技術(shù)不僅是工具也是數(shù)學(xué)的一部分

孫海洋

在當(dāng)今信息化社會(huì)中，各種不同的信息技術(shù)被廣泛地用于工作、個(gè)人生活和教學(xué)情境中，信息技術(shù)的運(yùn)用已經(jīng)成為信息和知識(shí)的生產(chǎn)、使用、存儲(chǔ)、評(píng)價(jià)、分析和交流的組成部分。

2010年頒布的《國(guó)家中長(zhǎng)期教育改革和發(fā)展規(guī)劃綱要（2010—2020年）》吹響了加快教育信息化進(jìn)程的號(hào)角。信息技術(shù)越來(lái)越人性化，服務(wù)于教育教學(xué)的信息技術(shù)，它們的設(shè)計(jì)理念都集中到一條：從學(xué)生學(xué)習(xí)需要出發(fā)，為學(xué)生提供內(nèi)容豐富、形象化、動(dòng)態(tài)化的學(xué)習(xí)工具，幫助學(xué)生理解教學(xué)內(nèi)容，提高學(xué)習(xí)效率和效果。所以信息技術(shù)給予教學(xué)的支持是全方位的。

信息技術(shù)作為一種認(rèn)知工具應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)中，將對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教育產(chǎn)生革命性的影響。在提倡獨(dú)立思考、自主探究、合作交流的今天，信息技術(shù)在教師的教和學(xué)生的學(xué)中扮演的角色會(huì)變得越來(lái)越重要。

隨著信息技術(shù)在數(shù)學(xué)教學(xué)研究中的廣泛應(yīng)用，人們對(duì)信息技術(shù)與數(shù)學(xué)的關(guān)系的認(rèn)識(shí)也在加深。對(duì)于學(xué)生而言，掌握使用信息技術(shù)的技能，就像學(xué)會(huì)說(shuō)話一樣重要。

下面我結(jié)合自己十多年的數(shù)學(xué)教學(xué)生涯中的一些經(jīng)驗(yàn)及教訓(xùn)，簡(jiǎn)單地談一談對(duì)應(yīng)用信息技術(shù)輔助數(shù)學(xué)課程教與學(xué)的幾點(diǎn)思考。

信息技術(shù)為重要且難度較大的數(shù)學(xué)思想的教學(xué)提供有效途徑

皮亞杰認(rèn)為，學(xué)習(xí)是一種能動(dòng)的建構(gòu)過(guò)程。在他看來(lái)，學(xué)習(xí)并不是個(gè)體積累越來(lái)越多的外部信息，而是學(xué)到越來(lái)越多的有關(guān)他們認(rèn)識(shí)事物的程序，即建構(gòu)了新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。這種新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)不僅是原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的延續(xù)，而且是原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的改造和重組。在學(xué)習(xí)過(guò)程中，已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)和主體對(duì)建構(gòu)過(guò)程的積極參與非常重要。

當(dāng)今的建構(gòu)主義認(rèn)為，學(xué)習(xí)是學(xué)習(xí)者主動(dòng)地建構(gòu)內(nèi)部心理表征的過(guò)程，他們十分重視學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)過(guò)程中的主觀能動(dòng)性的作用，特別強(qiáng)調(diào)了在具體情景中形成的具體經(jīng)驗(yàn)背景的作用。

而信息技術(shù)參與課程之后，如“逼近”的過(guò)程就可以得到直觀顯示，使一些相關(guān)的數(shù)學(xué)教和學(xué)就變得容易了。

例如，在講授八年級(jí)“函數(shù)的圖象”這節(jié)課之后，我安排了一節(jié)實(shí)踐課，將曾經(jīng)在“軸對(duì)稱”一章中研究過(guò)的“將軍飲馬”問(wèn)題從函數(shù)的角度來(lái)研究。學(xué)生們分析、設(shè)計(jì)研究方案，并具體操作。他們?cè)谧鴺?biāo)紙上不斷地加密取點(diǎn)，但是由于刻度尺精確度的限制，始終無(wú)法取得最小值點(diǎn)的精確位置，得到的只是一個(gè)區(qū)間。于是，學(xué)生們利用GGB（GeoGeBra）作圖工具不斷調(diào)整精確度，逐漸縮小區(qū)間，逼近取得最小值的位置，這樣，最小值點(diǎn)的位置逐漸精確。

在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生們通過(guò)自己的操作了解到，取到最小值的點(diǎn)存在且唯一。這與利用軸對(duì)稱的方法得到的點(diǎn)是不矛盾的。學(xué)生們又利用GGB作圖工具通過(guò)軸對(duì)稱的方法確定這個(gè)唯一的點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)在精確度及現(xiàn)有寬度的事實(shí)下，代數(shù)方法與幾何方法探究“將軍飲馬”問(wèn)題得出的結(jié)論是一致的。

