引導學生在數學學習中反思，培養學生的思維能力

朱曉潔

摘 要：數學思維能力的培養是中學數學教學的重要目標之一，而提高思維能力的有效途徑之一就是在教學過程中對學生的反思能力進行培養。因此，教師在教學中要積極創造可供學生反思的機會，引導學生積極反思，從而提升學生的思維品質，提高學生的學習效益。

關鍵詞：反思；數學思維能力；嚴謹性；批判性

數學思維能力的培養是中學數學教學的重要目標，提高數學解題能力又是教師和學生共同關心的問題。在高中數學教學中，由于學生的認知結構水平的限制，升學壓力的影響，學生往往對基礎知識不求甚解，只熱衷于大量做題，缺乏對解題思路、解題方法、解題過程進行反思，不注重分析、評價和判斷解題策略的優劣，不善于發現、反思和糾正自己的錯誤，結果是學生的模仿能力變強了，數學思維能力卻沒有根本性提高。

《普通高中數學課程標準》指出，反思是學生學習過程的重要一環。世界著名數學家和數學教育家弗賴登塔爾教授也指出：“反思是數學思維活動的核心和動力。”反思是學生對自己認知過程、認知結果的監控和體會。數學的理解要靠學生自己的領悟才能獲得，而領悟又靠對思維過程的不斷反思才能達到，因此，引導學生在數學學習中不斷反思，培養學生反思的意識，使學生養成反思的習慣，從而提高學生數學解題能力，提高數學思維能力。

一、對解題過程進行反思，培養學生思維的嚴謹性

思維的嚴謹性是數學學科的基本特點，它要求解題思路必須清晰、準確；解題過程必須嚴格、周密；結論敘述必須精練、準確。在教學過程中，教師要不失時機地抓住學生在解題過程中由于審題不清、對概念理解不深刻、考慮問題不周全而導致的過程不嚴密，結論有錯誤，要引導學生對解題過程進行反思，在反思中優化解題策略。

案例1：已知m2x+21-x≥2（m>0）對x∈R恒成立，求實數m的取值范圍。

學生1解法：換元法。令t=2x，轉化為mt2-2t+2≥0對一切t∈R恒成立，∵m>0∴？駐≤0，得m≥ 。

答案是正確的，但其中的過程有漏洞。教師要積極引導學生反思解題過程。通過討論，學生2指出：原問題等價于不等式mt2-2t+2≥0對一切t>0恒成立，而不是對一切t∈R恒成立，所以僅僅考慮？駐≤0是不嚴密的。正確解法為：令f（t）=mt2-2t+2，轉化為對一切t>0，f（t）≥0恒成立，由于t= 對稱軸不定，需分兩類討論研究（解答略）。

反思1：在解題的過程中，經常會用到換元的方法解決問題，要關注轉化的等價性。

分析出錯誤原因后，繼續引導學生思考：既然過程是錯誤的，為什么恰好結論是正確的？能否指出錯誤的合理性。學生3發現：∵m>0，∴對稱軸t= >0，結合圖像，可以發現只要考慮？駐≤0就可以了，所以歪打正著，錯誤的過程得出了正確的結果。

反思2：方程、不等式和函數密不可分。將不等式的恒成立問題轉化為函數的問題，再以“形”助“數”，簡潔直觀。所以在解題中要充分關注函數的思想、數形結合、分類討論等重要的數學思想方法。

教師乘勢引導學生探究：如果沒有“m>0”這個條件，用上述方法解決此題，必須分類討論研究，非常繁雜。學生是否有更好的方法來解決此題？學生4展示解法：變量參數。m≥ =2 -2（ ）2，令t= ∈（0，1]，則不等式右邊為y=2t-2t2，得此二次函數在（0，1]的最大值為 ，得m≥ 。

反思3：回歸到熟悉的參數分離方法，避免了繁復的分類討論，使得解答更為簡潔。

所以教師要積極引導學生對解題過程中產生的漏洞及時修正，對錯誤及時反思，擺脫思維定勢，對已形成的認識從另一個角度，以另一種方式進行再思考，以求得新的深入認識，靈活選擇解題方法，優化解題策略，培養學生思維的靈活性，提高解決問題的能力。

