對量子力學基本概念的教學討論

【摘要】本文從教學的角度對量子力學的幾率的含義做了深刻的探討，旨在加深學生對量子力學疊加原理、波粒二象性、測不準原理等重要概念的理解。

【關鍵詞】幾率? 幾率幅? 波粒二象性? 量子干涉

【基金項目】貴州大學引進人才科研項目，頒布時間：2015年11月，頒布單位：貴州大學，項目名稱：拓撲態中準粒子激發的分數化研究，No： 201538。

【中圖分類號】G64 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2019）19-0170-01

量子力學是描述原子與亞原子尺度下微觀粒子的力學規律，其運動規律和我們的常規思維完全不同。量子理論表明，物理中某些實驗的精確結果并不能獲得，但我們可以以一定的概率預言結果。在這種方式的支配下，我們期望計算每一種結果出現的概率。在我們的慣用思維中，幾率的概念是針對大量樣本而言，對大量粒子的情況下，如大量的電子或者光子，量子力學基于幾率的預言是非常令人滿意的，其規律和數學中概率的疊加并無兩樣。但量子力學表明單個粒子就會出現幾率的行為，本文我們基于簡單的思想實驗，基于粒子的概念討論量子力學中的幾率。

量子幾率的概念和經典物理中是類似的，如粒子自旋向上的概率就是多次重復試驗，向上的次數和總次數的比值。考慮單個電子通過狹縫1和狹縫2，然后再狹縫后放置一個電子探測器屏來探測電子的出現，這里單個電子理論上可以由非常弱的電子發射源實現。電子探測器屏非常靈敏，電子到達探測器屏的某處，某處探測器就給出一個脈沖信號。在探測器做出響應之前，我們假設不會有第二個電子到達探測器墻。對于不同位置x處的探測器，我們可以得到幾率隨x變化的函數，我們稱為相對幾率函數p（x）。幾率函數p（x）表示電子通過狹縫后到達x處概率分布，實驗上得到的分布恰好是發射源處的波源通過兩個小孔的干涉強度圖像。如圖，發射源處的電子必須通過狹縫1或狹縫2才能到達探測器屏，從粒子的角度來看，通過狹縫1有一個概率分布p1（x），通過狹縫2有一個概率分布p2（x），這兩個概率分布可以分別遮住狹縫1和狹縫2得到。我們期望總的概率分布是從狹縫1和狹縫2通過的概率的疊加（如圖1c），即

但如圖1a所示，這個結果和實驗結果完全矛盾p（x）≠p1（x）+p2（x）。兩孔都開啟時，得到的幾率分布并不是單孔分別開啟時概率的代數疊加。在波動光學中，疊加原理是通過波幅實現的，我們假定粒子分布的波幅可以由復函數？覬（x）描述，且滿足：

這一結果和實驗結果高度吻合。說明通過狹縫1和狹縫2的電子的概率疊加是不對的。

圖1：a為電子通過雙縫的實驗結果。若僅有狹縫1，則電子通過狹縫后的分布為b上半部分，若僅有狹縫2則電子通過狹縫后的分布為b下半部分。若雙縫同時打開應得到c所示曲線。

從粒子的角度理解，當電子發射源強度非常弱，即每一時刻只有一個電子通過狹縫（要么狹縫1，要么狹縫2）。當兩個狹縫同時打開時，電子既通過狹縫1又通過狹縫2的表述是不完全的，因為粒子本身必須通過狹縫，從經典概念我們可以區分為1和2兩類粒子，到達空間x的次數一定是通過狹縫1和狹縫2的次數之和，即滿足：

怎么得到自洽的理解呢？ 我們暫時可以通過重新定義粒子的概念，粒子以自己的方式散開同時通過兩個狹縫，這里散開就是粒子以波的方式通過了狹縫。或者遮住了其中一個狹縫會影響通過另一個狹縫的概率分布，粒子通過狹縫時有干涉效應，單個粒子具有波動的特征。實驗上，我們可以通過光和電子的相互作用來探測電子通過了狹縫1還是狹縫2。若我們的光敏探測器在狹縫1探測到信號，我們就說電子通過了狹縫1，反對狹縫2也如此。但是實驗上確實探測到了粒子通過了狹縫1和狹縫2，概率分布也符合我們的預期，疊加后的效果滿足p（x）=p1（x）+p2（x）。

怎樣協調上面的兩個實驗呢？一個解釋辦法就是測量影響了結果的分布。在探測電子的過程中，我們使用了光和電子的相互作用，改變了電子到達探測屏的分布結果。能否以一個弱的光來實現電子的探測而不改變電子的分布呢？設想我們的光源足夠弱，光子一個個和電子相互作用，光以能量E=hv和電子相互作用。當光合電子散射后，電子獲得動量p=？姿/h，這里？姿是由光子頻率v決定的波長。一個個的光子和電子相互作用可能會遺漏部分電子的信息，這樣我們得到的電子分布其實是圖a的一部分。若想精確的探測通過狹縫的電子，我們就需要高頻率的光子，這樣光子對電子的影響就很大。若我們用低能量的光子，這樣光子的波長就很長，在狹縫的空間范圍內，我們不能區分通過狹縫1和狹縫2的電子。為了探測電子，任何實驗設計都會影響電子的分布，這一規律在量子力學中概括為測不準原理。當一個物理過程有兩種途徑可以實現時，一旦采用了其中某種途徑，就破壞了各種途徑間的干涉效應。實驗手段會影響量子系統本身的性質。

波粒二象性和測不準原理是量子力學本質的內容和含義，通過本文的討論，量子力學的干涉效應也體現了量子效應的內涵，任何保持量子效應的理論都不能破壞量子干涉效應，費曼的路徑積分就是抓住了不同路徑間的干涉這一本質的概念可以正確表述微觀系統規律。理論表明，在一些多體系統中，干涉效應也起著決定性的作用，如超導，阿哈羅諾夫-玻姆效應等，若一個現象是量子規律支配的結果，則必須考慮量子干涉效應。

參考文獻：

[1]Feynman，PP Hibbs著，張邦固，韋秀清 譯.量子力學與路徑積分[M].北京：高等教育出版社，2015.

[2]瓦爾特·顧來納著，王德民等譯.量子力學導論.北京： 北京大學出版社， 2006.

作者簡介：

周江（1986-）男，漢族，貴州甕安人，博士研究生， 貴州大學物理學院講師， 研究方向：凝聚態物理。