借力微專題，探索高三數學差異教學復習課型

黃寒凝 張海峰

摘 要：在長期的教學實踐中，發現教學中差異始終存在，不僅學生的知識基礎、興趣愛好、學習能力等存在差異、教材本身知識難度要求也存在差異.在以提高學生數學能力，培育學生核心素養為目標的高三復習課中，關注教材知識難度差異，對部分符合學生認知結構的、層次分明的、比較系統的知識板塊進行微專題突破，能幫助學生構建相對有效的解題思路與策略，在一定程度上減少差異，促進每個學生在原有基礎上得到更好的發展.

關鍵詞：差異教學；微專題；導數；單調區間；分類標準

筆者多年任教高三一個平行班、一個實驗班，面對能力差異明顯的兩個教學班，想要完全消除差異是不可能的.但經過長期的差異教學探索，筆者發現在關注學生的知識能力差異的基礎上，同時關注教材知識難度差異，對部分符合學生認知結構的、層次分明的、比較系統的知識板塊進行微專題突破，設置層級清晰的課堂教學目標，加強課堂教學素材選擇的遞進性，可以在很大程度上縮小差異，推動班級整體進步.下面以微專題《利用導數求含參函數的單調區間》為例，呈現如何構建一節高效的高三數學差異教學復習課型.

一、結合實測，確認實效性強的微專題

函數與導數考查的最核心部分是以凹凸函數為載體考查函數的單調性問題，從而進一步探究函數的零點、極值、最值等問題.因此利用導數研究函數的單調區間成為研究函數的“先行部隊”，是高考考查的一個熱點、難點問題，更是我們高三一輪復習的重點內容.學生已經能初步應用導數工具研究單調性，并具備基本的分類討論思想，但是導數一般是壓軸題，由于對分類討論的標準模糊不清，加上時間不夠，導致學生解題信心不足，往往得分率偏低，實測下來得分差異性比較大.因此選擇此微專題，起承上啟下的作用，利于學生掌握對含參函數零點、極值、最值等圖象特征的分析，實效性較強.

二、詳析差異，設置層級清晰的課堂教學目標

此專題產生最大差異的地方就在于學生對含參函數單調性的分類討論標準模糊不清，因此本節課核心在于如何揭示解題的本質，引領學生自然地產生討論的分類標準.結合教材分析與學生的學情分析，本節課設定以下三個教學目標：

（1）強化導數與函數單調性的關系（陳述性知識），掌握求含參函數單調區間的解題步驟，形成解題的微策略（程序性知識）；

（2）引導學生經歷分類討論標準的形成過程，培養學生分類與整合、數形結合、化歸與轉化的數學思想方法；

（3）揭示數學解題的本質，提高學生數學抽象、直觀想象與邏輯推理等核心素養.

其中（1）中的陳述性知識部分是屬于基本知識要求，而程序性知識又分四個梯度逐級遞進，此目標可通過課后練習評價反饋達成；（2）（3）中的能力目標與素養目標是滲透式要求，通過階段性評估反饋達成.

三、精選素材，注重以學生為主體的課堂生成

1.回顧知識，提出課題（從2018年全國1卷21題高考題的背景引入）

例題1.求函數f（x）=2x- -3lnx的單調區間.

【設計意圖】從低起點的高考問題出發，符合學生的認知結構，讓學生課題起點一致，后進生有信心積極參與到教學中.同時引導學生共同回顧用導數求函數單調區間的基本步驟：

（1）確定函數f（x）的定義域；

（2）求導數f ′（x）；

（3）在定義域內解不等式f ′（x）>0，所得解集為函數f（x）的增區間；

（4）在定義域內解不等式f ′（x）<0，所得解集為函數f（x）的減區間.

揭示利用導數求函數單調區間的本質就是解不等式，函數單調區間的分界點就是f ′（x）=0的根，而不等式f ′（x）>0（或f ′（x）<0）的解集即f ′（x）圖象在x軸上方（或下方）對應的x的取值范圍，用流程圖體現求函數的單調區間的過程，直觀明了，邏輯清晰，消除陳述性基礎知識差異對教學效果的不利影響.

引出課題：那如果函數是一個含參函數呢？讓我們一起進入今天的微專題：《利用導數求含參函數的單調區間》.

2.典例分析，形成解題策略

例題2.已知f（x）=ax2-bx+lnx（a，b∈R），

（Ⅰ）當a=0時，求函數f（x）的單調區間；

（Ⅱ）當b=0時，求函數f（x）的單調區間；

（Ⅲ）當b=2a+1時，求函數f（x）的單調區間.

【設計意圖】第（Ⅰ）問屬于第一梯度題目，從導函數為形如一次的帶參函數入手，具有基礎性、針對性、典型性，雖然簡單但滲透數形結合思想與初步滲透分類討論思想，討論標準易于發現，學生跳一跳即可摘得果子.

解：（Ⅰ）當a=0時，f（x）=-bx+lnx，定義域為（0，+∞），f ′（x）=-b+ = ，令g（x）=-bx+1，

引導性設問：是否有根？根g（x）=0？圯x= 是否在定義域內？

（1）當b≤0時，g（x）=-bx+1≥0，即f ′（x）>0，所以函數f（x）的單調增區間為（0，+∞），無單調減區間；

（2）當b>0時，g（x）=0？圯x= ∈（0，+∞），如圖，由f ′（x）>0即g（x）>0得0 ，所以函數f（x）的單調增區間為（0， ），單調減區間為（ ，+∞）.