在整個(gè)探究過(guò)程中，學(xué)生們?cè)诩夹g(shù)的支持下，不僅對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)有了更進(jìn)一步的理解，同時(shí)對(duì)精確度等相關(guān)的知識(shí)都有了不同程度的理解。課后學(xué)生感嘆地說(shuō)：“數(shù)學(xué)太奇妙了！GGB畫板太神奇了。”其實(shí)，很多時(shí)候，不是數(shù)學(xué)枯燥，而是我們教授數(shù)學(xué)的人把它人為枯燥了。

信息技術(shù)改善了傳統(tǒng)數(shù)學(xué)內(nèi)容的教學(xué)

建構(gòu)主義的教學(xué)觀認(rèn)為學(xué)習(xí)可以分為兩類：初級(jí)學(xué)習(xí)和高級(jí)學(xué)習(xí)。初級(jí)學(xué)習(xí)中，教師只要求學(xué)生通過(guò)練習(xí)和反饋來(lái)掌握一些重要的概念和事實(shí)。高級(jí)學(xué)習(xí)則要求學(xué)生把握概念的復(fù)雜性，能根據(jù)具體情況，應(yīng)用自己的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)建構(gòu)用于指導(dǎo)問(wèn)題解決的圖式。而傳統(tǒng)教學(xué)混淆了高級(jí)學(xué)習(xí)與初級(jí)學(xué)習(xí)之間的界限，將初級(jí)學(xué)習(xí)階段的教學(xué)策略不合理地推向高級(jí)學(xué)習(xí)階段的教學(xué)中，使教學(xué)過(guò)于簡(jiǎn)單化。

例如，將事物從復(fù)雜的背景中隔離出來(lái)進(jìn)行學(xué)習(xí)，忽視具體條件限制;將連續(xù)的過(guò)程簡(jiǎn)單地當(dāng)成一個(gè)個(gè)階段來(lái)處理;將整體分割為部分，忽視各部分之間的聯(lián)系性等。而這種簡(jiǎn)單化處理正是妨礙學(xué)生在具體情景中廣泛而靈活遷移的主要原因。

基于對(duì)高級(jí)學(xué)習(xí)的理解，建構(gòu)主義者提出了“隨機(jī)通達(dá)教學(xué)”，認(rèn)為對(duì)同一內(nèi)容的學(xué)習(xí)要在不同的時(shí)間多次進(jìn)行，每次的情景都是經(jīng)過(guò)改組的，分別針對(duì)知識(shí)的不同側(cè)面，情景中要包括充分的變式，使概念與具體情景相聯(lián)系。這樣，在每一次教學(xué)中學(xué)生都能夠獲得對(duì)知識(shí)的新的理解，從而使學(xué)生對(duì)概念形成多角度的理解，并與具體情景聯(lián)系起來(lái)，形成背景性經(jīng)驗(yàn)。

如在傳統(tǒng)的函數(shù)教學(xué)中，往往教師沒(méi)有更好的方法給出形象定義、分析、舉例，這樣對(duì)于一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)，由于函數(shù)解析式與學(xué)生之前的認(rèn)知不沖突，通過(guò)講練學(xué)生還可以接受，但是到了三角函數(shù)，角度和直角三角形邊的比值之間的變化關(guān)系，學(xué)生無(wú)法通過(guò)已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)將它與函數(shù)的概念聯(lián)系起來(lái)，這樣就會(huì)產(chǎn)生認(rèn)知沖突。而信息技術(shù)的引入，使對(duì)應(yīng)關(guān)系變得“可操作”“可視化”，強(qiáng)大的作圖和圖形變換功能使圖形的動(dòng)態(tài)演示變得“唾手可得”，打破了人工紙上作圖的局限性，讓規(guī)律和特征顯而易見(jiàn)。

例如，在講授三角函數(shù)的知識(shí)時(shí)，三角函數(shù)中正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)等這些函數(shù)的概念都和學(xué)生熟悉的正比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)的概念區(qū)別很大，學(xué)生單從定義中很難理解兩個(gè)變量及它們之間的變化關(guān)系。這時(shí)，借助幾何畫板，讓學(xué)生在幾何畫板的演示下，清楚地認(rèn)識(shí)到，當(dāng)一個(gè)銳角確定的時(shí)候，不管它所在的直角三角形的大小怎樣變化，它的對(duì)邊與斜邊的比值都是唯一確定的值，同時(shí)，當(dāng)這個(gè)角的大小發(fā)生改變的時(shí)候，它的對(duì)邊與斜邊的比值也相應(yīng)發(fā)生變化。

