深度認知：小學數學概念的重構與建模13.2%

趙涵菲

【內容摘要】“倍”是小學數學教學一個比較抽象的概念，也是一個承前啟后的概念，它是進一步學習有關倍數知識的基礎，也是學習分數、比例等知識的基礎。本文作者以“2倍”為起點與突破口并建模再走向“多倍”的理解，從經歷“建構：建立二倍模型”發展到“解構：讓本質走向清晰”最后升華到“重構：穩固概念形成”，實現學習學習材料、學習方式、學習思維的轉變，讓孩子更深度理解“倍”的本質內涵。

【關鍵詞】倍的認識 ?建模 ?思辨與重構

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：數學核心素養的培養離不開教學引導者教師，離不開具體的數學內容和教學過程，離不開教學活動的評價體系。因此只有在具體的數學教學中，重視核心素養、圍繞核心素養開展教學活動，才能較好的達成教學目標。筆者認為教學應緊緊圍繞“倍”的意義理解展開，具體分以下三個板塊進行推進。

一、建構：建立2倍模型

建構是對結構和建造邏輯的表現形式。知識存在于具體的、情境性的、可感知的活動之中，尤其是概念知識，絕不是抽象的獨立于情境的實體，它們只有通過實際應用活動才能真正理解“倍”。本文指通過孩子自主探索用多種形式表征“倍”，運用數形結合等思想理解方法理解感悟“倍”，逐漸建構模型。

1. 豐富教學素材，建構概念

新課標指出，課堂教學的有效性首先取決于學生對知識生成過程的體驗，通過多重體驗方式讓學生感知概念的形成，而一份好學習材料是組織學生體驗概念形成過程的重要載體，因此在教學實踐中我所采用的學習材料是豐富多樣的。

第一環節：初步認識“倍”的學習素材。

第二環節：表征內化“倍”的學習素材。

第三環節：鞏固深化倍的學習素材。

教學所用的學習材料很多來自學生，尤其是新知探究和加深理解的學習過程中幾乎所有的學習素材都由學生創作，教師選擇學習材料的范圍增加，便于選擇合適的學習材料促進學生對“倍”內涵的理解。這樣豐富多樣的學習材料給了學生更大的創造想象空間，不同的學生可以根據自己的學習能力獲得不同的學習體驗和收獲，激發了學生學習的積極性和主動性，發揮了學生的主體作用。

2. 從具象到抽象，再抽象建模

一個數學概念，可以通過多元的形式來表征它。“表征”是指用多種形式表達數學概念或關系的行為，也指形式本身。學生借助各種表征來形成新的理解并表達數學觀念，在不同的數學表征之間建立聯系有助于加深學生對數學的理解。

【教學片段1】2倍建模

1. 出示第一組學習材料：3只灰兔和6只白兔，說說灰兔和白兔之間有什么數量關系。

2.為什么白兔的數量是灰兔的2倍？可以用畫一畫、擺一擺來思考如何表達清楚這個問題。

生1：灰兔有3只，白兔有6只，那么6只就是3只的2倍。

生2：我們可以把3只灰兔看成1倍，那么6只白兔就是2個3只，所以6只白兔是灰兔的2倍。

生3：在黑板上用圈一圈，把3只灰兔圈一起看成1份，6只白兔就圈2個圈，所以白兔的數量是灰兔的2倍。

3.教師小結規范語言：把3只灰兔看成一份，6只白兔有這樣的2份，也是2個3只，白兔的數量是灰兔的2倍。

4.出示第二組學習材料：3個綠圓片和6個紅圓片，

說說兩種圓片的倍數關系。

5.出示第三組學習材料：學生創造自己的2倍，思考為什么這三組作品的數量都不一樣卻都能表示2倍呢？

小結規律：

無論以幾個為1份，只要另一個量有這樣的2份，那么另一個量就是標準量的2倍。

6.出示第四組學習材料：2倍模型，學生表達各自想法。

教師主動將講臺和話筒交給孩子們，通過孩子們的表達，我們可以非常清楚地看見孩子學習的軌跡，層層深入、層層遞進。這一板塊的設計也突出了利用多元表征，有效地建立“2倍”模型。

