全概率公式的推廣與應用

李城雄

摘 要：全概率公式作為概率論里面最重要的公式之一，也是概率論里面的一個重難點，是條件概率公式、概率的加法公式以及乘法公式的集合運用體現，主要通過已知的簡單事件概率去推算未知的復雜事件概率，將復雜的概率問題進行簡單化處理，減少了計算的難度，加快了信息處理速度，符合現代社會的需求，具有很強的適用性，運用廣泛。本文將全概率公式分為了離散型全概率公式與連續型全概率公式，列舉了三種解全概率公式的方法和三種全概率公式推廣形式，通過大量的例題，生動形象的演示了如何利用全概率公式去解決實際生產生活中遇到的復雜概率問題。

關鍵詞：全概率公式；完備事件組；樣本空間；

但是在實際生活中，許多需要運用全概率公式計算的問題并不完全具備這三個條件，針對這種情況就需要我們活學活用，因此也誕生了一些全概率公式的推廣形式，這些全概率公式推廣形式的出現使得全概率公式的使用范圍進一步擴大，增強了全概率公式的適用性。

全概率公式推廣形式一

已知樣本空間Ω中有一個事件組A1，A2，…，An，它具備以下三個條件：

（1）將樣本空間Ω劃分為n個部分，即A1 ∪A2 ∪…∪An =Ω；

（2）A1，A2，…，An并不是互不相容，但是滿足條件：

P（Ai Aj ）=0，i≠j；

（3）P（Ai ）>0，i=1，2，…，n；

則對于任意一個事件B來說，有

證明：由條件（1）知道 A1∪A2∪…∪An =Ω，即

所以

由條件（2）知道A1 ，A2，…，An 并不是互不相容，但是

P（Ai Aj ）=0，i≠j；

所以

P（BAi Aj ）=0，…，P（BA1 A2…An ）=0；

所以根據概率的加法公式可以得到

所以

根據上面的證明可以知道，在生活中遇到的求全概率問題，如果問題中一系列事件A1，A2，…，An并不是互不相容，但是P（Ai Aj ）=0，則還是可以用全概率公式進行計算的。

全概率公式推廣形式二

已知樣本空間Ω中有一個事件組A1，A2，…，An，它具備以下三個條件：

（1）A1，A2，…，An互不相容；

（2） A1 ∪A2 ∪…∪An =α，α∈Ω且α≠Ω，即事件組A1，A2，…，An只占了樣本空間Ω的一部分，現在添加另一個事件組C1，C2，…，Cn，則剛好與A1，A2，…，An構成了樣本空間Ω；

（3）P（Ai ）>0，i=1，2，…，n ；

如果P（B│Cj ）=0，j=1，2，…，n，則對于任意一個事件B有：

證明：由上面的條件（2）可知

所以

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而上面題目中給出了P（B│Cj ）=0，j=1，2，…，n，

所以