“一題四解”培養多角度思考能力
——以2018年江蘇省對口單招高考數學一道壓軸題為例

戴志強

(江蘇省常熟高新園中等專業學校 215500)

本文以2018年江蘇省對口單招高考數學試題第23題的第(3)小題為例進行分析.

一、從中點弦的點差法角度思考解法

解法思路分析：中點弦的“點差法”是圓錐曲線題型的一類常用解題方法，是一種常見的思考角度.在本題中，在橢圓內部作直線AB的垂線DE，由題目提供的對稱性條件可推出涉及弦DE的中點坐標，因此可以將直線與圓錐曲線相交的兩個交點代入曲線方程，再將兩個方程作差，求出直線的斜率，進而求出弦DE的中點坐標，最后根據中點坐標必須在橢圓內這個限制條件可解出答案.

二、從對稱性蘊含的約束條件角度思考解法

解法思路分析： 本題的核心在于理解題中的“對稱”這個條件，從對稱性角度去思考，可以得出其蘊含的約束條件是：垂直與平分，即直線AB是弦DE的垂直平分線.這是一個可行的解題思考角度，從滿足約束條件入手可順利解題.

三、從點形成的軌跡角度思考解法

解法思路分析：因為橢圓內部滿足題意條件的弦有無數條，所以所有平行于DE的弦的中點形成軌跡，從點形成的軌跡角度思考，結合軌跡與橢圓的位置關系，可求出變量m的范圍.

四、從二次函數根的分布角度思考解法

解法思路分析：由題意可知橢圓c上被直線AB(即直線l)垂直平分的弦DE存在，從而可推導出弦DE所在的直線與橢圓c存在兩個不同的交點，即直線DE的方程與橢圓c的方程組成的方程組存在兩個不同的解.由方程組可得到一個二次函數，從而將本題的幾何問題轉化為函數問題，即考察二次函數在某段區間上根的分布條件.