其一，實物表征，注重直觀。借助現實生活中常見到的灰兔和白兔來理解抽象的數學概念，用到了圓片圖和創造出來的各種各樣的2倍圖來幫助孩子進一步抽象和概括，確定倍數關系與事物外在的形狀、大小、顏色等無關，只與數量這個屬性相關。

其二，語言表征，抽象概念。在經歷豐富的圖形表征后，讓孩子學會用語音來描述兩個數量之間的倍數關系，用語言不斷強化對“倍”的本質認識。

其三，圖式表征，注重解構。在實物表征的基礎上抽象成了“標準性結構”的模型，集合圖作為抽象的模型，統一了不同情境表征中的“倍”的本質概念共性，促進概念有效構建。

二、解構：讓本質走向清晰

解構，意思是分解、消解、拆解、揭示等意思，也可以有分析的意思。本文指通過學生通過畫一畫、圈一圈、擺一擺、說一說等自主來創造更多的倍數關系，進一步加深對“倍”的內涵理解，突出“倍”的概念本質——兩個量的比較關系，強化概念辨析，深入意義理解，使得建構的模型更加穩固。

1. 多種學習方式，解構概念

新課標指出，學生學習應當是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程。除接受學習外，動手實踐、自主探索與合作交流同樣是學習數學的重要方式。因此，創設一個“生生互動、生生互利”的學習環境尤為重要，讓學生獲得更大的自由表達和展示機會，讓不同程度的學生都有任務驅動，真正激發他們的學習主體性、積極性，在充分的動手操作活動中感知“倍”的內涵意義，提升孩子的學習能力。

【片段2】從2倍拓展到多倍

1.同桌合作，用圓片在板貼上擺出有倍數關系的2行。思考：假如增加或減少圓片的數量，倍數關系會發生怎么樣的變化？

2.學生上臺交流展示自己擺出的倍數關系。

生1：我把2個藍圓片看成一份，6個黃圓片有這樣的3份，黃圓片的數量是藍圓片的3倍。如果再擺2個黃圓片，那黃圓片的數量是藍圓片的4倍。不停地2個2個往下擺，我發現擺幾個2就是2的幾倍。

生2：我把第二行的1個紅圓片看成一份，第一行的6個藍圓片有這樣的6份，藍圓片的數量就是紅圓片的6倍。如果拿掉2個藍圓片，那藍圓片的數量是紅圓片的4倍。再拿掉2個藍圓片，那藍圓片的數量是紅圓片的2倍。我發現數量幾就是1的幾倍。

這一環節，孩子根據已有的知識結構，自主創造各種倍數關系，對“倍”的概念本質進行解構，清晰了兩個數量的倍數關系是當把一個量看成標準量時，另一個量里有這樣的幾份，也就是幾個標準量，那么另一個量就是標準量的幾倍。通過學生自主創造的學習材料，不僅讓孩子對知識本質更加清晰，同時也很好地培養了孩子的思維能力。

2.任務驅動化，解構概念

上一環節中，孩子自主創造的倍數關系，深入直至對“倍”的核心概念理解，內化了“倍”的內涵意義。但“1倍”問題經常出現于“倍的認識”教學中的難點，需要孩子再一次解構概念，這樣的解構使得思維辨析更為突顯。

【教學片段3】攻克難點1倍

1.出示1個藍圓片和1個紅圓片有倍數關系嗎？有疑問困惑的孩子請你用圈一圈的方式，用剛才學到的本領試著來解決這個疑惑。

生1：把1個藍圓片看成一份，紅圓片有這樣的1份，紅圓片的數量是藍圓片的1倍。反過來，把1個紅圓片看成一份，藍圓片也有這樣的1份，藍圓片的數量是紅圓片的1倍。

2.剛才還有同學擺出了4個綠圓片和4個黃圓片，這有什么倍數關系？

3.觀察這兩幅圖，你發現了什么規律？

生2：當倍數關系是1倍的時候，兩個數量都是相同的。

這一環節，孩子在操作與思考中又一次感悟數學的本質，在精彩的思辨中再一次突出“倍”的概念本質，在實踐操作中多種感官參與，發揮學生的主體作用，促進其真正地參與了知識的創造過程。

