單排節流孔氣浮導軌承載力的數學模型改進與校驗分析*

莫德云 馬 平2 連海山 弓滿鋒

(1.嶺南師范學院機電工程研究所 廣東湛江 524048；2.廣東工業大學機電工程學院 廣東廣州 510000)

由氣浮導軌和直線電機驅動技術相結合的工作臺，因取消了中間的傳動環節，具有摩擦小、定位精度高、無污染等特點，被作為精密定位平臺廣泛應用于光刻、精密測量和集成電路生產等領域[1-2]。氣浮平臺的承載力、靜剛度等靜態特性是判斷工作臺工作時能否克服傾覆力矩和正常平穩工作的重要指標，因此設計時首先需對結構參數進行校核，以確保能滿足工作要求。

氣浮平臺工程上常用的設計方法可以歸納為數學建模和數值算法兩大類。杜建軍等[3]通過建立有限元離散化模型分析了節流孔與均壓槽對承載能力的影響；陶家生[4]推導了閉式矩形氣浮導軌雙排節流孔承載力的數學模型；陳愛民[5]使用有限元模型和數學模型對導軌承載能力進行了對比分析等。以上研究使用不同方法對氣浮導軌承載力計算進行了數學建模，是當前氣浮導軌的工程設計的理論基礎。然而當端部節流孔位置不同時導致的端部承載區壓力變化，對承載力的影響也是不容忽視的。因此，本文作者在以上學者成果的基礎上，根據端部氣膜壓力分布的特點，對現有數學模型提出了改進的方案，并基于VB語言設計了一款承載性能計算器；建立數值模型對改進模型的假設進行分析；最后，通過實驗平臺對2種模型的準確性進行校驗。

1 氣浮導軌工程數學模型的改進

N-S(Navier-Stokes)方程是求解氣體潤滑問題的主要基本方程式，它由運動方程、連續方程、狀態方程組成，給予邊界條件后可進行聯立方程組求解[6]。在工程上，常對N-S方程進行簡化，以便作為氣浮導軌結構初步設計的理論依據。工程數學模型中，對N-S方程做了以下假設：(1)氣體為理想的層流性質，流動方向平行于導軌平面；(2)氣體與導軌間不存在相對滑動；(3)節流器所在平面視為連續高壓區，氣體只沿寬度方向流出等。此時，壓力分布如圖1所示。

圖1 單排節流孔數學模型解析

設定導軌總長為L，寬度為B=2b，供氣壓力為ps，節流器出口壓力為pd，大氣壓力為pa，氣膜厚度為h。因此，可假設氣膜間隙中的流動如圖2所示。

圖2 氣流模型

依據上述假設，N-S方程可簡化為

(1)

式中:η為氣體黏度;u為氣流在x方向的分量。

積分后可得：

(2)

式中:c1、c2為積分常數。

設置邊界條件，當y=0，y=h時，u=0，c2=0，即有：

則式(4)可整理得：

(3)

因此導軌單側的氣體質量為

(4)

(5)

式中:R為氣體常數，T為絕對溫度，這里均看作常數；ρa為大氣密度。

因此，積分可得：

(6)

(7)

聯立式(6)(7)，可得：

(8)

因此，氣膜承載力為

(9)

上述為目前常用的工程數學模型推導過程，然而根據文獻[7]的仿真結果和工程經驗，高壓氣體從節流孔排出后向四周端面流動，壓力逐漸減小，流速也不斷降低，當氣體到達邊角時已基本從相鄰的端面排出，這種情況在氣浮導軌的端部更為明顯。因此，對單排節流孔承載力數學模型進行改進，改進后的壓力分布如圖3所示，把導軌區分為端部承載區和主承載區兩部分。

圖3 單排節流孔改進數學模型解析

對于端部承載區，沿用前面的條件，并假設氣體沿半徑rz方向均勻流動，沒有周向流動，則該區域的N-S方程可簡化為

(10)

積分后，代入邊界條件，得氣膜內不同高度的氣體流速：

(11)

因此導軌端部的氣體質量為

(12)

整理得：

(13)

代入式(11)和氣體狀態方程，整理可得：

(14)

取p=pd，r=rd和p=pa，r=rz(rz∈min(b,l′)),進行積分、聯立方程組，可得：

(15)

所以氣膜兩端部的承載力之和為

(16)

