一類具有時滯的捕食者食餌模型的穩定性和Hopf分支

張婧 張睿 周震

摘 要 針對種群的發展趨勢不僅依賴于當前的狀態， 而且還依賴于過去某一時間段的狀態.研究了一類帶時滯的捕食者-食餌模型. 首先應用線性化方法分析該模型正平衡點的局部漸近穩定性， 然后以時滯為分支參數討論Hopf分支的存在性， 最后對模型進行數值模擬證實了以上相關結果.

關鍵詞 常微分方程; 穩定性; 線性化; 時滯

中圖分類號 O175?????????? 文獻標識碼 A

Stability and Hopf Bifurcation

for a PredatorPrey Model with Time Delay

ZHANG Jing， ZHANG Rui， ZHOU Zhen

（Department of Mathematics and Physics， Lanzhou Jiaotong University， Lanzhou， Gansu 730070， China）

Abstract The development trend of a population depends not only on the current， but also on the state in a certain period of time in the past， a predatorprey model with time delay is investigated. First， the local asymptotic stability of the positive equilibrium is demonstrated by using linearization. Then， the existence of Hopf bifurcation is considered by choosing the time delay as the parameter. Finally， some numerical simulations are carried out to illustrate above results.

Key words ordinary differential equation; stability; linearization; time delay

1 引 言

自然界中， 捕食與被捕食是種群之間相互作用的關系之中最為普遍的一種，食餌-捕食者系統的模型構建以及動力學行為研究已經取得了很大進展.隨著研究的不斷深入和拓展，學者們發現了時滯現象，也就是種群的發展趨勢不僅依賴于當前的狀態，而且還依賴于過去或未來某一時間段的狀態.在分析這類系統時，就要選用具有時滯的微分方程才能更準確地描述出種群的現實狀態.

在時滯微分方程理論中， Hopf分支是一種常見的分支現象.該現象是指當參數變化時， 系統在某個平衡解附近發生非平凡周期解從無到有或者從有到無的現象.發生改變的相應參數的臨界值被稱為分支值. Faria（2001）[1]對捕食者-食餌模型中的生物學參數作了詳細解釋. Celik（2008）[2]研究了一類捕食者種群具有時滯的比例依賴型的捕食者食餌模型.Celik（2009）[3]研究了一類食餌種群具有時滯的比例依賴型捕食者-食餌模型.這兩篇文章都以時滯τ為參數， 分析了模型唯一正平衡點的局部漸近穩定性與Hopf分支的存在性. Yuan和Song（2009）[4]研究了具有時滯的LeslieGower捕食者-食餌模型，分析了其正平衡點的穩定性和Hopf分支的存在性. Ma（2012）[5]研究了一類捕食者與食餌種群都具有時滯的捕食者-食餌模型，分析了其平衡點處Hopf分支的存在性及分支周期解的穩定性. Chen和Zhang（2013）[6]研究了一類食餌種群具有時滯和庇護所效應的捕食者-食餌模型， 考慮了食餌種群妊娠期的時間滯后影響， 分析了其平衡點穩定性和Hopf分支的存在性.

對于捕食者種群個體來說， 捕食者并不是一出生就具有抓捕能力， 它們需要時間由幼年成長為成年， 時間對抓捕能力的影響不容忽視.需要考慮捕食者成熟期的時間滯后影響，因此在上述模型中對捕食者種群引入時滯， 首先建立了一類新的捕食者種群具有時滯和庇護所效應的捕食者-食餌模型， 然后運用線性化的方法分析模型正平衡點的穩定性和Hopf分支的存在性， 接著舉出模擬數值算例， 最后得出時滯對模型正平衡點穩定性的影響作用.

2 具有時滯的捕食者-食餌模型

在一類捕食者-食餌模型中對捕食者引入時滯τ建立模型（1）.

dx（t）dt=x（t）r-ay（t），dy（t）dt=y（t）[-d+bx（t）-cy（t-τ）]

+m[x（t）-py（t）]， （1）

其中， x（t）與y（t）分別代表食餌種群與捕食者種群在t時刻的密度， r為食餌種群的內稟增長率， ay（t）表示捕食者存在被狩獵的情況， m是捕食者的遷移率， p是捕食者單位時間對獵物的消耗速率， c是捕食者的自限性常數， d是捕食者的死亡率.

為了減少參數數量，令u（t）=cxtτpr， v（t）=cytτr， 得

du（t）dt=u（t）1-acv（t），dv（t）dt=v（t）[-dr+bpcu（t）-v（t-rτ）]

+pmr[u（t）-v（t）]. （2）

用a，d，b，τ，m分別代替ac，dr，bpc，rτ， 得

du（t）dt=u（t）-au（t）v（t），dv（t）dt=v（t）[-d+bu（t）-v（t-τ）]

+m[u（t）-v（t）]. （3）

定理1

對于模型（3）， 若

（H1） -d-1a

成立， 系統存在唯一正平衡點E11+a（m+d）a（b+ma），1a.

3 局部穩定性與Hopf分支的存在性

以下討論唯一正平衡點E1的局部漸近穩定性與在平衡點E1處Hopf分支的存在性.