三、重構：穩固概念形成

重構（Refactoring）本意指通過調整程序代碼改善軟件的質量、性能，使其程序的設計模式和架構更趨合理，提高軟件的擴展性和維護性。本文指通過不僅能表達清楚兩種數量之間的倍數關系，還能自主創造、探究倍數關系，從一題中可以演繹出一類題。在不改變知識本質的同時，對內部結構進行重新調整。這樣的結構模型在孩子的腦海里才會落地生根，才會讓孩子在思考問題時做到全面、質疑、創新。通過重構，讓孩子對“倍的認識”徹底清晰，讓思維走向通透。

1. 創造倍數，有效重構

杜威認為“所有的學習都是行動的副產品，所以教師要通過‘做促使學生思考，從而學得知識”。因此拓展環節，筆者設置的練習也是在創造中鞏固新知，發展學力。

學生體會到△既可以是標準量，也可以是比較量，進一步感受“標準量”的重要性，從這“一題”演繹成“這類”題，強調了“倍”的本質就是兩個量在進行比較，標準量的變化，隨之幾倍也相應發生變化。最后，再通過看著這6幅圖來分分類，分成三類：“△少于○的一類，△與○相同的一類，△多于○的一類”。在分類中深刻體會1倍關系的特殊性，從而初步滲透后繼學習的因數和倍數。讓孩子體會到知識的結構化、關聯化，同時不同的孩子得到不同的收獲發展，積累不同的活動經驗，感悟到有序思考的思維方法和解題策略。

2. 拓展延伸，提升學力

華羅庚先生說過：數缺形時少直觀，形少數時難入微;數形結合百般好，割裂分家萬事休。這句話足以證明“數形結合”在數學中的重要地位。這次教學實踐最后的練習設置便是很好地把握住了“數形結合”的契機，將數與形有機的結合起來。

這一“數”“形”合一的練習設計，鼓勵孩子

從多種角度來思考問題，學會把抽象的數量關系轉

化為合適的幾何圖形，滲透了通過旋轉、平移等把

復雜圖形變成簡單圖形的轉化思想，也同時讓孩子從圖形的直觀特征發現數量之間存在的倍數關系，從而達到化難為易、化繁為簡、化隱為顯的目的。讓孩子在辨析、推理和不斷的思考中重構概念，穩固內化了“倍”的概念本質意義。

四、思考：“倍”概念教學梳理

面對“倍的認識”這個“整數倍”的起始課，通過聚焦教材、教學、學情、學習素材、學習策略等，獲得了“倍”概念教學的三點心得。

1.概念教學要不斷地反復經歷有效建模

建構主義教學觀認為，概念的建構需要反復多次經歷“建構—解構—重構”的過程。概念內涵的豐富，就需要學生多層次、多維度進行領悟：從直觀到抽象，從具體到一般，從內涵到外延。

2.概念教學要置身于現實背景中去理解感悟

數學概念是嚴謹的、抽象的、系統的，而二、三年級的孩子都是以具體形象思維為主，容易理解、接受具體直觀的感性知識，因此我們要提供給孩子多樣的、動態的、全面的學習素材，去充實孩子的感性材料。

3.概念教學要在變式、拓展中厘清本質

變式、拓展教學，通過改變問題的非本質屬性而進一步達成對本質的理解，促成學生尋找概念的橫向比較和縱向聯系，形成系統的概念，在對比辨析中增強思維的邏輯性和嚴謹性，培養多角度思維的靈活性和發散性，幫助學生深入理解概念的內涵，把握概念的本質，將教材中的知識內化為孩子頭腦中的認知結構，促成知識的正遷移，發展學生的學習能力。

【參考文獻】

[1]中華人民共和國教育部義務教育課程標準 （2011年版）[M].北京：北京師范大學出版社， 2012.

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[3]葛素兒.基于因式 情理相融——《倍的認識》教學設計與解讀[J].小學教學設計（數學版），2017（9）：34～35.