基于顏色讀數與二氧化硫物質濃度回歸模型研究

李 萍

（蘭州石化職業技術學院，甘肅 蘭州 730060）

1 引言

如何有效控制顏色指標體系是一個非常重要的課題。本文研究的物質濃度與顏色之間的關系可用多種方法來判定，如物質的特殊顏色、特征反應現象、特殊工業生產、特征數據等方法均可使用。通過對所提供的有關顏色讀數和物質濃度數據進行分析研究，用MATLAB多元線性回歸函數，建立顏色讀數和物質濃度之間的關系模型。并對已給出的數據進行了判定，找出了影響判定的異常值，進一步剔除異常數據后對誤差進行分析，模型精度進一步提高，方法具有實際推廣價值[1-4]。

2 多元線性回歸

假設隨機變量y與p個自變量x1,x2,x3,…xp之間存在著線性相關關系，實際樣本量為n，其第i次觀測值為

其n次觀測值可寫為如下形式：

通過尋求β的估計值b，建立多元線性回歸方程模型：。

3 實例分析

對二氧化硫物質濃度數據進行顏色差值計算，結果如表1所示。

表1 物質濃度與顏色差值

△B：B列數據的顏色差異；△G：G列數據的顏色差異；△R：R列數據的顏色差異；

△H：H列數據的顏色差異；△S：S列數據的顏色差異。

3.1 相關系數

運用MATLAB工具箱，得到相關系數矩陣，線性相關檢驗的值矩陣以及相關系數矩陣圖[5-8]，如圖1所示。

圖1 相關系數矩陣圖

圖1用橢圓色塊直觀的表示變量間的線性相關程度的大小。橢圓趨于圓形時，變量間相關系數的絕對值越接近0，反之越扁，變量間相關系數越接近于1。若橢圓長軸方向是從左下到右上，變量間為正相關，反之為負相關。若p值≤0.05，則認為變量間的線性相關性是顯著地，反之則認為不顯著。觀察圖1可知，濃度y值與相對應的x2、x3、x4線性相關性是顯著的，x2與x3、x4線性相關性是顯著的。

針對以上數據分析，作5元線性回歸，建立y關于的回歸模型如下：

調用MATLAB工具箱里LinearModel類的fit方法作多元線性回歸，返回參數估計結果和顯著性檢驗結果。

用MATLAB編程，運行程序得出經驗回歸方程如下：

判定系數R-squared為0.871，擬合程度較好。

對回歸方程進行顯著性檢驗，原假設和備擇假設分別為：H0:b1=b2=…=b5=0,H1:bi不全為0，i=1,2,…,5

方程檢驗的p值（p-value = 3.43e-06）小于0.05，可知在顯著性水平α=0.05下應拒絕原假設H0，可認為回歸方程是顯著的，但并不是方程中的任何一項都是顯著的。x4的p值為0.0532基本與0.05持平，常數項、x1、x3、x5所對應的的p值分別為0.5803、0.2781、0.9465、0.74419，均大于0.05，說明在顯著性水平0.05下，回歸方程的線性項x1、x3、x5均是不顯著的。其中x3最不顯著，其次是x5，再是常數項，最后是x1。

3.2 多重共線性判斷

判斷多重共線性方法有多種，本文選用基于方差膨脹因子的多重共線性方法[9-11]。模型為自變量xi關于其它自變量的多元線性回歸，計算模型的判定系數，定義第i個自變量的方差膨脹因子：

當自變量xi與其它自變量線性相關顯著，接近于1，VIFi接近于無窮大，反之，接近于0，VIFi接近于1。VIFi越大說明線性相關越顯著，即存在共線性。VIF＜5，為共線性較弱；5 ≤VIF≤10,為中等程度共線性；VIF＞10，為共線性嚴重，必須設法消除共線性。常用的方法有：主成分回歸、變量變換、去除變量等方法[12,13]。

通過計算，VIF值分別為30.5032，542.5648，29.2250，731.0040，5.4828。由此可知，x5中等程度共線性，其他均共線性嚴重，尤其是x4和x2非常嚴重共線性。

3.3 誤差分析

通過MATLAB工具箱繪制殘差直方圖和正態分布概率圖，如圖2所示。

圖2 多元線性回歸殘差直方圖和殘差正態分布概率圖

圖3 去除異常值和不顯著項殘差直方圖和殘差正態分布概率圖

從程序運行結果可知，殘差基本服從正態分布。

根據學生化殘差查找異常值，有3組數據出現異常，觀測序號分別為1，10和11。

判定系數R-squared為0.977，較改進前擬合度有很大提高。

對回歸方程進行顯著性檢驗p值（p-value=5.88e-11）小于0.05，改進后的方程是顯著的。

由圖3可知，殘差正態概率圖較改進前更優。

根據擬合的多元線性回歸方程，3元擬合和5元擬合的相對誤差，見表2所示。

表2 3元擬合和5元擬合的相對誤差

3元擬合和5元擬合的效果如圖4所示。

圖4 3元擬合和5元擬合

由圖4可知，3元多項式擬合方程的擬合效果優于5元多項式擬合。擬合的相對誤差如圖5所示。

圖5 3元和5元擬合相對誤差圖

由圖5可知，3元擬合的觀測序號9，10，12，14，16五組數據相對誤差比5元擬合相對誤差大，其余16組數據均小于5元擬合的相對誤差。

3.4 異常值判斷

在學生化殘差查找異常值時，初步判定觀測序號第10，11為異常值，在3元擬合相對誤差判定中，第9為優化模型的下一步需剔除的數據。當二氧化硫物質濃度為50時，所測得的數據均顯示異常，懷疑在此種物質濃度測量時數據測量出現較大偏差，需重新測量。當物質濃度大于50時，3元擬合的相對誤差值較小，在這一物質濃度范圍，擬合程度最優[14]。

數據量越大，擬合的準確度越好，若數據量很少，則回歸方程很難建立，且精度不高。而顏色維度與溶質的偏色性有關，所以不同的溶質選擇的顏色維度不同，顏色維度并不是選的越多越好，故針對某一物質，應選擇合適的顏色維度來進行回歸擬合，再用回歸方程判定其物質濃度。

4 結果和應用

本文建立了多元線性回歸分析模型，判定顏色讀數和物質濃度之間的關系。模型經去除變量和剔除異常數據提高了精度，但物質濃度的顏色讀數所測量的5個顏色維度之間有較強的線性相關性，故所建立的回歸方程的如3元擬合的值為5.88e-11小于0.05，方程是顯著的，方程的常數項值為0.0028016小于0.05，但其他線性項值分別為0.12513，0.99429，0.38618所做的檢驗的值大于0.05，其中最不顯著。在模型的進一步優化和改進中，嘗試運用去除變量，嶺回歸，主成分回歸等方法來消除多重共線性，在方程顯著的前提下，使方程的各線性項達到顯著[15，16]。