正本清源，回歸本質

牛獻禮 中學高級教師，小學數學特級教師，現任教于北京亦莊實驗小學。

曾于1999年榮獲全國小學數學第四屆評優課一等獎：多節錄像課由中央電教館、河南省電教館、北京市電教館等單位發行;2012年12月，在中國教育學會小學數學專業委員會第十五屆年會上執教觀摩課;在省級以上教育刊物上發表教學論文、案例等100多篇，40余篇論文獲省、市級以上獎勵，參與編著《名師如何觀察課堂》、《名師課堂DNA解碼》（小學數學卷）、《可以這樣教數學》（數學名師的教學智慧）等多本教育書籍，主持的5項教育科研成果獲省級一、二等獎。

【摘要】在以往“比的認識”教學中，教師關注更多的是“比”概念的形式化解讀，教學設計一般是通過表示兩個數之間的相除關系引入比，造成學生在課堂學習中被動應答，不能深刻理解“比”的本質內涵。筆者基于對“比”本源性的思考重新設計教學，從元概念“份”“倍數”出發，讓學生體會“變量中的函數關系”，揭示“比”的本質意義。既實現了概念之間的關系溝通，也營造了主動探索的氛圍。再通過對一系列結構化材料的辨析，進一步豐富了學生對比的內涵和外延的認識。

【關鍵詞】比的認識 倍數關系 函數思想 自主建構

教學內容：人教版數學六年級上冊“認識比”

教學思考：

“比”是一個重要的數學概念。在以往教學“比的認識”時，教師關注更多的是“比”概念的形式化解讀，教學設計一般是通過表示兩個數之間的相除關系引入比，即先是兩個同類量的比的教學（如某班男、女生的人數），再是兩個不同類量的比的教學（如路程與時間），然后引導學生觀察、概括，著重說明上面的例了.都是通過除法來表示兩個數量間的關系.都可以用比來表示，在此基礎上概括出比的意義——兩個數相除又叫作兩個數的比。接著，引導學生比較“比”與除法的區別，說明除法是一種求兩個數相除的商的運算，而“比”則表示兩個數之間的相除關系。然后，提供正例和反例（如球賽中的比分），進一步加深學生對“比”概念的理解。這種設計突出了比與除法的聯系，但是，比的獨特性和優越性卻體現不夠，學生對兩者的區別印象不深。另外，綜觀整個教學過程，教師提供信息、發出指令、解釋意義，學生讀取信息、回應教師、建構理解，在高效傳遞知識的同時，學生被置于被動應答的狀態，缺乏積極參與、主動探索的熱情。顯然，這樣的形式化學習并不能讓學生深刻理解“比”概念的本質。

那么“比”概念的本質究竟是什么？如何改變學生被動應答的局面，營造主動探索的氛圍呢？筆者從“比”概念的本源出發來思考，對“比”形成了如下認識：

（1）比表示的是兩個數之間的一種關系。“比”不是除法運算，只是在求比值時才是除法。如3：2只是一種狀態，表示兩個變量之間的不變關系，而3÷2則是一種運算，二者在意義上不一樣。

（2）比為比例的學習做準備，并可以擴展為一種變量之間的正比例函數關系。這種比例關系，其含義遠超“除法”。這就是說，小學里“比”的學習，不等于重學一遍除法。

（3）“比”原本是同類最的比較關系，但是也可以推廣到不是“同類量”的情形。不過，不同類量的比，不宜作為“比”的主要情境引入。這是因為，同類量之比是“源”，不同類量之比只是“流”。區別源流，分清主次，是概念教學的要義。比如：路程除以時間等于速度，明明是計算速度的除法問題，并沒有比較路程與時間大小的含義在內。若用不同類量作為主要引例，就會顛倒了源流關系，增加了學生理解的難度。

基于上述思考，筆者進行了如下教學設計與實踐：

教學過程：

一、對接經驗，認識倍數關系的“比”

師：（板書課題：比的認識）大家在哪兒聽說過比？

生1：金龍魚廣告1：1：1。

生2：足球比賽2：1。

師：看一看，這里會是誰和誰的比？

生：面粉和水。（板書）

師：做饅頭時，面粉和水的比是2：1。（板書：2：1）

師：大家知道2：1的意思嗎？

生：“2”就是放2份面粉，“1”就是放l份水。

師：如果面粉放100克，水應該放幾克？

生：50克。

師：如果面粉放200克，水應該放幾克？

生：100克。

師：如果面粉放500克，水應該放幾克？

生：250克。

師：如果水放了500克，面粉應該放幾克？

生：1000克。

師：觀察黑板上這些數據，你有什么發現？

生：我發現面粉擴大幾倍，水也擴大幾倍。

師：面粉和水在不斷地發生變化，但不管怎么變化，有沒有不變的？

生：我發現面粉一直是水的2倍，水永遠是面粉的二分之一。

師：說得真好！“比”由三部分組成，中間的“：”叫作比號，比號前面的數叫作前項，比號后面的數叫作后項。前項和后項可以不斷發生變化，但它們的倍數關系是不變的。

【思考】“比較兩個同類量的關系時，如果以b為單位來度量“，稱為a：b”，這是關于比的概念的本質描述。如何讓學生體會這一本質？筆者以“面粉與水的比是2：1”為例，引導學生理解“面粉是2份，水是l份”“面粉的質量是水的2倍”……從元概念“份”“倍數”出發，遷移歸納，揭示“比”的本質意義。學生充分經歷了概念同化的過程，自然地將新知納入已有認知結構，實現了概念之間的關系溝通。同時，引導學生思考：面粉1OO克，水應該幾克？面粉200克，水應該幾克？你有什么發現？……讓學生體會“變量中的函數關系”。顯然，函數思想的滲透還原了“比”的本質。