綜上可得：當b≤0時，函數f（x）的單調增區間為（0，+∞），無單調減區間；當b>0時，函數f（x）的單調增區間為（0， ），單調減區間為（ ，+∞）.

【設計意圖】第（Ⅱ）問屬于第二梯度題目，從導函數為形如二次的帶參函數入手，仍然在學生的最近發展區內，題目設置小坡度，利于學生步步登高，類比第一問的引導性提問，讓學生自主探索參數的討論標準，滲透方法的遷移，在一定程度上消除學生對函數模型切換的畏難心理差異.

（Ⅱ）當b=0時，f（x）=ax2+lnx，定義域為（0，+∞），f ′（x）=2ax+ = ，令g（x）=2ax2+1，（1）當a≥0時，g（x）=2ax2+1>0，即f ′（x）>0，所以函數f（x）的單調增區間為（0，+∞），無單調減區間；（2）當a<0時，g（x）=0？圯x=± （舍去- ），由f ′（x）>0得x> ，f ′（x）<0得0

綜上可得：當a≥0時，函數f（x）的單調增區間為（0，+∞），無單調減區間；當a<0時，函數f（x）的單調增區間為（0， ），單調減區間為（ ，+∞）.

【設計意圖】第（Ⅲ）問屬于第三梯度題目，也是此類分類討論的最經典問題，模型沒有改變，導函數仍然是形如二次的帶參函數，但是討論的情況一下子多起來了，難度也一下子就上去了，此處是學生能力差異性較為明顯的一個問題，究其原因其實是解含參的一元二次不等式不過關.找到是程序性知識缺失引起的差異，那消除差異的手段只能是回歸復習相應的程序性知識.因此，要引導學生理解影響一個一元二次不等式解集的三大因素：一是二次函數開口方向；二是為二次函數是否有根；三是根的大小，再結合函數的定義域，增加第四個討論標準：有幾個根在定義域內，數學結合可得如下討論分級圖：

開口a<0a=0a>0，兩根大小a= a> a<

例題3.設函數f（x）=x2-1+aln（x+1）（a≠0），求f（x）的單調區間.

【設計意圖】例題3屬于第三梯度題目，也是例題2的延續與強化，通過兩道同型題設計，引導學生自主加工提煉成典型的數學模型，同時也讓中等生有機會對程序性知識再實踐應用，也是減少差異的有效手段。

3.課題實踐，強化訓練

例題4.討論f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2（a∈R）的單調性.

【設計意圖】變式訓練屬于第四梯度題目，通過前面問題的鋪墊，學生整合了思想與方法，學以致用，借助信息手段在授課過程中錄制微課，讓學生有機會反復理解消化，縮小差異.

解：f（x）的定義域為（-∞，+∞），f ′（x）=（x-1）ex+2a（x-1）=（x-1）（ex+2a），經過探究，學生產生如下討論分級圖：

f ′（x）=0的根的個數a≥0a<0，兩根大小a=- a>- a<-

4.課后反饋，及時評價

練習1：求函數f（x）=ae2x+（a-2）ex-x（a∈R）的單調區間.

練習2：求f（x）= x2+alnx-（a+1）x（a∈R）的單調區間.

四、提煉解題本質，點燃學生思想火花

求含參函數的單調性，核心是四個步驟，以問題為驅動引導我們產生分類討論：

f ′（x）是什么類型的函數？？圯f ′（x）=0是否有根？？圯f ′（x）=0的根是否在定義域內？？圯定義域內的根大小關系如何？

本微專題的核心在于：（1）理解“利用導數求含參函數的單調區間”的本質就是解含參不等式，而解不等式通常是先研究對應的方程的根，因此圍繞f ′（x）=0根的分布，結合函數圖象自然就產生了分類討論的標準，討論時要注意分類須不重不漏，對參數的所有可能取值都要討論到，對應結論相同時參數范圍要合并，整個解題過程充分體現了分類與整合數學思想方法的應用；（2）整個解題過程把求含參函數的單調區間問題轉化為解含參不等式問題，不斷借助函數圖象來研究方程的根、不等式的解集，充分體現了函數與方程、化歸與轉化及數形結合的思想方法在解題中的應用.

新課程改革提出，課程滿足學生個性發展的需要，要能夠促進每個學生的最大限度發展.雖然我們無法完全消除差異，但是結合每個學生的學習基礎、年齡特征等挖掘教材、教法、教學環節中的教育因素，并加以細化、篩選、甄別，制訂出分類、分層、有序的教學目標并進行差異化、針對性的教學是每個老師必須努力做到的.在高三這樣追求復習效率的時間段，借力微專題形式打造差異教學的復習課模式，通過數學知識之間的有效整合，為學生認知發展設計合適的路徑，讓不同層次的學生實現不同思維層級的提升，讓“差異”成為高三高效復習的助推手.

參考文獻：

[1]孫楓.基于函數觀點的數列概念教學[J].中國數學教育（高中版），2018（4）.

[2]程元元.借力函數思想深入理解數列不等式[J].數學教學通訊，2018（21）.

[3]陳岳鵬.透過函數圖象看清數列背景：對一類數列問的解法探究[J].新課程，2018（1）.

注：本文系福建省教育科學規劃教育教學改革專項課題“高中數學差異化教學行動研究”（課題立項編號：Fjjgzx17-06）的研究成果之一。

編輯 高 瓊