難點(diǎn)】小數(shù)乘小數(shù)的算理理解。

【教學(xué)預(yù)案】

一、提取信息，提出問題

1.出示情境：（如下圖）

2.從中得到哪些數(shù)學(xué)信息？能根據(jù)這些數(shù)學(xué)信息提出什么數(shù)學(xué)問題？

預(yù)設(shè)1：宣傳欄的面積是多少平方米？

預(yù)設(shè)2：給宣傳欄刷油漆需要多少千克油漆？

二、初探算法，理解算理（一位小數(shù)乘一位小數(shù)）

1.列式：解決問題1“宣傳欄的面積是多少平方米”

2.估一估2.4×0.8的近似結(jié)果

3.自主探究算法：請用你的方法計(jì)算2.4×0.8，并把你的想法表達(dá)清楚

4.匯報(bào)交流：請你展示你的作品并解釋想法

預(yù)設(shè)方法①：24分米×8分米=192平方分米=1.92平方米。

追問：如果沒有單位名稱怎么辦？這樣的方法適用于所有的小數(shù)乘小數(shù)嗎？

預(yù)設(shè)方法②：24×8=192，從后面數(shù)兩位，點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)，2.4×0.8=1.92。

追問：為什么小數(shù)點(diǎn)點(diǎn)在這里？

預(yù)設(shè)方法③：列豎式。

追問：列豎式中運(yùn)用了一個什么數(shù)學(xué)知識？（積的變化規(guī)律）

預(yù)設(shè)方法④：24個0.1×8個0.1=192個0.01=1.92

追問：為什么是192個0.01，而不是192個0.1呢？

【設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生在小數(shù)乘整數(shù)學(xué)習(xí)中有一定的知識和經(jīng)驗(yàn)累積，給學(xué)生自主探究的空間，注重算法多樣化，在不同算法中抓住思維關(guān)鍵點(diǎn)進(jìn)行追問，幫助學(xué)生思考算法背后的算理。】

5.數(shù)形結(jié)合，理解算理

①0.1×0.1

0.1×0.1表示十分之一的十分之一，我們用一個正方形表示1，那么0.1×0.1可以怎么表示呢？

根據(jù)學(xué)生的描述出示直觀圖（如右圖）：十分之一的十分之一就是一百分之一，也就是0.01，得出0.1×0.1=0.01。

②2.4×0.8

2.4×0.8就是24個0.1乘8個0.1就是129個0.01，也可以用圖表示出來。（如下圖）

6.總結(jié)算法，對比溝通

①同學(xué)們有了四種思考方法，各用了什么知識方法呢？

總結(jié)：單位換算;轉(zhuǎn)化為整數(shù)計(jì)算;運(yùn)用積的變化規(guī)律;根據(jù)數(shù)的意義進(jìn)行計(jì)算。

②各個方法中有什么共同點(diǎn)？

總結(jié)：都有24×58=192的計(jì)算過程，就是把小數(shù)乘法轉(zhuǎn)化為整數(shù)乘法。

【設(shè)計(jì)意圖：小數(shù)的本質(zhì)是數(shù)，通過數(shù)形結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)的意義角度去理解一位小數(shù)乘一位小數(shù)的積為什么要從整數(shù)乘得的積后面數(shù)兩位點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)的原理，因?yàn)?.1×0.1=0.01，這是小數(shù)運(yùn)算的真正算理。在多種算法的理解之后，再聯(lián)系溝通各種算法不同與相通之處，構(gòu)建完善的知識體系。】

三、自主學(xué)習(xí)，遷移算法（兩位小數(shù)乘一位小數(shù)）

1.列式：解決問題2“給宣傳欄刷油漆，需要多少千克油漆”