二、辨析比較，深化對“比”的認識

師：剛才我們認識了“和面中的比”具有“前項和后項的倍數關系不變”的特點，老師還收集了一些比。

課件出示：

l.天安門圖片長和寬的比是4：3。（圖1）

2.一場足球比賽的比分是2：1。

3.攪拌混凝土，水泥、沙子和石子的比是2：3：0。

師：這些比有沒有這樣的變化特點呢？

（學生先獨立思考，然后小組交流，最后全班匯報）

生：照片中的比跟和面的2：1一樣，是有倍數關系的。如果長變成8，那么寬就變成6。

課件出示：在方格紙上顯示把照片放大，長：寬=8：6。（圖2）

師：如果長變成了8格，寬不變，會怎么樣？

生：照片就變形了，形狀會不一樣。（圖3）

課件顯示：印證學生的想法。

生：攪拌混凝土2：3：5也有這個特點，2：3：5可以是2噸、3噸、5噸，也可以是4噸、6噸、10噸。

師：你們同意嗎？還可以怎樣配混凝土原料的質量？

生繼續舉例。

師：混凝土一共是10份，水泥、沙子、石子各占2份、3份、5份。想一想：如果不按這樣的關系攪拌混凝土，會發生什么情況？

生：會不牢固。

師：是呀！這樣的工程就會不安全。想一想，比在這里起到什么作用？

生：這個比就像是一個標準，按這個標準來攪拌混凝土，就會牢固。

師：說得好！比，就像是一把尺子。大家再看一下，這個比有3個數，你怎么看出倍數關系？（引導看出有3組倍數關系）像這樣的比，稱為連比（板書）。

師：還剩下比賽中的比分，有倍數關系嗎？

（學生之間有分歧）

生：我覺得沒有倍數關系，本來2：1是相差一個球，4：2就相差2個球了，不公平。

師：我有點聽懂你的意思了，如果能這樣變化，那比分是不是可以變成20：lO？

生：比分是不能這樣變化的，不公平。

師：比分的變化是沒有規律的，沒有倍數關系。另外，比賽的比分中可以出現O嗎？

生：可以。

師：比如足球比賽的比分是2：0，但和面中的面粉和水能是O嗎？

生：不能。如果面粉是O，那就只有水了;如果水是O，那就只有面粉了。沒法和成面了。

師：看來，比分只是比賽得分記錄而已（板書：得分記錄），并不是數學上要研究的有倍數關系的比。學習到這里，你覺得人們為什么喜歡用比來表示數量之間的倍數關系呢？好處在哪里？

生l：用比表示倍數關系比較簡單。

生2：用比表示比較清楚，一看就知道是多少。

【思考】概念教學既要求教師準確把握新知的本質和來龍去脈，又要求教師洞悉學生的疑惑之處，參透學生建構新知的路徑與障礙。在上述教學中，教師通過用比賽中的比分來去偽存真，把學生帶入到塒“比”更深刻的思考，從而更為有效地溝通比和除法的關系;借助長方形圖片的長與寬的變化讓學生感悟“比源于度量”;而石子、沙子和水泥的關系從兩個量拓展到三個量，也就溝通了兩個量的比和三個量的比的關系，拓展了對比的意義的本質理解，也提升了學生對數學概念理解的深度。

三、適時拓展，豐富對“比”的認識

課件出示：下面情境中的數量能用比來表示嗎？如果能，請你寫出來。

（l）嬰兒的頭長約占身高的1/4。

（2）小亮身高155cm，小明身高Im。

（3）從北京到上海的鐵路長約1500km.需要行駛5小時。

學生獨立思考、寫比，然后全班交流。

生：嬰兒的身高是4份，頭長占l份，所以，嬰兒的頭長和身高的比是l：4。

師：以頭長作為標準，頭長是l份，身高就有這樣的4份，頭長和身高的比就是1：4。

生1：小亮和小明身高的比是155：1。

生2：不對，單位要統一，應該是1.55：1或者是155：100。

師：是的，用比來表示數量關系時，數量的單位要統一。

生l：第（3）個不能寫，因為單位不一樣了，1300km和5小時，這樣比出來不是倍數關系。

生2：我認為能寫，因為1500km需要行駛5小時，就相當于300km需要行駛1小時。（板書：1500：5.300：1）

師：這個比的前項是什么？后項是什么？

生：前項是路程，后項是速度。

師：這個比表示的確實不是倍數關系。路程：時間（板書：1500：5=300）得出的是一個新的量——速度，速度是300km/h。以前我們說“路程÷時間=速度”，今天學了比，我們還可以說“速度就是路程和時間的比”（板書）。請大家再推想一下，l小時行300km，會是什么交通工具？

生：高鐵。

師：速度是路程和時間的比，可以用比來幫助判斷。

【思考】好材料、好任務驅動學生自主建構。嬰兒頭長占身高的1/4 ——實現了“比”與“分數”概念之間的關系溝通，自然將新知納入已有認知結構，實現知識的貫通理解;小亮身高l55cm.小明Im——實現了從“同單位”到“不同單位”的變化.自主形成單位統一的認識;從北京到上海全程l50Okm.行駛5小時——實現了從“同類量”到“不同類量”的變式，豐富了“比的類型”，由“倍數關系”擴展為“相除關系”，進一步豐富了學生對比的內涵和外延的認識。

四、回顧反思，課堂總結

通過這節課的學習，你對“比”有了哪些新的認識？