二、對解題中的錯誤進行反思，培養學生思維的批判性

思維的批判性是指在思維活動中能嚴格估計思維材料和精確檢驗思維過程，有根據地作出肯定接受或否定質疑的品質。在數學學習中，正確和錯誤相伴而生，教師要把錯誤看作是一種有效資源，引導學生善于發現錯誤，對錯誤進行反思，并主動糾正錯誤，要引導學生大膽質疑，幫助學生突破思維障礙，對答案及時分析、評價和判斷，這有利于學生深刻理解數學概念的本質含義，有效地培養學生思維的批判性，優化認知結構。

案例2：已知數列{an}中a1=1，an+1=2an+2n，求數列{an}的通項公式。

有兩位學生用兩種不同的方法得到兩個不同的結論。

學生1解法：根據遞推公式，先歸納、猜想，再用數學歸納法加以證明得an=n·2n-1

學生2解法：an+1+2n=2（an+2n），又a1+2=3

∴{an+2n}是以3為首項，2為公比的等比數列

∴an+2n=3·2n-1，即∴an=2n-1

反思：兩種方法至少有一種是錯誤的。哪種方法錯誤？錯在哪里？

學生2自己發現錯誤：若把an+2n看成是數列{an+2n}的第n項，則an+1+2n不是數列的第n+1項，所以方法2錯誤。

學生2反思：前一段時間在研究a1=1，an+1=2an+2求該數列{an}的通項公式時，我們就是用待定系數法構造等比數列來解決的。為什么今天這個問題就不能用構造等比數列解決呢？

方法3：變形為 - = ， = ，數列{ }是以 為首項，以 為公比的等差數列，得 = ，得an=n·2n-1

變式問題：已知數列{an}中a1=1，an+1=3an+2n求數列{an}的通項公式。

a1=1，an+1=3an+2n an+1+2n+1=3（an+2n），a1+2=3

∴{an+2n}是以3為首項，2為公比的等比數列，

∴an+2n=3n，即∴an=3n-2n

探究推廣：a1=a，an+1=kan+f（n）（k≠0），求數列{an}的通項公式

an+1+？姿f（n+1）=k（an+？姿f（n））（k≠0）

？姿kf（n）-？姿f（n+1）=f（n），？姿（kf（n）-f（n+1））=f（n）

結論：當kf（n）-f（n+1）≠0時，？姿= ，則數列{an+？姿f（n）}是以a+ 為首項，k為公比的等比數列；當kf（n）-f（n+1）=0時，k= ， = + ，則數列{ }是以 為首項， 為公差的等差數列。

學生的錯誤不可能僅靠正面的示范和反復的練習得以糾正，必須是一個“自我否定”的過程，教師要利用學生的錯誤資源，積極引導，促使學生對已完成的思維過程進行周密且有批判性的再思考，引導學生從錯誤中反思，從錯誤中學習，不斷從“錯誤”走向“正確”。

三、對解題方法的多樣性進行反思，培養學生思維的廣闊性

思維的廣闊性是指善于從多方面、多角度去思考問題、發散思維。在數學學習中，其主要表現為：對于一個問題，善于多方探求，能通過聯想、類比、遷移，獲得多種解法，尋求解決問題的最佳方案。

案例3：給定兩個長度為1的平面向量 和 ，它們的夾角為120°。如圖所示，點C在以O為圓心的圓弧 上變動。若 =x +y ，其中，x，y∈R則x+y的最大值是________。

學生解法1：點乘自身平方。將原等式兩邊平方得：x2+y2+xy=1，整理得xy= [（x+y）2-1]，又xy≤（ ）2，所以 [（x+y）2-1]≤（ ）2，解得x+y≤2，當且僅當x=y=1，x+y取最大值2。