同時，用主承載區的l代替式(9)中的導軌總長L，則有主承載區的承載力為

(17)

綜上所述，分為端部承載區和主承載區后的導軌總承載力為式(16)和(17)的總和：

W=Wz+Wd

為方便后面對數學模型結果進行對比校驗，使用VB軟件編寫了單排節流孔氣浮導軌承載性能計算器，如圖4所示。

圖4 單排節流孔氣浮導軌承載性能計算器

2 氣浮導軌數值算法的建模與分析

工程中，由于數學模型相對更便捷高效，常用于結構的初步設計。然而對于結構形狀或流動狀態比較復雜的模型，或者是需要精確分析區域流速和壓力分布狀態的場合，可以使用有限元數值算法進行分析。

同時，為驗證改進數學模型中關于端部流場的假設以及l′對承載力的影響，設定如下三則算例，以建立有限元模型：導軌總長L=250 mm，導軌寬B=50 mm，節流孔個數n=5，供氣壓力為ps=0.2 MPa，氣膜厚度h=0.02 mm，如圖5所示。

圖5 導軌模型尺寸

調整三則算例的節流孔間距以及節流孔到端面的距離，如表1所示。

表1 算例結構方案

建立氣膜有限元模型,選取三維流體單元FlUID142，對氣膜模型進行映射網格劃分，同時對節流器附近的網格進行局部細化。工作時，氣體由節流器頂端流入，經小孔節流后進入導軌，形成高壓氣膜，再從各氣膜端面流出，因此在各節流器頂端施加供氣壓力ps，氣膜各端面施加環境壓力pa=0，氣膜其余表面和節流器外表面施加速度全約束，設置空氣的可壓縮性和紊流狀態[8-9]，有限元模型網格劃分與邊界條件如圖6所示。

圖6 有限元模型網格劃分與邊界條件

選擇標準k-ε湍流模型和BiCGSTAB(穩定雙共軛梯度法)進行聯合求解。原因是標準k-ε湍流模型是根據湍流理論推導、實驗數據得到的一個半經驗的模型，在工程領域廣泛使用[10]。

湍流動能k及其耗散率ε的運輸方程可表達如式(18)(19)所示。

(18)

(19)

式中：μt為湍流黏度，Gk為湍流動能生成項,

(20)

引用Boussinesq假設，可得：

Gk=μtS2

(21)

式中:S為平均應變率,

(22)

根據Launder等的推薦值及后續實驗，設置本模型常數[9]為：σk=1.0，σε=1.3，C1ε=1.44，C2ε=1.92，Cμ=0.09。

為幫助氣體可壓縮性問題的求解，選擇BiCGSTAB(穩定雙共軛梯度法)求解器，并分4步加載，直到慣性松弛系數為1.0×10-10。

三則算例的有限元模型求解后的氣膜壓力分布如圖7所示。

圖7 氣膜壓力分布云圖

從仿真結果來看，在節流孔之間形成了較為明顯的高壓區，節流孔間距越小，高壓區越明顯；同時，節流孔處的壓力最高，向四周端面迅速衰減，在端面降至大氣壓。

提取上述模型的氣膜面節點壓力結果進行積分，得出3個方案的承載力分別為673.8、606.2、687.9 N；方案3的承載力最大，比承載力最小的方案2高出13.5%；盡管方案2的壓力區面積更大，但方案3更好地利用了導軌的表面形成較為集中的高壓區，而方案2中最外側的2個節流器由于太靠近端面，在外側并未形成有效的壓力區，同時還影響了內側高壓區的形成。

氣膜的壓力三維分布及等壓線如圖8所示。

圖8 氣膜壓力分布立體圖

綜合圖7、圖8壓力分布、等高線分布和承載力結果可以看出，端部節流孔的氣流會從與其最近的端面排出，端部承載區壓力呈扇形分布，因此當孔與端面間距(l′)發生變化時會引起氣膜承載力的變化，而如果按改進前的數學模型，以上3種結構的承載力結果是一樣的，從而誤導設計。因此在進行工程數學模型的計算，尤其是當b≠l′時，區分端部承載區和主承載區兩部分進行分析十分必要，能進一步提高計算精度。