通過(guò)幾何畫板的直觀演示，學(xué)生很容易找到兩個(gè)變量及這兩個(gè)變量之間變化的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這對(duì)學(xué)生理解三角函數(shù)起到了非常重要的作用。進(jìn)而通過(guò)結(jié)合函數(shù)概念，認(rèn)識(shí)到三角函數(shù)的函數(shù)關(guān)系和一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等函數(shù)關(guān)系的形成是一致的，這樣就不會(huì)在認(rèn)知上產(chǎn)生沖突，從而更好地落實(shí)了概念和具體情景的聯(lián)系。

信息技術(shù)是進(jìn)行數(shù)學(xué)探究與發(fā)現(xiàn)的催化劑

與其他學(xué)科相比，數(shù)學(xué)教學(xué)在開(kāi)啟學(xué)生的心智，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力（特別是抽象邏輯思維能力），提高學(xué)生的內(nèi)在素養(yǎng)等方面擔(dān)負(fù)著更加重要的責(zé)任。“數(shù)學(xué)給與人們的不只是知識(shí)，更重要的是能力，這種能力包括直觀思維、邏輯推理、精確計(jì)算和準(zhǔn)確判斷。”（王子坤）

當(dāng)今建構(gòu)主義也強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)過(guò)程是學(xué)生對(duì)知識(shí)的主動(dòng)建構(gòu)過(guò)程，在強(qiáng)調(diào)已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的重要性時(shí)，指出提取記憶系統(tǒng)中的信息也是一個(gè)根據(jù)具體情況進(jìn)行建構(gòu)的過(guò)程，使已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)與新知識(shí)之間的相互作用過(guò)程更加清楚，從而使學(xué)生的主體作用更加明確。而信息技術(shù)的強(qiáng)大數(shù)值運(yùn)算、代數(shù)推理、統(tǒng)計(jì)分析、動(dòng)態(tài)幾何等功能，使我們能做到“一有想法就試試看”，從而調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)、探究的積極主動(dòng)性。

如在講“矩形的性質(zhì)和判定”之后，學(xué)生問(wèn)了我這樣一個(gè)問(wèn)題：矩形ABCD，延長(zhǎng)邊CB到點(diǎn)E，使CE=CA，取AE的中點(diǎn)F，連結(jié)BF和DF，如圖1，如何證明BF和DF是互相垂直的關(guān)系？

開(kāi)始我并沒(méi)有上來(lái)就啟發(fā)學(xué)生怎么找這個(gè)關(guān)系，而是讓他們?cè)趲缀萎嫲遘浖袭嫵鰣D形，然后改變矩形的大小，看看BF和DF是否還是垂直？那么改變F的位置，讓它成為一個(gè)非中點(diǎn)的普通點(diǎn)呢？結(jié)果學(xué)生在操作的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，由于F是中點(diǎn)，從而出現(xiàn)了BF和DF的垂直關(guān)系，學(xué)生由此就想到這個(gè)題目和直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，等腰三角形的“三線合一”有關(guān)系，很快，他們就把這個(gè)結(jié)論證明了出來(lái)。

信息技術(shù)的合理使用，可以讓幾何更加直觀，可以在變化中尋找不變的東西，這對(duì)于學(xué)生思維的培養(yǎng)、解題習(xí)慣的養(yǎng)成都有著十分重要的作用。更重要的是，信息技術(shù)的合理使用在調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)、探究的積極主動(dòng)性方面潛移默化地發(fā)揮著越來(lái)越不可忽視的作用。

信息技術(shù)能讓情境和問(wèn)題的模擬更真實(shí)

信息技術(shù)不僅大大擴(kuò)展了教學(xué)中可作為研究事例的范圍，同時(shí)能以一種更為現(xiàn)實(shí)的方式模擬情境和問(wèn)題。

例如，在學(xué)生學(xué)過(guò)了事件的分類、概率的古典定義（比值定義）并會(huì)用列舉法求概率之后，學(xué)生容易出現(xiàn)知識(shí)的負(fù)遷移，認(rèn)為所有的隨機(jī)事件概率均可以用列舉法求得。為了進(jìn)一步探尋學(xué)生頭腦中的已有圖示（現(xiàn)有認(rèn)知結(jié)構(gòu)），我進(jìn)行了一個(gè)前測(cè)，讓學(xué)生觀看NBA籃球比賽視頻，預(yù)測(cè)球員進(jìn)球率，發(fā)現(xiàn)絕大多數(shù)學(xué)生得出了進(jìn)球概率等于二分之一的結(jié)論。于是，在“用頻率估計(jì)概率”這節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)中，我首先拋出一個(gè)問(wèn)題：一位同學(xué)手中有紅黑兩種花色的牌各一張，你從中隨機(jī)抽取一張，抽中紅牌的概率是多少？學(xué)生都可以通過(guò)列舉法求出概率是二分之一。

