讓數學思維根植于解決問題中

陳亞萍

摘 要：在解決數學問題中，通過教師深度地教、學生深度地學，能促使學生自覺地運用數學思維解決問題，提升學生解決問題的能力。文章從激發思維沖突，引解決問題“落地”;喚醒思維意識，助解決問題“生根”;激活思維發散點，讓解決問題“開花”;搭建思維臺階，促解決問題“結果”四個方面，論述了促使學生用數學思維解決數學問題的策略。

關鍵詞：數學思維;解決問題;思維沖突

中圖分類號：G623.5 文獻標識碼：A 收稿日期：2019-02-27 文章編號：1674-120X（2019）15-0054-02

思維是數學素養之“魂”，數學課堂應基于“思維”來教[1]。然而在解決問題教學中，學生數學思維的缺失、數學思維的膚淺、數學思維的僵化、數學思維的障礙等問題充斥著課堂。因此，在課堂教學中教師應關注學生的數學思維，引導學生學會用數學思維解決數學問題。下面筆者結合實際談談如何讓數學思維根植于解決問題中，讓解決問題“落地”“生根”“開花”“結果”。

一、激發思維沖突，引解決問題“落地”

杜威曾說過：“沖突能觸發思想，誘發我們不斷調整和修正教學，推動我們去創造，使我們警醒、敏銳、積極動腦思考。”[2]筆者調查發現，在解決問題時，部分教師沒有讀透教材，在認知沖突點上輕率處理，致使學生思維缺失。而教師如果能“挑起事端”，不斷引起認知沖突，使學生進入沖突旋渦，在強烈的矛盾沖突中去思考、經歷與感悟，充滿思維的數學課堂就能拉開帷幕，解決問題也就水到渠成了。

以執教“面積意義和面積單位”為例，在體驗面積單位實際大小時，活動設計如下：①如何驗證兩張面積差別不大的卡片大小？為什么格子多面積反而小呢？②如何用1平方厘米的小正方形測量黑板面的大小？③1平方米生活中表現在哪些地方？一系列問題的拋出，能夠引發學生內部的矛盾沖突，啟發學生用數學思維分析生活現象。第一個問題通過觀察、猜想、驗證等方法促使學生主動尋找“統一格子大小”的標準，引出1平方厘米的面積單位。第二個問題中學生經歷了充分的感悟、探究和不斷的自我否定，巧妙激活思維，推動創造更大的面積單位去測量黑板，1平方米的面積單位順勢而出。第三個問題是尋找1平方米的過程，使學生在疑中生趣，幫助學生正確構建1平方米面積大小的表象，讓其與1米長度的線段進行對比，進一步區分面積和長度兩個概念，從而加深對面積單位概念的理解。學習中，學生興趣盎然，課堂氣氛異常活躍，探索過程精彩不斷，真正營造了“教學無痕”“精彩有痕”的和諧課堂氛圍。教學實踐證明，有目的性地設計一些容易使學生進入思維定式的圈套，刻意制造一些“極端問題”或善于“煽風點火”，能有效喚起學生的有意注意，引發學生的思維沖突，促發學生展示真實思維過程的迫切需要，迸發創新思維的火花，在質疑辯難中使解決問題落到實處。

二、喚醒思維意識，助解決問題“生根”

唐代杜牧說：“學非探其花，要自拔其根。”[3]意思是學習不能停留在表面，要帶著理性的精神追根溯源，以理性的力量去感染學生。長期以來，部分教師自身缺乏研究精神，沒有理清整個知識結構體系，對知識本質似懂非懂、云里霧里，導致學生的思維膚淺，經常在知識點周圍兜圈子，甚至還引發學習的負面情緒。而優秀教師則善于引導學生學有“根”的數學，大膽挖掘知識背后隱藏的道理和規律，從層層遞進追根究底，到抽絲剝繭明白道理。這種回歸思維原點的探究做法，讓學生深刻悟到數學的本質，體驗到探索與發現的快樂，學生知識體系的“根”也就長得粗壯！

以執教“3的倍數特征”為例，難點在于探究特征背后的道理，筆者結合教學內容設計如下：①判斷一個數是不是5的倍數時，為什么只需關注個位，其他數位都不用看？學生通過說理，借助計數器、小棒、畫圖等多種形式進行探究，還有從尋找余數的關系入手進行總結：假設判斷一個四位數ABCD是不是5的倍數，我們知道，A在千位上，表示A×1000，1000是5的倍數，所以A×1000也是5的倍數，即千位沒有余數;B在百位上，表示B×100，100是5的倍數，所以B×100也是5的倍數，即百位沒有余數;C在十位上，表示C×10，10是5的倍數，所以C×10也是5的倍數，即十位也沒有余數。由此可見，產生余數只能在個位，個位只有0或5才能被5整除，所以只需要看個位是不是5的倍數。此環節重視呈現思維的“關節”，“整除”“余數”等概念在活動中喚醒學生思維的意識。②你打算怎樣研究3的倍數的特征？有了前面研究的方法和經驗作為支撐，探究變得有章可循了，此環節教師只需要給予適當的引導和追問便可。同樣是四位數ABCD，1個千除以3，余數是1，A個千除以3，余數也就是A;1個百除以3，余數是1，B個百除以3，余數也就是B;以此類推，四位數ABCD除以3，余數也就可以看成（A+B+C+D），再用這個余數之和除以3。當然，還有學生結合位值說理、字母總結歸納、知識的結構處延展教學價值等方法進行探究。學生的理性精神并非與生俱來，在后天的學習過程中，教師需要對其多啟發思考：是什么？為什么？這樣能逐漸引導學生思考得更深刻、更清楚、更到位。思維是撩撥出來的，而這種撩撥是需要不凡的教育智慧的！只有這樣，學生的學習才能透過現象邁向本質，思維從膚淺走向深刻。