學生解法2：點乘關聯向量。設∠AOC=α，α∈[0， π]在原等式兩邊分別點乘 ， 得 · =x · +y · · =x · +y · ，即cosa=x- ycos（120°-a）=- x+y，所以x+y=2[cosa+cos（120°-a）]=2sin（a+ ），當a= 時，x+y取最大值2。

反思1：通過數量積，將向量形的問題代數化，還有什么方法能將向量形的問題代數化？

學生解法3：坐標法。以O為坐標原點，OA所在直線為x軸建立平面直角坐標系，設∠AOC=α，α∈[0， π]，得 ， ， 的坐標，由 =x +y 得x= sina+cosa，y= sina，以下同解法2。

數學問題解決的方法是多維的，但其結論具有確定性，因此，在一個問題的解決中，應當引導學生多角度地去觀察問題，獲取多種解法，這樣有助于開闊學生的視野，培養學生思維的發散性，發揮學生的潛能。

四、對題目立意的反思，培養學生思維的深刻性

題目的解出，并不意味著解題活動的結束，恰恰相反，它可以是解題探究的新的開始，所以，波利亞特給解題過程安排了一個環節——回顧（即反思），這是很有必要的。變更條件，可以訓練分析與綜合思維能力，將條件與結論互換可以訓練逆向思維能力，引申、拓展可以訓練學生的發散性思維能力。

案例4：過拋物線y2=2px（p>0）的焦點的一條直線和拋物線相交兩點A（x1，y1）、B（x2，y2），求證：y1y2=-p2。

學生探究發現多種解法，學生通過比較、分析發現下列解法是最簡潔的方法。

證明：因為直線過拋物線的焦點，故設直線的方程為x=my+ ，代入y2=2px中，有y2-2pmy-p2=0，由于y1，y2是該方程的兩實根，由韋達定理可知，y1y2=-p2。

問題解決后，教師可進一步引導學生對這一問題進行適當的變式、引申和拓展，讓學生從具體問題走向更廣泛的問題空間，變單一的解決問題為鞏固知識，形成解題策略的方法體系。

反思1：此問題的逆命題是真命題嗎？即一條直線和拋物線y2=2px（p>0）相交兩點A（x1，y1）、B（x2，y2），若y1y2=-p2，那么該直線過拋物線的焦點嗎？

反思2：把問題的條件加以推廣，能得到類似的結論嗎？若過定點（c，0）的直線和拋物線y2=2px（p>0）相交兩點A（x1，y1）、B（x2，y2），那么y1y2是定值嗎？

反思3：將逆命題的條件加以推廣，能得到類似的結論嗎？一條直線和拋物線y2=2px（p>0）相交兩點A（x1，y1）、B（x2，y2），若y1y2=m（定值），那么該直線過定點嗎？

反思4：將問題的條件進行改變，能得到類似的結論嗎？直線和拋物線y2=2px（p>0）相交A、B兩點，設直線OA和OB的傾斜角分別為α，β，若α+β為定值θ（0<θ<π），那么該直線過定點嗎？

問題解決后，改變命題的條件和結論，從縱橫兩方面加以引申、拓展，引導學生多角度、多層次、全方位地進行反思，能使掌握知識的層次更具深度和寬度，思維更深刻，使學生由會解一道題到會解一類題，把數學思維提高到一個由例及類的檔次，形成有效的“思維鏈”，有利于學生今后對解題途徑作出快速選擇，簡化思維過程，縮短思維回路，提高思維的靈活性。

科學有效的反思為學生提供了再創造的沃土和新型的學習方式，適應了新課程改革的要求，教師在教學中要積極創造可供學生反思的機會。引導學生反思解題思路，通過一題多解訓練學生的發散性思維，優化思維品質；引導學生反思解題規律，通過一題多變、多題一解，做到舉一反三，觸類旁通；引導學生反思解題結果是否合理，解題過程有沒有漏洞，從而鞏固知識、減少錯誤、發展思維、培養探索能力、引發再創造。使反思變為學生自我內在的一種需求，從而提高學生的數學思維能力，提高學生學習效益。

編輯 謝尾合