如果我們做50次抽牌試驗(yàn)，抽中紅牌的頻率一定等于其概率二分之一嗎？針對(duì)這個(gè)問(wèn)題，我安排了實(shí)驗(yàn)：請(qǐng)同學(xué)們每3人一個(gè)組。每組兩張牌，花色一紅一黑。第一位同學(xué)負(fù)責(zé)洗牌，第二位同學(xué)抽牌，剩下一位同學(xué)記錄。記錄的同學(xué)用劃記法分別記錄抽牌同學(xué)抽牌的次數(shù)和抽中紅花牌的次數(shù)。當(dāng)抽牌次數(shù)達(dá)到50次時(shí) ，實(shí)驗(yàn)結(jié)束，并整理抽中紅花牌的次數(shù)和計(jì)算抽中紅花牌的頻率。同學(xué)們通過(guò)收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)，再利用excel軟件，展示由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)得到的折線圖。通過(guò)一系列的操作，學(xué)生初步認(rèn)識(shí)到頻率是隨機(jī)的，概率是確定的，頻率在概率上下波動(dòng)。

如果增加試驗(yàn)次數(shù)，結(jié)果會(huì)如何？學(xué)生們把每個(gè)組的50次實(shí)驗(yàn)合在一起得到數(shù)據(jù)之后，繼續(xù)利用excel軟件展示由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)得到的折線圖時(shí)很容易就發(fā)現(xiàn)，隨著試驗(yàn)次數(shù)增加，頻率表現(xiàn)出一定的穩(wěn)定性。緊接著引入數(shù)學(xué)知識(shí)，確保結(jié)論的嚴(yán)謹(jǐn)性，使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)頻率估計(jì)概率的合理性。

在解決問(wèn)題這個(gè)環(huán)節(jié)，提出問(wèn)題：投一枚圖釘，你能估計(jì)出“釘尖觸地”的概率嗎？學(xué)生在小組討論中，經(jīng)歷了用列舉法求概率得出二分之一（圖釘質(zhì)地不均勻，可以看成正四面體），做實(shí)驗(yàn)，收集數(shù)據(jù)，用頻率估計(jì)概率的思維沖突，最終選擇出了正確的方法。考慮到教室內(nèi)拋擲圖釘?shù)奈ｋU(xiǎn)性，此時(shí)，我引入了一個(gè)模擬軟件來(lái)代替，完成收集數(shù)據(jù)的工作，和學(xué)生們一起完成整理數(shù)據(jù)，利用計(jì)算機(jī)軟件描述數(shù)據(jù)，如圖2，同學(xué)們分析數(shù)據(jù)，獲得了頂尖觸地的概率約為0.46。這個(gè)現(xiàn)實(shí)發(fā)生、包含復(fù)雜數(shù)據(jù)的問(wèn)題通過(guò)信息技術(shù)的支持，變得靈動(dòng)起來(lái)。

當(dāng)然，信息技術(shù)植入數(shù)學(xué)課堂也是一把雙刃劍，它既可以促進(jìn)我們的教學(xué)，也會(huì)給我們的數(shù)學(xué)教學(xué)帶來(lái)一些負(fù)面的影響。比如，技術(shù)的運(yùn)用，可能會(huì)削弱學(xué)生通過(guò)動(dòng)手計(jì)算和推理獲得重要并有價(jià)值的知識(shí)和技能的能力;信息技術(shù)的運(yùn)用促進(jìn)數(shù)學(xué)課程的改變，抽象程度更高的數(shù)學(xué)概念將進(jìn)入課程，這對(duì)教師和學(xué)生都提出了挑戰(zhàn)等等。但是隨著信息技術(shù)在數(shù)學(xué)教學(xué)研究中的廣泛應(yīng)用，人們對(duì)信息技術(shù)與數(shù)學(xué)的關(guān)系的認(rèn)識(shí)也在加深，“技術(shù)不僅是工具，也是數(shù)學(xué)的一部分”已成為數(shù)學(xué)界的共識(shí)。

信息技術(shù)應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)的研究中，也為教師自身專業(yè)發(fā)展提供了一個(gè)重要的平臺(tái)。作為一線的教師，只有充分把握數(shù)學(xué)、學(xué)生學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)教學(xué)的規(guī)律，才能在數(shù)學(xué)教學(xué)中真正用好這些技術(shù)，并在數(shù)學(xué)概念的定義、推理和表達(dá)、解答和解釋，在發(fā)現(xiàn)規(guī)律、獲得猜想、解決問(wèn)題、交流想法和展示成果等方面更好地發(fā)揮它的作用。

作者單位：北京市第一七一中學(xué)