三、激活思維發散點，讓解決問題“開花”

教育家波利亞說：“一個專業的認真備課的教師能夠拿出一個有意義的但又不復雜的題目，去幫助學生挖掘問題的各個方面，使得通過這道題，就好像通過一道門戶，把學生引入一個完整的理論領域。”發散思維是從一個問題出發突破原有的思維限制，在思考過程中，不受原有知識的牽絆，探求出解決問題的多種方法。筆者調查發現，部分教師過度追求聚合思維，過分追求學習成績，缺乏對發散思維的系統訓練，導致學生思維僵化不靈活。因此，在教學中不妨多設置一題多解、一題多議、一題多改、一式多想等開放性練習題，從而使學生增加思維發散的廣度和深度，讓解決問題綻放美麗之花。

例如：“學校的菜地是由一個直角梯形和一個等腰直角三角形拼成的大梯形，已知直角梯形的上底是3米，下底是6米，高是3米，求面積;等腰直角三角形的底和高都是3米，求這個梯形菜地的面積。”對這一題，可以運用多種方法解答：①運用梯形的面積公式來解決，梯形的上底是3米，下底是9米，高是3米，求面積;②把大梯形看成一個直角梯形（上底是3米，下底是6米，高是3米）和一個等腰直角三角形（底和高都是3米），求面積;③看成一個正方形（邊長3米）和兩個等腰直角三角形（底和高都是3米），求面積;④看成4個等腰直角三角形（底和高都是3米），求面積;⑤看成1個平行四邊形（底6米，高3米），求面積;⑥看成1個長方形（長6米，寬3米），求面積;⑦看成一個大三角形（底和高都是6米），求面積。在解答這一組組合圖形面積的過程中，可以綜合運用所有多邊形面積的計算公式，這既能訓練學生的思維，又能提高學生綜合解決問題的能力。由此可見，教師應引導學生拓展解答思路，改變固有的思維模式，敢于另辟蹊徑，善于不斷調整思維方式，轉變思考方向，對同一問題從多角度、多層次加以分析解決，從而逐步發展學生求異創新的思維能力。但是，開放性問題的設計不能太難，讓學生望而生畏，要定位在學生思維的最近發展區，要賦予學生探究知識的時間和空間，這樣學生的思維才能得到解放。

四、搭建思維臺階，促解決問題“結果”

布魯納認為，搭建思維臺階的作用是降低難度，幫助學生實現從原有發展水平向潛在發展水平發展。縱觀課堂，不難發現有些學生對知識拐彎處無從下手，找不到“拐杖”支撐，導致思維停滯不前。拐彎處對學生來說普遍感到棘手，教師應積極為學生搭建思維臺階，學生每上一個臺階，教師應抓住契機，再搭一個更高的臺階。通過不斷搭建思維臺階，能促使學生思考得更全面、更深入、更有序，沿著思維臺階拾級而上，最終摘到豐碩的果實！

以“找規律”為例，怎樣準確把握本節課最核心的問題呢？筆者巧設計如下：

首先，套圈游戲現場：如果套住兩個連續的數字就可以中五等獎，請大家思考，中五等獎一共有幾種答案？學生有的畫一畫，有的框一框，有的說一說，把操作與思考結合起來。第一次“找”處于具體形象階段，是一個操作、經歷和體驗的過程。學生在實踐中獲得感性經驗，在溝通中感悟有序思考，領會平移方法的優勢，此時學生的思維處于動作思維階段。

其次，為了更好地擺脫具體事物的束縛，由動作思維過渡到抽象思維，教師應適時為學生搭建思維臺階，讓學生可以借力而上，于是巧妙安排第二個環節：“不動手操作，直接在你的大腦中移動，你能快速地知道平移幾次嗎？”從直觀操作到表象操作的過渡，學生在腦中平移方框，不是呆板操練，而是自覺思考，在移一移中感悟“平移的次數=剩下的個數”，讓操作活動真正內化。第二次的“找”以操作的表象為支點，找出算理，找出規律的本質。

最后，找規律的重點是帶領學生回歸到生活世界，能把生活化的問題轉為數學問題，進而建構解題模型，從而體會數學的價值和魅力。為此，教師繼續為學生搭建思維的臺階，找生活中的“花邊題”、了解叔叔的“休假題”、觀察電影院的“座位題”，思維含量逐步遞進，這樣的設計使學生打開思路，跳出機械解題模式。整個“找”的過程中，學生經歷了樸實的動手實踐、豐厚的表象思考、極簡的數學算式、抽象的數學模型，激發了思維，持續催生“增值效應”。因此，搭建恰到好處的思維臺階，學生的學習就有了抓手，有了這個臺階，就能引發學生更進一步思考，更好地突破重難點;培養學生的思維能力，促使學生找到解決問題的“結果”，可謂一舉兩得。

五、結語

總之，教師可通過把握數學本質，突出數學思考，讓數學思維煥發應有的活力，讓解決問題煥發應有的魅力，讓數學思維根植于解決問題中，讓學生的核心素養逐步提升。

參考文獻：

[1]鄭毓信.努力打造數學教育的中國名片——“中國數學教學‘問題特色”之系列研究[J].小學數學教師，2018（2）：4-8.

[2]吳正憲，鐘建林.小學數學名師名課（經典篇）[M].北京：教育科學出版社，2011：177.

[3]葉建云.可以這樣教數學[M].上海：華東師范大學出版社，2012：91.