拉格朗日乘子法在初等數學及Holder不等式中的應用

【摘要】拉格朗日乘子法在高等數學條件極值的求解過程中起著非常重要的作用，本文將利用拉格朗日乘子法給出初等數學中柯西不等式的一個新證明，進一步，我們利用拉格朗日乘子的思想給出實變函數中Holder不等式中的一個新證明， 希望這些新應用引起大學生們對拉格朗日乘子法的廣泛興趣。

【關鍵詞】拉格朗日乘子法? 柯西不等式? Holder不等式

【基金項目】國家自然科學青年基金 （11601190）， 江蘇省自然科學基金青年基金 （BK20160483），江蘇基礎研究基金（16JDG043）。

【中圖分類號】G64 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2019）19-0135-01

柯西不等式初等數學中一類非常有用的基本不等式， 而Holder不等式則是大學數學系的數學分析[1]，實變函數[2]以及泛函分析[3]課程中的一類非常重要且很基本的不等式。經典的柯西不等式以及Holder不等式看起來并沒有什么關聯。本文將結合筆者的教學經驗，利用拉格朗日乘子思想給出柯西不等式與Holder不等式的一個新證明。

1.拉格朗日乘子法（以二維為例）

拉格朗日乘數法是數學分析中尋找多元函數在某些約束條件下極值的方法。考慮二元函數z=f（x1，x2）在條件G（x1，x2）=0下取極值的問題。高等數學中的拉格朗日乘子法告訴我們， 該問題可以轉化為下面的三維無約束條件極值問題：

在實際教學實踐中， 拉格朗日乘數法的價值顯然被很多同行老師以及大學生們嚴重低估了。實際上，該方法不僅是在初等數學和數學分析中起著非常重要的應用，而且在其他的領域也發揮著極其重要的作用，例如， 在優化領域拉格朗日乘子法可以用于研究凸規劃問題，而在非線性偏微分方程領域，該方法則可以用來研究微分方程的解的存在性。筆者希望通過給出上面的一些應用，讓大家對拉格朗日乘子法給出更多的關注。

參考文獻：

[1]華東師范大學數學系.數學分析[M].高等教育出版社， 2001.

[2]周民強.實變函數[M].北京大學出版社，2008

[3]張恭慶，林源渠.泛函分析講義[M].北京大學出版社，? 2006

作者簡介：

朱茂春（1982-），男，漢族，江蘇鎮江人，博士研究生，講師，研究方向：偏微分方程理論。