令

x（t）=u（t）-u*，y（t）=v（t）-v*，

得線性化系統

dx（t）dt=（1-av*）x（t）-au*y（t），dy（t）dt=（bv*+m）x（t）-（d+m-bu*

+v*）y（t）-v*y（t-τ）.（4）

其對應的特征方程為

0=λ1+a（m+d）b+ma-ba-mλ+mda+m2a+mb+ma+1ae-λτ=

λ2+（mda+m2a+mb+ma+1ae-λτ）λ+1+a（m+d）a即

λ2+Pλ+Qλe-λτ+R=0，（5）

其中

P=mda+m2a+mb+ma，Q=1a，R=1+a（m+d）a.

令λ=iω（ω>0）為方程的一個根， 把iω（ω>0）代入方程， 得到

（iω）2+Piω+Q（iω）（cos ωτ-isin ωτ）+R=0，

分離上述方程的實部與虛部， 得

-ω2+ωQsin ωτ+R=0，ωP+ωQcos ωτ=0，（6）

把上述方程的兩端平方相加， 得到關于ω的代數方程

ω4+（P2-2R-Q2）ω2+R2=0. （7）

當P2-2R-Q2>0時， 方程無正根， 故不存在純虛根;

當P2-2R-Q2<0且P2-2R-Q22>4R2時， 方程存在兩個正根ω+和ω-，

ω+=2R+Q2-P2+（P2-2R-Q2）2-4R22，

ω-=2R+Q2-P2-（P2-2R-Q2）2-4R22.

由式（6）得

τ±k=1ω±arc cosPQ+2kπω±（k=0，1，2，…）.

對方程（5）求關于τ的導數

dλdτ=Qλ2e-λτ2λ+P+Qe-λτ-τQλe-λτ，

dλdτ-1=2λ+PQλ2e-λτ+1λ2-τλ，

dλdτ-1=-2ωsin ωτ+Pcos ωτ-Qω2-1ω2

=2ω2-2R+P2-Q2Q2ω2=ΔQ2ω2，

從而得到橫截性條件

signdλdττ=τ+k，ω=ω+>0，signdλdττ=τ-k，ω=ω-<0.

定理2

對于模型（3）， 假設（H1）成立.

（ⅰ）當P2-2R-Q2<0時， 即

（H2）mda+m2a+mb+ma2-21+a（m+d）a-1a2<0

成立，則對于所有τ>0， 模型（3）的正平衡點E1都是局部漸近穩定的;

（ⅱ）當P2-2R-Q2>0且P2-2R-Q22>4R2時， 即

（H3）?? mda+m2a+mb+ma2-21+a（m+d）a

-1a2>0，

mda+m2a+mb+ma2-21+a（m+d）a-1a22

>4+4am+da2

成立， 此時存在一個正整數N， 當τ∈[0，τ+0）∪（∪N-1n=0（τ-n，τ+n+1）時， 模型（3）的正平衡點E1局部漸近穩定， 當τ∈（∪N-1n=0（τ+n，τ-n））∪（τ+N，+SymboleB@）時， 模型（3）的正平衡點E1不穩定.當τ∈（∪N-1n=0（τ+n，τ-n））∪（τ+N，+∞）時， 模型（3）在平衡點E1處發生Time New Roma分支.

4 模擬數值算例

例1 令模型（3）中a=10，b=0.1，m=1，d=2， 則模型（3）存在唯一平衡點E1=（31101，110），這些系數滿足（H1）與（H2）， 則當時滯τ>0時正平衡點E1漸近穩定， 如圖1所示.

例2 令模型（3）中a=4，b=2，m=1，d=-1， 則模型（3）存在唯一平衡點E1=（124，14），這些系數滿足（H1）與（H3）， 根據上節可計算得ω-=0.18， τ-0=4.666. 圖2表明當τ<τ-0 時，平衡點E1=（124，14）漸近穩定; 圖3表明當τ穿過τ-0時一個穩定的周期解從平衡點E1=（124，14）分支出來; 圖4表明當τ>τ-0時，一個不穩定的周期解從平衡點E1=（124，14）分支出來.

5 結 論

研究了一類捕食者種群具有時滯和庇護所效應的捕食者-食餌模型， 考慮了捕食者種群個體的成熟期對捕食者-食餌模型的種群密度帶來的時間滯后影響.當模型（3）存在唯一正平衡點即（H1）成立時， 若模型（3）中的系數滿足條件（H2）， 時滯不會影響模型正平衡點的穩定性。若模型（3）中的系數滿足條件（H3）， 當時滯達到某個臨界值時會影響模型平衡點的穩定性并導致分支的出現.

參考文獻

[1] FARIA? T. Stability and Bifurcation for a Delayed PredatorPrey Model and the Effect of Diffusion[J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications， 2001， 254（2）：433-463.

[2] CELIK? C. The Stability and Hopf Bifurcation for a Predatorprey System with Time Delay[J]. Chaos， Solitons and Fractals， 2008， 37（1）：87-99.

[3] CELIK? C. Hopf Bifurcation of a Ratiodependent Predatorprey? System with Time Delay[J]. Chaos， Solitons and Fractals， 2009， 42（3）：1474-1484.

[4] YUAN? S， SONG? Y. Stability and Hopf Bifurcations in a Delayed LeslieGower Predatorprey System[J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications， 2009， 355（1）：82-100.

[5] MA? Y. Global Hopf Bifurcation in the LeslieGower Predatorprey Model with Two Delays[J]. Nonlinear Analysis： Real World Application， 2012， 13（1）：370-375.

[6] CHEN? Y， ZHANG? F. Dynamics of a Delayed Predatorprey Model with Predator Migration[J]. Applied Mathematical Modelling， 2013， 37（3）：1400-1412.