3 氣浮導軌承載力測試實驗

為校驗單排節流孔氣浮導軌數學模型改進前后的計算精度，以廣東工業大學的直線電機驅動精密氣浮定位平臺為實驗對象，運用DWS電容傳感器、示波器數據采集前端、微動臺等搭建承載性能實驗平臺。

DWS型精密電容位移傳感器的量程為±20 um，輸出電壓為±10 V。為避免傳感器因溫度和使用時間較長出現零點漂移，在實驗前進行重新標定，標定如圖9所示。

圖9 位移傳感器標定

以0.02 mm為步進間距調節微動臺，通過示波器讀取電壓變化，每次采集3組數據取平均值，實驗兩次，通過對數據的擬合得到電容位移傳感器靈敏度為103.12 V/mm。

實驗用的直線電機驅動精密氣浮定位平臺采用T形導軌結構，長度800 mm，寬度680 mm，高度300 mm，自身質量197 kg，其中上氣膜寬125 mm，下氣膜寬95 mm，側氣膜寬150 mm，上下氣膜均是b≠l′的結構形式，各氣膜面均為8個節流器，搭建的承載性能測試平臺如圖10所示。

圖10 承載能力測試

實驗時，先在未供氣的狀態下采集一次數據，然后保持0.20 MPa的供氣壓力，讓氣浮工作臺空載5 min，確保工作臺完全浮起并處在穩定狀態，測量無負載時的數據，并將砝碼(10 kg/塊)依次加到氣浮工作臺上，每增加一塊讀取一次數據，添加6塊砝碼后為一組數據。測得4組數據經回歸處理后如表2所示。

表2 承載力測試實驗數據

通過實驗發現，氣浮實驗平臺在空載時上氣膜厚度為0.026 4 mm，隨著負載的增加，上氣膜間隙減小，加載到600 N時，上氣膜厚度為0.023 1 mm。

對應實驗結果，使用上一節的建模方法，取氣浮導軌的一側，建立偏心率為0時，垂直方向平均氣膜為0.028 mm的三維有限元氣膜模型，其結構如圖11所示。

圖11 單側導軌三維模型

分6步施加載荷，得到各氣膜面三維壓力場分布如圖12所示。由仿真結果看出，對于三維模型，各氣膜在相交的直角處還會形成相連的高壓區。

圖12 單側導軌壓力場分布

提取不同氣膜厚度時的上、下氣膜的承載力，得到單邊導軌承載力如表3所示。

表3 單邊導軌承載力

利用單排節流孔氣浮導軌承載性能計算器分別對改進前、后的上、下氣膜承載力進行求解，取它們的差為單側導軌的承載力。經整理，數學模型、數值算法以及實驗測試的氣浮導軌承載力隨氣膜厚度變化的結果如圖13所示。

圖13 氣浮導軌承載力隨氣膜厚度的變化

如圖13所示，在實驗測試中，由空載到加載到100 N，上氣膜厚度無明顯變化；由100 N到600 N時，隨著上氣膜的減小，承載力呈較好的線性增長。與有限元結果相比發現兩者承載力隨氣膜厚度變化的趨勢基本一致，承載力的最大偏差出現在氣膜厚度是0.023 1 mm時，約為5.7%，平均偏差為2.9%。出現偏差的主要是原因是有限元模型并未考慮實際工程中的因導軌面平面度、平行度、裝配等誤差帶來的氣膜不均等問題。

改進前、后的氣浮導軌承載力數學模型求得承載力隨氣膜厚度變化的趨勢與實驗結果一致。其中改進后的數學模型結果與實驗結果的平均偏差為13.3%，較改進前的平均偏差19.4%提高6.1%。數學模型出現偏差的主要原因是進行主承載區計算時，并未把節流孔之間壓力衰減考慮在內，而導致結果大于實際測試結果。

4 結論

(1)對工程上氣浮導軌結構設計時常用的數學模型進行改進，并通過實驗平臺進行驗證，結果發現，將氣浮導軌分為主承載區和端部承載區后的改進數學模型較改進前的計算精度提高約6.1%，尤其當導軌面寬度、節流孔到端部間距、節流孔間距三者有較大差值時，改進模型能更好地指導氣浮平臺設計。

(2)對比數值建模分析結果和實驗結果發現，該模型能獲得較高的仿真精度，工作范圍內的平均偏差為2.9%，且能獲得較準確的氣膜壓力和流場工況。