2.自主探究計(jì)算1.92×0.9

3.展示匯報(bào)（重點(diǎn)交流兩個方法）

①利用積的變化規(guī)律列豎式

②根據(jù)數(shù)的意義進(jìn)行計(jì)算

追問：0.1×0.01等于多少？你是怎么想的？

出示直觀圖（如右圖）：把一個正方體看成1，十分之一的百分之一就是它的千分之一。即：

0.01×0.1=0.001

192個0.01×9個0.1=1728個0.001=1.728

四、總結(jié)算法，溝通聯(lián)系

1.你能用自己的語言總結(jié)一下小數(shù)乘小數(shù)的計(jì)算方法嗎？

總結(jié)：把小數(shù)乘法轉(zhuǎn)化為整數(shù)乘法，先按照整數(shù)乘法算出積，再看兩個因數(shù)中一共有幾位小數(shù)，就從積的末尾起數(shù)出幾位，點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)。（一乘二數(shù)三點(diǎn)）

2.為什么小數(shù)乘法可以轉(zhuǎn)化為整數(shù)乘法呢？

小數(shù)和整數(shù)都是數(shù)，數(shù)就是由若干個計(jì)數(shù)單位組成的，不管是整數(shù)相乘還是小數(shù)相乘，都可以用整數(shù)相乘的方法計(jì)算，得到的積就是一個新的、統(tǒng)一的計(jì)數(shù)單位的個數(shù)。

整數(shù)乘法：（ ）個10×（ ）個10=（ ）個100

（ ）個1×（ ）個1=（ ）個10

小數(shù)乘法：（ ）個0.1×（ ）個0.1=（ ）個0.01

（ ）個0.1×（ ）個0.01=（ ）個0.001

3.那么，我們就只會計(jì)算一位小數(shù)乘一位小數(shù)、一位小數(shù)乘兩位小數(shù)嗎？你還會計(jì)算哪些小數(shù)乘法？

【設(shè)計(jì)意圖：將整數(shù)乘法和小數(shù)乘法進(jìn)行溝通聯(lián)系，讓學(xué)生理解數(shù)的計(jì)算其實(shí)就是計(jì)數(shù)單位的計(jì)算，將小數(shù)看成整數(shù)相乘后得到的積就是一個新的、統(tǒng)一的計(jì)數(shù)單位的個數(shù)，數(shù)的運(yùn)算的算理是相通的，學(xué)生就能將方法遷移到多位小數(shù)的乘法上，一脈相承。】

五、鞏固練習(xí)，完善算法

1.出示：3.7×4.6= ?0.48×1.5= ?0.56×0.04=

2.預(yù)測一下，各算式的積是幾位小數(shù)？

3.獨(dú)立計(jì)算

4.匯報(bào)總結(jié)

①計(jì)算后有什么發(fā)現(xiàn)？

②對小數(shù)乘法的計(jì)算方法有什么補(bǔ)充？

③總結(jié)：如果積的小數(shù)末尾是0，可以省略;如果積的小數(shù)位數(shù)不夠，要在前面用0補(bǔ)足，再點(diǎn)小數(shù)點(diǎn)。

六、數(shù)形結(jié)合，拓展延伸

1.出示問題：蘋果每千克2.8元，小明買1.5千克要多少元？小軍買0.8千克要多少元？

2.列式計(jì)算

3.比較兩個算式，你有什么發(fā)現(xiàn)？

4.結(jié)合條形圖幫助理解

5.總結(jié)：一個數(shù)乘1，積與原數(shù)相等;一個數(shù)乘一個比1大的數(shù)，積會比原數(shù)大;一個數(shù)乘一個比1小的數(shù)，積會比原數(shù)小。

6.對比：一個數(shù)乘不是1的整數(shù)呢？為什么？

七、總結(jié)

1.回顧我們學(xué)習(xí)小數(shù)乘小數(shù)的計(jì)算，你有什么新的收獲？

2.整理總結(jié)

①計(jì)算方法：多種方法;轉(zhuǎn)化成整數(shù);0.1×0.1=0.01……

②需要提醒：小數(shù)點(diǎn)的位置確定特殊情況。（末尾有0、位數(shù)不夠）

③與小數(shù)相乘的積與原數(shù)相比大小變化情況。